Дьяконов В.П. Matlab 6.5 SP1 7 0 Simulink 5 6 Обработка сигналов и проектирование фильтров 2005 (1245705), страница 75
Текст из файла (страница 75)
В тоже время еще раз подчеркнем, что большинство вейвлетов описываются итерационными выражениями, которые, в целом, сложнее синусоиды, но, как правило, легче вычисляются численными методами, реализованными в компьютерах. А главное — вейвлет-преобразования открывают качественно новые возможности в представлении и преобразовании сигналов и изображений. 7.3. Кратномасштабный анализ '7.3.1.
Ортогонвльные вейвлеты Часто желательно иметь вейвлеты на основе ортоголальных базисных функций. К таковым относится, в частности, уже хорошо нам знакомый ряд функций: ), сов(х), йп(х), сов(2х), йп(2х), ..., сов(нх), йп(нх), ... которые, при х= 2хг), образую~ гармоники ряда Фурье для периодических сигналов. На промежутке 2в этот рял обладает свойством ортогональноети — интеграл от произведения любых двух функций этого ряда равен нулю. Именно свойство ортогональности лежит в основе строгого математического доказательства того факта, что ряд Фурье способен представлять с заданной погрешностью любой сигнал з(й, удовлетворяющий условиям Дирихле.
В ортонормированном пространстве есть много и других классических ортогональных базисов — Эрмита, Лаггсра и др. Среди вейвлетов также заметное место занимают орнюгональные и биортогональные вейвлеты, отличающиеся рядом вы- Глава 7. Вейвлеты в пакете Ваге/е! Тоо/Ьох годных качеств. Главные среди них — возможность восстановления (реконструкции) не только локальных особенностей произвольного сигнала л(!), но и сигнала в целом„а также возможность осуществления быстрых вейвлет-преобразований. Один из первых известных ортогональных вейвлетов — вейвлет Хаара. Как уже отмечалось, функция рЬ! у него имеет значение 1 в интервале 10,1! и 0 за пределами этого интервала. Функция ргй имеет вил прямоугольных импульсов — меандра (значение 1 в интервале [0,0.5) и — 1 в интервале 10.5,1!).
Вейвлеты Хаара хорошо локализованы в пространстве, но не очень хорошо локализованы в частотной области, поскольку меандр имеет широкий спектр частот (теоретически бесконечный). Ингрил Добеши первая предложила ортогональные вейвлеты, сосредоточенные на конечном интервале времени.
К тому же, эти вейвлеты имеют хорошо локализованный спектр в частотной области. «Ложкой дегтяь оказывается отсугствие у этих вейвлетов симметрии. Эти вейвлеты реализуются итерационными формулами. Детально свойства вейвлетов Добеши и других ортогональных вейвлетов мы опишем подробно несколько позже. Сейчас лля нас главное то, что такие вейвлеты существуют и способны точно представлять сигналы на нулевом уровне реконструкции и то, что они имеют алгоритм быстрых вейвлет-преобразований. Ортогональные вейвлеты, как отмечалось, харак~еризую~ся двумя функциями — вейвлет-функцией (ргй) и масштабируюшсй функцией (рй1).
Их можно наблюдать и исследовать в окне СО! пакета %ате)е! Тоо1Ьох, впрочем, как и другие типы вейвлетов. 7.3.2. Дискретное вейвлет-преобразование непрерывных сигналов Непрерывное вейвлет-преобразование требует больших вычислительных затрат при его проведении. Поэтому для практического его применения необходима дискретизация значений а и Ь. В пакете Фате)е! Тоо!Ьох принято задавать дискретные значения а и Ь на некотором множестве травные: а= 2' и Ь=к2/, гдето и к — цслыс числа, хотя возможны и иные способы задания дискретных значений а и Ь. Параметр/, часто обозначаемый в литературе как и!, называется параметром масштаба.
При дискретных значениях а и Ь вейвлет-функция может быть представлена в виде: Ч~, „(!) = а в~ц!(а,,'! — /г). Следовательно, прямое дискретное вейвлет-нреобразованне (ЛДВЛ) сводится к вычислению коэффициентов С(а,Ь) по формуле (7.ч), естественно, с подстановкой дискретных значений а и Ь, т. е., в конечном счете: С(/,/с) = а',з = ') а>!~ч!(а„'! — /с)я(!)д!. Здесь С(/',/с) = с! „— детализирующие коэффициенты для вейвлет-декомпозиции сигнала уровня /г (оба обозначения этих коэффициентов равноценны). Теперь эти коэффициенты дискретны, т.
е. вычисляются для заданных/ и /с. Обратное днскре!нное вейвлет-нреобразованне (ОДВЛ) для непрерывных сигналов задается формулой: 7.5. Кратпомасштабпый анализ 415 В пакете ччаче!е! Тоо)Ьох (80! осуществляется нормировка базовых функций в частотной области таким образом, что С„= !. При этом окончательная формула реконструкс)исс сигнала записывается в виде: з(г) = ~ ~~,С(у,lс)сч,„(г). (7.
6) с зс з Было строго теоретически доказано )78, 79), что для ортогональных вейвлетов возможно точное восстановление сигнала, именуемое реставрацией, после прямого и инверсного дискретного вейвлет-преобразований с использованием дополнительно аппроксимации си~нала с помощью рй)-функции. В ином случае восстановление дает близкий к исходному сигналу з(Г) приближенный сигнал, причем близость понимается в смысле минимума среднеквадратнческой погрешности восстановления. 7.3.3. Суть кратномасштабного анализа Мы уже знаем, что возможно представление сигнала на основе суммирования его грубого представления с детализирующими локальными представлениями сигнала в его разных местах.
Для реализации этой важной возможности сусцествует ряд вейвлетов, относящихся к ортогональным. Их можно создать, в общем случае, на представлении пространства сигналов У в виде системы вложенных полпространств Ул отличающихся друг от друга только перемасштабированием независимой переменной. Основанный на этом анализ называется кратнолсасшпшбпым анализом (тий(гезо(сс6оп апа(уз(з) — КМА. Этот вид анализа базируется на следующих исходных предпосылках: ° пространство сигналов У может быть разбито на иерархически вложенные подпространства )и которые не пересекаются и объединение которых дает в пределе Е'()7); ° для любой функции з(г) а У, ее сжатая версия принадлежит пространству У,; ° существует такая функция ср(х) а Уы для которой ее сдвиги сй„(г) = ср(г-)с) при 7с а Уобразуют ортонормированный базис пространства );. Так как функции сад„(Г) образуют ортонормированный базис пространства У,, то функции ср,„(!) = 2 и'ср(2 'г — /с) образуют ортонормированный базис пространства )г Таким образом, мы подошли к важному уточнению понятия о масштабирующей функции для дискретного вейвлет-преобразования непрерывного сигнала.
Эти функции называются лшсштабируюисилш именно потому, что они создают свои масштабированные версии в пространстве сигнала. При этом сигнал з(г) может быть представлен множеством последовательных приближений з(г) в субпространствах Ук Переменная 7' в рамках такой трактовки называется масштабным коэффис)иентом. Поскольку дерево декомпозиции сигнала при вейвлет-преобразовании принято отсчитывать вниз, то можно сказать, что сигнал з(г) есть предел аппроксимации з (1) я У при / -+ о, т.
е. з(г) = Игп з (г). 4/б Глава 7. Вейн!!еты в г!акете ггаге/ег 2оо/Ьох В соотае!сп!ии с этим, при больших / мы получаем грубые приближения сиг!и.ю, а ири малых — то шые. Приближение (аппроксимация) сигнала соответствус г птсрацпопнои формуле: з,(/) = ~~' С(/,/г)!р, „(/), п(пп!см ~Р!!л(/) = 2~/г!4!(2/ — /г), гле /!, — некоторая последовательность. Сумма приближенной и детализирующей компонент, в конеч!юм итоге, и дает исходный сигнал с тем или иным приближе!шем. Крагномас!птабное представление лежит в основе многих применений вейн !ет-ш!влила и всйвлст-преобразований.
Например, применительно к сигналам изображении, оно означает представление изображений последовательностью обрггзов с разной степенью их детализации. При этом лля создания грубого образа си!пала служит функция !р(г), а уточнение этого образа достигается с помощью веивлет-функций или вейвлет-коэффициентов. Первым типом вейвлета, на котором была теоретически доказана возмож!юсть кратномасштабного анализа (КМА) был вейвлет Хаара, уже упомянутый выше. На его примере было показано, что в ходе прямого и обратного дискретно!о вей!глст-преобразования возможно полное восстановление сигнала, если для иелыл /г сушествуктг такие коэффициенты (6„), что <р~ — ~ =,Г2~/г„<р(г — /г). /г'! Ы Это функциональное уравнение является одним из важнейших в теории вейвлет-анализа, и именуется как уравнение лгасштабнрованая или уровненне уточнения (гебпегпсп! ес(ца1юп). Для функции Хаара нетрудно найти, что коэффициенты Ь, =/и = 1/х/2.
Для других ортогонатьных вейвлстов эти коэффициенты были также вычислены. Например, г-жа Добеши создала знаменитую серию вейвлетов, у которой, вейвлет г(Ь2 в сущности, является вейвлетом Хаара. Для получения вейвлета г(Ь4 Добеши использовала множество коэффициентов хх'= (с,, -с,, со -с,) и потребовала, чтобы линейная комбинация с векторами (1,1,1,1( и (1,2,3,4( была равна О, т. е.
и с,— Зс,+Зс,— Зс,=О. сз — с! + с! Используя эти соотношения в качестве условий нормирования и ортогональности, мож!ю найти коэффициенты всйвлета Добеши с(Ь4: 1 ~ х/3 3 в ~/3 3 — /3 1 —.ГЗ 4 /2 ' 4,!2 ' ' 4,/2 ' ' 4х/2 Налагая иные ограничения, можно продолжить созда!ше вейвлетов этого класса. Вообще говоря мы должны сказать спасибо математикам, уже сумевшим создать десятки классов вейвлетов.
Но нам самим, к счастью, этой трудоемкой работой заниматься не к чему, поскольку большое число вейвлетов доступно в готовом виле при использовании пакета %ахе1е! 1оо(Ьох. 7.4. Частотиый иодход и бытирое вейвлет-иреобразоваиие 417 Уравнение масштабирования может иметь и несколько иные формы записи. Например, в пакете Юаче!ег Тоо!Ьох оно задано в виде (х=! для временных зависимостей): ! (х) — ~р~ — 1= ~го„~р(х — п), причем (ьз„)„„,.
(7.7) 7.3.4. Точное и грубое разрешение Дискретизация параметра а= 2' по существу означает возможность управления разрешением сигнала в ходе вейвлет-преобразований. Значения параметров масштаба а и разрешения 1/а представлены ниже. 1 -1 7.4. Частотный подход и быстрое вейвлет-преобразование 7.4.1. Частотный подход к вейвлет-преобразованиям Хотя при восстановлении сигналов в ходе вейвлет-преобразований можно наглядно пользоваться временными функциями — вейвлетами, на практике они применяются скорее для демонстрации сущности вейвлет-декомпозиции и реставрации сигналов, чем для работы по обработке и представлению реальных сигналов.
Она обычно базируется на особой трактовке вейвлет-преобразований в частотной области и позволяет плодотворно использовать хорошо разработанный и давно известный аппарат частотной фильтрации (см, главы ! — 3 данной книги) и методы быстрого вейвлет-преобразования (БВП). Они основаны на пирамидальном алгоритме Молла и прореживании спектра вейвлетов по частоте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
