Дьяконов В.П. Matlab 6.5 SP1 7 0 Simulink 5 6 Обработка сигналов и проектирование фильтров 2005 (1245705), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Они представляют набор (спектр) гармонических сигналов, называемых гармониками. Число и — номер гармоники (О, 1, 2, ...). Теоретически ряд Фурье имеет бескоие пюе число членов (гармоник), но на практике оно всегда конечно и равно (Ч. Поэтому ряд (7.1) записывается как приближенный. Гармоники, представляющие собой синусоиды с разной частотой, кратной частоте первой гармоники, и разной фазой, образуются умножением с„на е"".
Помимо алгебраического вида ряда (7.1), его можно тривиально представить в тригонометрической форме. В общем случае, при произвольной (в том числе непериодической) зависимости у(г), прямое преобразование Фурье означает переход от временного представления сигнала к его частотному представлению в соответствии с обобщенным выражением: р(ш) = ~у(г)е""'й. Итак, задача нахождения временной зависимости выходного сигнала у„(г) по известной временной зависимости входного сигнала х(г) и, при известных АЧХ и ФЧХ искажающего устройства, и на основе спектрального подхода, вроде бы, была решена (см.
начало главы 2 данной книги и рис. 7.9). С позиций точного предсзавления преобразованием Фурье произвольных сигналов и функций можно отметить ряд его недостатков: ° преобразование Фурье даже для одной заданной частоты требует знание сигнала не только в прошлом, но и в будущем, что является теоретической абстракцией; ° в условиях практически неизбежного ограничения числа гармоник или спектра колебаний точное восстановление сигнала после прямого и обратного преобразований Фурье теоретически (и, тем более, практически) невозможно, в частности, из-за появления эффекта Гиббса; КЛ Рис. 7Л. Схематичное представление разложения сигнала в ряд Фурье 7.1.
Характеристика и мести вейвлетвв ° базисной функцией при разложении в ряд Фурье является гармоническое (синусоидальное) колебание, которое математически определено в интсрва- ЛЕ ВРЕМЕНИ От -о ДО 4 о И ИМЕЕТ НЕИЗМЕННЫЕ ВО ВРЕМЕНИ ПаРаМЕ~РЫ; ° численное интегрирование во временной области от -о до 4 о при прямом преобразовании Фурье (ППФ) и от — 0 до ч з в частотной области ири обратном преобразовании Фурье (ОПФ) встречает большие вычислительные трудности; ° отдельные особенности сипаала (например, разрывы или пики) вызывают незначительные изменения частотного образа сигнала во всем интервале частот от -00 до +00, которые «размазываются» по всей частотной оси, что делает их обнаружение по спектру практически невозможным; ° ясно, что такая плавная базисная функция, как синусоида, в принципе вообще не может представлять перепады сигналов с бесконечной крутизной, хотя такие сигналы (например, прямоугольные импульсы) применяются весьма широко; ° единственным приспособлением к представлению быстрых изменений сигналов, таких, как пики или перепады, является резкое увеличение числа гармоник, которые оказывают влияние на форму сигнала и за пределами локальных особенностей сигныа; ° по составу высших составлякнцих спектра практически невозможно оценить местоположение особенностей на временной зависимости сигнала и их характер; ° для нестационарных сипчалов (а таковых сейчас большинство), трудности ППФ и ОЛФ (и, соответственно, быстрого преобразования Фурье — БПФ) многократно возрастают.
Небольшие разрывы (ступеньки) на синусоидальном или любом плавно изменяющемся сипиле трудно обнаружить в его Фурье-спектре, ибо они создают множество высших гармоник очень малой амплитуды — рис. 7.2. Спектр ~аких сигналов содержит едва заметные высокочастотные составляющие спектра, по которым распознать локальную особенность сигнала и, тем более, ее место и характер практически невозможно. 10 '- 0 20 40 00 00 100 Рис. 7.2. Типичный вил спектра синусоилального сигнала с небольшим разрывом при перехоас через нуль Для преодоления вычислительных трудностей, связанных с интегрированием в ходе ППФ и ОПФ быстроизменяющихся функций, были предложены методы быстрого преобразования Фурье (БПФ или, в англоязычной транскрипции, ггТ).
Они не уменьшают погрешности вычислений при заданном числе гармоник, но Глава 7. Вейвлетьг в пакете Ваге(ег Тоо!Ьох позволяют резко уменьшить время спектрального анализа и синтеза — особенно, если число временных отсчетов у,(>) кратно 2«, где Аг — целое число. В основе БПФ лежит прореживанне по частоте н пирамидальный алгоритм, исключающий повторные вычисления периодически повторяющихся членов тригонометрического ряда Фурье. БПФ алгоритм выполняется за -Моа А> операций, где А> — число отсчетов сигнала. В МАТ) АВ прямое БПФ выполняешься функцией (>(, а обратное БФП вЂ” функцией >й.
7.1.4. Кратковременное (оконное) преобразование Фурье Проблемы спектрального анализа и си»теза сигналов, ограниченных во времени, частично решаются переходом к кратковременному или оконногву преобразованию Фурье (см. описание окон в главах 2 и 4). Оно выполняется с использованием выражения: А(ь>) = ~у(г) >г(! — Ь) е "аад Здесь, в отличие от интеграла Фурье, функция у(г) под знаком интеграла дополнительно умножается на оконную функцию и(г — Ь). Параметр Ь окна задает его сдвиг на временной оси.
Обычно задается ряд фиксированных значений Ь в пределах полного окна. Например, для простейшего прямоугольного окна грункц>«я и(г — Ь) в пределах окна дает ), а за пределами окна просмотра — О. При этом для каждого окна мы получаем свой набор комплексных амплитуд сигнала в частотной области.
Сказанное поясняет рис. 7.3. Окно, показанное на временной зависимости сигнала (слева) скачками перемещается и за некоторое число таких перемещений позволяет «просмотретьь весь сигнал. В каждом окне выполняется свое спектральное разложение, так что вместо обычно одной спектрограммы мы теперь получаем набор спектрограмм, схематично показанный в правой части рис. 7.3 в вндс прямоугольников. Т>п>в т>пе Рис. 7.3. Иллюстрация к технике оконного преобразования Фурье Естественно, что поскольку каждое окно охватывает небольшой участок по времени, точность описания локальных изменений сигнала может быть повышена.
Часто используются окна Гаусса, или иные окна, обеспечивающие малые искажения спектра из-за граничных явлений и уменьшающие проявление эффекта Гиббса. Применение окон позволяет перейти к частотно-временному представлению сигналов. Это реализовано в спектрограммах пакета Б>дпа! Ргосезз>па Тоо(Ьох, что уже неоднократно отмечалось при его описании.
Тем не менее, оконное преобразование Фурье не получило широкого распространения, поскольку будучи более 7.1. Характеристика и место веивлелгов сложным, чем обычное преобразование Фурье, не избавлено от его принципиальных недостатков, связанных с тем, что базисн и функция спектрального разложения остается синусоидой. Кроме того, окна в этом преобразовании имеют фиксированные размеры, и их трудно приспособить под корректное представление локальных свойств сигнала. Мы имеем типичное проявление лрилцила лволределелллсти — повышение временного разрешешш ведет к ухудшению частотного разрешения. 7.1.5. Идея вейвлет-преобразования В последнее время наметилась тенденция к использованию широкополосных импульсных и цифровых сигналов (видеоимпульсная локации, видеосредства компьютеров и т.
д.). Общепрингпым подходом к анализу таких сигналов в(г) является их представление в виде взвешенной суммы простых составляющих — базисных функций ~у,(г), помноженных на коэффициенты С„: з(г) = , 'Сри„(г), (7.2) Поскольку базисные функции ж„(г) зафиксированы как функции определенного типа, только коэффициенты С„содержат информацию о конкретном сипиле. Таким образом, можно говорить о возможности представления произвольшп сигналов на основе рядов с различнымп базисными функциями, Ряд Фурье (7.!) использует в качестве базисных функций синусоилы.
Они предельно локализованы в частотной области (вырождаясь на спектрограмме в вертикальную лпнию), но очень плохо локализованы (точнее, вообще не локализованы) во временной области. Противоположный пример — импульсная базисная функция: Она четко локализована во временной области и потому илеально подхолп| для представления разрывов сигнала.
Но эта базисная функция не несет информации о частоте сигнала и потому плохо приспособлена для представления сипшлов ца заданном отрезке времени и, тем более, периодических сигналов. Термин веивлет, ввеленный впервые Морлетом (3. Мог!е!), в переволе с шцлийского лате(е! означает «короткая волна». У нас его изначально переводили как «всплеск», «выброс» и т.
д., что менее удачно, поскольку не учитывает нулевое интегральное значение детализирующей вейвлет-функции и колебательный ее характер, Вейвлеты занимают промежуточное положение между рассмотренными цвыл крайними случаями (синусоидой и импульсной функцией) и образуют некого!млп набор функций, удовлетворяющих сформулированным далее условиям и основ:и:- ных на использовании представления сигнала в виде (7.2). Базисными функциями вейвлетов могут быть различные функции, в зом и1с ле, напоминающие модулированные импульсами синусоиды, функции со скалю .
ми уровня и т. д. Это обеспечивает легкое представление сигналов с локальпыхп скачками и разрывами наборами вейвлетов того или иного типа. По гги все всй влеты не имеют аналитического представления в виде одной формулы и могут и. даваться итерационными выражениями. Вейвлеты характеризуются своим временным и частотным образами рис. 7.4. Временнои образ определяется некоторой рл'-Фулкцией времени ~)~(г). А частотный образ задается ее Фурье-образом чу(г), который задает огибающую спектра вейвлета. Если вейвлет в пространстве сужается, его «средняя часгота Глава 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
