Дьяконов В.П. Matlab 6.5 SP1 7 0 Simulink 5 6 Обработка сигналов и проектирование фильтров 2005 (1245705), страница 74
Текст из файла (страница 74)
л а ! (7.4, Ь) Итак, вейвлет-коэффициенты определяются интегральным значением скалярного произведения сигнала на всйвлет-функцию заданного вида. Выражение (7.4,Ь) используется, как основное для функции прямого непрерывного вейвлет-преобразования в пакете %ате1ег Тоо)Ьох. 410 Глава 7. Веивлеты в пакете Паве(ег Тоа!бах 7.2.3. Вейвлет-анализ сигналов с помощью спектрограмм Пакет %аче!е( Тоо(Ьох имеет специальные срелства лля построения спектрограмм сигналов, синтезированных вейвлетами. Эти спектрограммы прелставляют значения коэффициентов вейвлетов в плоскости масштаб (номера коэффициентов) — время.
Снизу вейвлет-спектрограммы расположены коэффициенты с малыми номерами, даюшие детальную картину си~нала, а сверху — с большими номерами, даюшие огрубленную картину сигнала. При этом значения коэффициентов опрелеляют цвет соответствующей (обычно достаточно малой) области спектрограммы. Вейвлет-спектрограммы являются важнейшим пролуктом вейвлет-анализа сигналов и прекрасным дополнением к обычным спектрограммам на основе оконного преобразования Фурье, которые мы уже рассмотрели в разделах, посвяшенных пакету Яапа! Ргосезз!пя, Вейвлет-спектрограммы сигналов (рис.
7.6) порой выделяют такие особенности сигналов, которые просто незаметны на графиках сигналов и на Фурье-спектрограммах. Рнс. 7.6. Сигнал с особенностями н его вейвяет-спектрограмма на основе непрерывного прямого вейвяет-преобразования Чистым гармоническим сигналам соответствуют яркие горизонтальные полосы, где модуль некоторого коэффициента вейвлета велик.
Локальным особенностям (нарушениям гладкости) отвечают вертикальные полосы, выходящие из точки, где находится особенность. Пикам сигналов соответствует сгущение светлых областей вейвлет-спектрограмм, а впадинам — сгущение темных областей. Чем резче выражена особенность сигнала, тем сильнее она выделяется на спектрограмме. Вейвлет-спектрограммы отчетливо выделяют такие особенности сигнала, как небольшие разрывы. изменение знаков первой и второй произволных и т. д. Словом, именно те особенности сигныа, которые плохо выделяются на спектре Фурье-сигнала, прекрасно видны на вейвззет-спсктрограммах. Внимание. Вейвлет-анализ сигналов открывает принципиально новые возможносгпи в детальном анализе тонких особенностей сигналов.
Эзпо особенно важно для зв>ковых сигналов и сигналов изображения, где гниении пгакие особенности подчас определяют качество их воспроизведения. Биалогия, картография, медицина, аспграномия и зсасмос — вес зто именно те области, где применение всйвлетов способно привести к новым открьппиям, пугпем выявления характерных особенностей сигналов и изображений, мала заметных на временных зависимостях сигналов и на их спектрах Фурье. 7.л. Основы теории вейвлет-преобразований 7.2.4.
Вейвлеты в частотной области Вейвлеты„будучи функциями времени, имеют свое часпютное представление или Фурье-образ ч7(ю). Налагаемое на функцию чг(О условие (нулевое значение интеграла) означает, что чг(0) = О. Последнее указывает на то, что Фурье-образ смещен по оси времени и будет расположен вокруг некоторой ненулевой частоты гя„которую можно рассматривзть как среднюю круговую частоту вейвлета.
В частотной области спектры многих вейвлетов напоминает всплеск, пик которого приходится на частоту ю, (рис. 7.4). Если приближенно трактовать вейвлет как модулированную синусоиду, то ее частота и будет средней частотой вейвлета. В общем же случае, когда временная зависимость вейвлетов далека от синусоидальной, определение средней частоты требует обработки сигнала и реализуется итерационными методами — см.
описание вейвлстов в конце этой главы. Частотное (спектральное) представление вейвлетов имеет важное значение в определении фильтрующих свойств вейвлет-преобразований и основанном на них алгоритме быстрого вейвлет-преобразования (БВП). Нетрудно заметить, что есть прямая связь между временным и частотным представлением вейвлетов. Так, малые значения параметра а, характеризующие быстрые процессы в сигналах, соответствуют высоким частотам, а большие значения (соответствующие медленным изменениям сигнала) — низким частотам. Внимание. Временное и частотное представление вейвлетов — это две стороны одной медали, имя которой — вейвлет. Они образуют неразлучную пару и могут легко преобразовываться друг в друга.
И каждое тикое преобразовиние имеет свои досгпоипства и недостатки. Основанные на частотном подходе вейвлет-преобразования с помощью фильтров будут описаны далее. 7.2.5. Непрерывное обратное вейвлет-преобразование Обратное непрерывное вейвлет-преобразование (ОНВП) осуществляется по формуле реконструкции во временной области, которая имеет ряд форм. Ниже представлена эта формула в виде, использованном в пакете расширения системы МЛТЕА — %аче(ег Тоо)Ьох: ! рг — Ь') айЬ в(г) = — ) ) С(а,Ь)а ч~ч~~— (7. 5) где Кч — константа, определяемая функцией ж.
Основной задачей теории вейвлет-преобразований является доказательство того, что прямое и обратное вейвлет-преобразования способны обеспечить реконструкиию сигнала, причем точную или хотя бы приближенную, локальную или для сигнала в целом на заданном промежутке времени. Учитывая нулевое значение интеграла для функции ~у(г), очевидно, что эти преобразования не всегда способны восстановить любой сигнзл в целом. Итак, вейвлет-преобразование на основе только детализирующей ортогональной вейвлет-функции ч(г) способно восстановить (реконструировать) лишь тонкие детали временной зависимости сигнала з(г). Для восстановления полной формы сигнала приходится прибегать к применению еще одной временной функции е(г), называемой аппроксимирующей.
Причины, порожлающие необходимость в использовании этой функции, и ее роль будут рассмотрены чуть ниже — при описании кратномасштабного анализа. Глава 7. Вейвлеты в пакете ))гаге(е( Тоо(оох Внииание. Далеко не все птпы вейвлетов гаронтирутт тоннзно рекозкунр>кцто сигнаяов в целом и давке таков)то вообще. Теи пе менее, применение и таких веивлепзов хзозкеиз быпзь полезно для выявления тонких особенностей сигпо сов или изоброзкеиий, которые хорото соглогуттся с определетицлт ппизами веивлетгм. Следуе~ отметить, ч.ю обрапюе непрерывное преобразование по ())ормулс (7.5) требует слишком больших вьршслительных залач.
Поэтому функции обратного непрерывного вейвлет-преобразования в пакете 'ууауе1е( Тоо1Ьох нет. Непрерывное преобразование используется только для построения высоко детализированных вейвлет-спектрограмм, )ю для этого используется прямое непрерывное всйвлст-преобразование. 7.2.б.
Сравнение различных представлений сигналов Следует отметить, что вейвлет-анализ не использует алшлитудно-частотную область для визуального представления спектров сигнщ)ов, как это имеет место при спектрвлыюм анализе Фурье. Вместо нес используется область время — масштаб (см. выше). Это схематично показывает рис.
7.7. Т1тв 'е((ачв(ет Ала(ув! в Т1гпв Рис. 7.7. Структура всавлст-прсобрвзоввнип Теперь мы можем наглядно отобразить различные виды представлений сигналов в ходе тех или иных их преобразований — рис, 7.8. Ы Ап рите Чииеепсу Опта)п (Гоенег) типе Типе Опта(п (Вваппоп) и и. т~и1е Угаси)Ы А па )увы тпие втчт(о ь г) Рпс. 7.8. Разлн шыс прслстлвяснип сигналов На рис, 7.8 предо~валены следующие наиболее известные формы представления сигналов: ° Типе ))оп)а(п — временное представление (по Шеннону); ° Ггес(пенсу (зоптай) — частотное предсзавлсние (по Фурье); 413 2.3.
Кратномаештабный анализ ° ЯТЕТ вЂ” кратковременное (оконное) быстрое преобразование Фурье; ° '»чаче! ег — ве й влет-преобразован ие. Нетрулно заметить, что вейвлет-преобразование отличается наиболее сложной и гибкой структурой представления сигналов в плоскости «Масштаб — Время» (Яса)е-Т(пзе).
Это облегчает обнаружение различных особенностей сигнала по вейвлет-спектрограммам и привязку их ко времени. г.2Л. О скорости вычислений при вейвлет-преобрвзоввниях Порой может возникнуть сакраментальный вопрос: чем жс, с точки зрения затрат машинного времени, вейвлет-преобразования лучше, чем преобразования Фурье? На этот вопрос ответить однозначно нельзя. Тем не менее, важно учитывать слелуюшие обстоятельства; ° вейвлет-преобразование открывает принципиально новые возможности в обработке сигналов и изображений, и в этом случае затраты времени на вычисления отходят на второй план (особенно с учетом постоянного роста производительности компьютеров); ° некоторые вейвлсты (например, Хаара) являются намного более простыми функциями, чем синусоидальная функция, и в этом случае затраты времени на вейвлет-преобразования могут быть заметно ниже, чем на преобразования Фурье, где вычисления множества трансцендентных тригонометрических функций требуют значительных затрат времени; ° большинство вейвлетов представлено вещественными функциями, так что отсутствует необходимость привлечения для их вычисления аппарата комплексных чисел, затрудняющих вычисления; ° для ряда типов вейвлетов имеются быстрые алгоритмы всйвлет-преобразования, при реализации которых затраты времени (как и при реализации БПФ) карлинально уменьшаются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
