Дьяконов В.П. Matlab 6.5 SP1 7 0 Simulink 5 6 Обработка сигналов и проектирование фильтров 2005 (1245705), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Вейвлеты в пакете 74гавегег тоойзох 406 ф(2ы) ч! (и!2) 0.5 !5 1О .Ов о -10 -5 О 5 10 о о з !р (х) 1 20 ф(аз) 1О -О 5 -1( — — — — ~ 0 -1О -5 О 5 ГО о Ю Рнс. 7.4. Временной и частотный образы вейвлета И/аие7еГ + Тгапвуопп Рнс. 7.5. Иллюстрация к вейвлет синтезу сигнала Число используемых при разложении сигнала вейвлетов задает уровень декомпозиции сигнала.
При этом за нулевой уровень декомпозиции принимается сам сигнал, а уровни декомпозиции образуют ниспадающее вейвлет-де)зева того или иного вида. Точность представления сигнала по мере перехода на более низкие уровни декомпозиции снижается, но зато появляется возможность вейвлет-фильтрации сигналов, удаления из сигналов шумов и эффективной компрессии сигналов. повышается, спектр вейвлета перемещается в область более высоких частот и расширяется. Этот процесс можно считать линейным — если вейвлет сужается вдвое, то его средняя частота и ширина спектра возрастают также вдвое. Даже интуитивно ясно, что совокупность волновых пакетов, напоминающих модулированную импульсами синусоиду, или подобных приведенному на рис. 7.4 вейвлету, способна хорошо отражать локальные изменения сигналов — рис.
7.7. Однако вопрос о представлении произвольного сигнала в произвольно заданном промежутке времени пока остается открытым. Он будет решен с введением понятия кратномасштабного анализа. Итак, с помощью вейвлетов сигнал представляется совокупностью волновых пакетов — вейвлетов, образованных на основе некоторой исходной (базовой, образующей и т. д.) функции ро(г). Эта совокупность, разная в разных частях временного интервала определения сигнала, и представляет последний с той или иной степенью детальности (рис.
7.5). Такой подход называют вейвлет-анализом сигналов. 407 7.2. Основы теории вейвлет-преобразований Внимание. Веиелет-составляющие сигнала даже внешне не имеют ничего общего с синусоидами, и они предппавлены сигналалщ подчас весьл~а сложного и, порою, не еполпе понятного вида. Эво, кстати, с»щесввенный недостаток веиелетов с понтии наглядного их понимания и представления.
Он ликвидируется соответствующими инструментальными средствами, вошедшими в пакет расширения Игаче!е( 7оо((лох системы МА'ГЛАВ. Вполне очевидно, что для представления сигналов, как в локальных областях их возмущений, так и во всем временном интервале изменения сигналов, надо иметь возможность сжимать или растягивать вейвлеты и перемещать их по вре- менной оси. Прямое еейвлет-преобразование ((!В(7) означает разложение произвольного входного сигнала на принципиально новый базис в виде совокупности волновых пакетов — вейвлетов, которые характеризуются четырьмя принципиально важны- ми свойствами ° имеют вид коротких, локализованных во времени (или в пространстве), волновых пакетов с нулевым значением интеграла; ° обладают возможностью сдвига по времени; ° способны к масштабированию (сжатию/растяжению); ° имеют ограниченный (или локальный) частотный спектр.
Этот базис может быть ортогональным (см. чуть ниже), что заметно облегчает анализ, дает возможность реконструкции сигналов и позволяет реализовать алго- ритмы быстрых вейвлет-преобразований. Однако, есть ряд вейвлетов, которые свойствами ортогональности не обладают, но которые, тем не менее, практически полезны — например, в задачах анализа и идентификации локальных особенно- стей сигналов и функций, 7.2. Основы теории вейвлет-преобразований 7.2.1. Аппроксимирующая и детализирующая компоненты вейвлетов Одна из основополагающих идей вейвлет-представления сигналов заключается в разбивке приближения к сигналу на две составляющие — грубую (аппроксимирующую) и утонченную (детализирующую) — с последующим их дроблением с целью изменения уровня декомпозиции сигнала.
Это возможно как во временной, так и в частотной областях представления сигналов вейвлетами. Дадим наглядную трактовку применения вейвлстов Хаара. Аппроксимирующая функция вейвлета Хаара — это 1 на всем интервале определения, а детализирующая функция равна +1/2 на половине интервала определения и -1/2 на другой половине интервала определения.
Вейвлет Хаара единственный из пока известных вейвлетов, который обладает одновременно свойствами ортогональности и симметрии и имеет компактный носитель, т. с. ограниченную область определения. Пусть имеется сигнал, представленный целочисленными компонентами вектора [9 7 3 5[. Это могут быть, например, значения пикселсй некоторой подстроки изображения, Разрешение в этом случае равно 4, поскольку вектор представлен четырьмя элементами.
Перейдем к более грубому (вдвое меньшему) разрешению 2. для чего вычислим среднее (в силу свойств аппрокстимируюшей функции вейвле~ов Хаара) из каждой пары компонентов сигнала. Получим вектор [8 4[ с двумя детализирующими коэффициентами [1 — !!. Одни представляют половину от приращений уровня относительно среднего значения, т. е. (9 — 7)/2 = 1 и (3 — 5)/2 = -1 Глава 7. Вейвлеты в пакете !!гаге(ег Тоо(Ьох Прибавив и отняв первый коэффициент от первого компонента вектора огрубленного сигнала — числа 8, получим компоненты 9 и 7. Аналогично, прибавив и отняв -1 от второго компонента вектора огрублснного сигнала 4, получим 3 и 5, т. е.
вторую пару компонентов исходного вектора. Продолжим огрублять сигнал вдвое и перейдем к разрешению 1. Нащ вектор превратится в [б! с детализирующим коэффициентом 2. Его прибавление и отнимание дадут вектор [8 4!. Итак, для декомпозиции (разложения) исходного сигнала имеем; Разрешение Аппроксимирующие коэффициенты 4 [97 3 5! 2 [8 4[ 1 [6! Детализирующие коэффициенты [1 -11 [2! определяющая детали сигнала и порождающая детализирующие коэффици- енты; Таким образом, для представления сигнала достаточно хранить его грубое значение б и детализирующие коэффициенты 2.
1 и — 1. Операции с ними задаются видом вейвлета Хаара. Например, на уровне разрешения 1 он представляется двумя функциями: аппроксимирующей с уровнем 1 и детализирующей с уровнем +1 на первой половине периода и — 1 на второй половине периода (именно это задает вначале сложение, а затем вычитание детализирующего коэффициента). В итоге, осуществляя композицию си~нала, мы точно восстанавливаем его зна ~ение, используя последний (самый грубый) аппроксимирующий коэффициент и ряд детализирующих коэффициентов.
Процедуры изменения разрешения вдвое в ходе композиции и декомпозиции реализуют так называемый диадичегкий метод. Он является разновидностью более общего кратномасштабного метода и лежит в основе устранения избьпочности, свойственной непрерывным вейвлет-преобразованиям (см. ниже). Казалось бы, какой прок в таком представлении, сели число компонентов вектора осталось неизменным? Оказываешься прок есть, и весьча существенный. Прежде всего, мы перешли от представления независимых значений сигнала к приближенными (аппроксимирующим) значениям и приращениям относительно их. Коэффициенты вейвлет-представления реальных сигналов часто существенно меньшие числа, чем представления отсчетов сигналов. Для реальных сигналов многие коэффициенты по уровню оказываются настолько чалыми, по их можно отбросить.
Это означает возможность значительного сокращения объема информации о сигнале, выполнение его компрессии и очистки от шумов. Добавьтс к этому, что сейчас есть множество куда более ценных и интересных вейвлстов, что дает обширный выбор базисных функций, как для точного, так и приближенного представления любых сигналов. Правда, точное представление могут давать только так называемые ортогональные вейвлеты (см. раздел 7.3.1). Кроме вейвлета Хаара, к ним относятся хорошо известные вейвлеты Добеши и ряд других (но далеко не всех) вейвлетов. В основе непрерывного вейвлет-преобразования НВП (или С%Т вЂ” Сопйпце %аче!е! Тгапа[оггп) лежит использование двух непрерывных и интегрируемых по всей оси г (или х) функций: ° вейвлет-функция ргй у(!) с нулевым значением интеграла ()Мг)дг =0), 409 7.2.
Основы теории вейвлет-преобразований ° маштабирующая или скейлинг-функция р1з! д(!) с единичным значением интеграла (~ ч!(!)б! =1), определяющая грубое приближение (аппроксима- цию) сигнала и порождающая коэффициенты аппроксимации. Р)з1-функции д(!) присущи дзлеко не всем вейвлетам, а только тем, которые относятся к ортогональным. Такие вейвлсты мы рассмотрим в дальнейшем, а пока остановимся только на свойствах рз1-функции х~(!) и на приближении ими локальных участков сигналов э(!), Рз(-функция ч!(!) создастся на основе той или иной базисной функиии ыв(!), которая, как и М!), определяет тип вейвлета.
Базисная функция лолжна удовлетворять всем тем требованиям, которые были отмечены лля рз(-функции ч!(!). Она должна обеспечивать выполнение двух основных операций; ° смещение по оси времени ! — !р,(! — Ь) при Ь е Я; ° масштабирование — а де~ — ~ при а > О и а е )!' — (0). (!') (а! Параметр а задает ширину этого пакета, а Ь вЂ” его положение. В ряде литературных источников вместо явного указания времени ! используется аргумент х, а вместо параметров а и Ь используются имеющие тот же смысл иные обозначения. Нетрудно убедиться в том, что следующее выражение задает сразу два этих свойства функции х (!): М(!) = а Чо (7.3) Итак, для заданных а и Ь функция ы(!) и есть вейвлет.
Вейвлеты являются вегцественными функциями времени ! и колеблются вокруг оси ! (или х в некоторых работах). Параметр Ь задает положение вейвлетов, а параметр а — их масштаб. О вейвлетах, четко локализованных в пространстве, говорят, что они имеют компактный носитель. 7.2.2. Непрерывное прямое вейвлет-преобразование Пусть энергия сигнала л(!), равная Гг'(!)" конечна в пространстве У сигнала с областью ограничения !!. Прямое непрерывное вейвлет-нреобразовапие (ПНВП) сигнала л(!) задается, по аналогии с преобразова- нием Фурье, путем вычисления вейвле)н-коэффициен)нов по формуле: С(а,Ы = ) л(!)а у'ч~( — ~г, (7.4, а) или с учетом области ограничения сигналов: С(а, Ь) = )гл(!)а н'ц~( — )!й!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
