Дьяконов В.П. Matlab 6.5 SP1 7 0 Simulink 5 6 Обработка сигналов и проектирование фильтров 2005 (1245705), страница 81
Текст из файла (страница 81)
2: ",:3 ';4пнй)5) явв) ра( :. "(' : 0.5 : '0 ,,и 5;" ':4п:;.:.'-э-'. ,'.2,:-1 „Оп.: 1,п2 ":, эп-с4йнм'5,' :;1 рГ, „",~„. ' '* * (влв(пад аьп -.:.и);,:,,'' '.~'., Рис. 7.!8. Графики лсйствитсльной и мнимой частей для комплексного Гауссова всйвлста порядка 5 Выходными аргументами является пара фильтров: ХР— фильтр восстановления и Г)Р— фильтр разложения. Пример; нпаве = 'Ьгогз.1'; [гб,ге) = Ьгогнатт(нпаве) гг 0.1250 0.3250 0.3250 0.1250 го -0.2500 0.2500 442 Глава 7, Ввйвлеты в лаквте Игнате!ет Тор!1)вх 7.8.6. Комплексный вейвлет Морлета — сгпопааи Функция (РЗ1,Х) = ст(ЬВ,ОВ,Н,ГВ,ГС) возвра(цвет значения кол(плексного вейвлета Морлета, определенного положительным параметром ширины полосы частот ВВ, центральной частотой )тате!е( ЕС и выражением: РЯ1 (Х) = ( (рг*ГВ)" ( — О.
5) ) *ехр (2*1*рз*ГС*Х) *ехр ( — Х 2/ГВ) в (ч точках регулярной сетки на интервале !1 В,(.)В!. Выходным аргументом является вейвлет-функция РБ!, вычисленная на сетке Х. Приведенный ниже пример строит графики действительной и мнимой частей комплексного вейвлета Морлета с заданными в первой строке параметрами ьрис. 7.19): ГЬ = 0.75," Гс = 14 1Ь = -4( оЬ = 4; и = 500( (ра1,х) = свогнаст (1Ь, оЬ, п, ГЬ, Гс) ) аоьр1ос(211)г р1ог(х,геа1(раь))) х1аЬе1('Веа1 рагс'), Огас( аоьр1+ое(212)) р1ог(х,1вад(ра1))( х1аье1('1вао1пагу рагг'), Ог1б 'О.4 ..0,2 ..0.2 "-'О.
4 ., яеа( ав 0.5 о "05 .-,4 "; -З, "'-2.„.. )-1 ':,: Хогг'),::„;)Ь:„';.: г:;;,.'-с . З,:=':;,;:,,-;44,,:': Рис. 7.19. Грагйики действительной и мнимой частей комплексного вейвлета Моргана 7.8.7. Вейвлет-фильтр Коифлета — со!т)аа)гт Функция Г = со(теаст(Н) возвращает масштабирующий фильтр лля вейвлета Коифлета, определенного строкой %.
Строка Ч( задается как 'со)Г)ч", где (к( — целое число от 1 до 7. Пример: » нпаве = 'согтг'г Г = со(гиаот(епаве) Со1овпа 1 гьгспОЬ 7 0.0115 -о.огэз -0.0475 о.гтзо о.5747 0.2949 -о.о541 Со1пвпа 8 Сьгсовь 12 -0.0420 0.0167 0.0040 -0.0013 -0.0005 7.в. Семейство вейвлет-(!)ил»тров 7.8.8. Вейалет-фильтр Добеши — дЬацх и 4!Ьччачт Вейалеты Добеши — одни из самых известных. Госпожа Ингрид Добеши анесла огромный вклад а создание теории вейалетоа. Функция И = 4)Ьапа (И, 8ОНИ) возвращает масштабирующий фильтр Добеши порядка )»(, при этом аьт(и) зцми.
Возможные значения для (Ч вЂ” 1, 2, 3, Вычисление порядка Ы масштабирующего фильтра Добеши»)!( выполняется за даа шага: !. Вычисление параметра Р (а оригинале именуемого «(.аягапяе а (гона») симметричного фильтра длиной (4)х( — 1) и определенного как Р = (а(Х) О а(Х вЂ” 1) О ... О а(1) 1 а(!) О а(2) О ... О а((ч)1, где а((() = "" для й = 1, ..., )ч'.
~в~ (й — () ~»4 2. Извлечение квадратного корня. При этом если % является масштабирующим фильтром Добеши «()ЬЬ(» бцш.(2, то чч' — квадратный корень Р Р = сопч(ччгеч((ч),)ч), где % — фильтр длиной 2Х. Вычисление масштабируюшего фильтра Добеши «((ЬЬ(» требует извлечения корня полинома степени 4Х. Нестабильность а вычислениях может проявляться при очень большом Ы. Функция г = с)Ьчаег(и) аозврашает масштабирующий фильтр, связанный с аейалетом Добеши, опреде- ленным строкой %, где ч!( = '((Ь(ч" и )»( = 1, 2, 3, ..., 47. Пример: 0.0034 -0.0008 7.8.9. Частотный В-сллайноаый аейалет — тЬарччач4 Функция (881,Х) = ГЬарча«Г(ЬВ,ОВ,И,Н,ГВ,ГС) возвращает значения комплексной частоты В-сплайноаого аейалета, определенного порядком М (целое число 1 < М), шириной полосы частот РВ, централь- »пале = '4)ьб') — ЕЬчачб(чпаие) СО1ОГйпа 1 ЕЬтепЯЬ 8 0.0789 0.3498 0.0195 Со1плпа 9 Гьгьечь 12 -0.0223 0.0004 0.5311 0.2229 -0.1600 -0.0918 О.Об89 444 Глава 7.
Веввлеты в яакете Варе!ег 'Тоо]Ьок (щй частотой ьуауе]е! ГС. Функция РЯ! вычисляется, используя следующее выражение; РЯ1 (Х) — (ГВ 0 . 5) * ((з] лс (ГВ*Х/М) . "М) . 'ехр (2*1*р1*ГС*Х) ) в Х-точках регулярной сетки в интервале )!.В„)]В!. ГВ и ГС должны быть такие, ((о ГС > ГВ/2 > О. Выходным аргументом является вейвлет-функция РЯ, вычисленная на сетке Х. Пример, приведенный ниже, строит графики действительной и мнимой частей комплексного вейвлета Морлета с заданными в первой строке параметрами (рис.
7.20): и = 3: ГЬ = 1; Гс = 0.75; Ь = -10( иЬ .= 10; л = 500," (рз1,х] = ГЬзрначг(1Ь,иЬ,л,и,йЬ,Гс); зиьр1ог(211); р1ог(х,геа1(рз())( х1аьс1('кеа1 рагс'), дгтсн ьиьр1ог(212) р1ог (х, )зад (рз1) ); х1аЬе1 ( '1иад)лагу рагС ' ), дг1О 05 -1 -10 .В' "' 6' -4 .2 О, 2 4;:6" "',В ',:1О' Яев('рви .::-', .1''" 0.5 1 -1О -а:6 .4 -2 О. 2,: 4,:,,6,,',.(.6,':„' 1О; Вваупа)у р41 Рис. 7.20. Графики действительной и мнимой частей частотного В-онлайнового вейввета 7.8.10. Гауссовый вейвлет — пасв(маН Функция (РЯ1, Х) =- даизнаиг (ЬВ, ВВ, Н, Р) возвращает значения Р-ой производной функции Гаусса Е(х) = С,е " в Ь] точках регулярной сетки для интервала [!.В,)]В!. Значение С„такое, что 2-норма Р-ой производной функции Г стремится к !.
Построение графика ]рис. 7.2 !) Гауссового вейвлета порядка ]О представлено следующим примером: 1ь = -5; иЬ = 5( л = 1000( (рзг,х] '= даизначт (1Ь, иЬ, л, 10); р1сс (х, рз1) ( дг1г1 445 7.о. Семейство вейвлет-фильтров -':",О.б *', ';ОО ;О,бб '1 :.,'«бт)З:-'а.',;:,, -3,',»2;;,;: г1,„, О:;;; г1',':Еу25,: Ьз:=::: 4,К,:,б г Рис. 7.21. График Гауссового вейвлета 10-го порядка 7.8.11. Вейапет «мексиканская шляп໠— гпех[)та2 Функция [рзз,х) = вохаьас[ьв,ов,н) возвращает значения вейвлета, известного под образным названием «мексиканская шляпа», в [х[-точках регулярной сетки Х на интервале ([.В,()В).
Выходным аргументом является вейвлет-функция РЯ, вычисленная на сетке Х. (2 )р(х)= — и 4 (! — х )е). =~,/з Эта функция пропорциональна второй производной Гауссовой функции плотности вероятности. Вид этого вейвлета (рис. 7.22) позволяет наблюдать следующий пример: 1Ь=-б;оь=6;п=500г [рак, х) иехг пас [1ь, оь, и) г р1ос[х, раа) Этот тип вейвлета является пока единственным вейвлетом, определенным и вычисляемым аналитически. Увы, но свойства ортогональности у него нет.
;,1 '-"О,В :,;О,б ':., [л2 ':Щ Рис. 7.22. График вейвлста «мексиканекая шляпа» Глава 7. Вейвлеты в пакете Исахе(ет ТооВ)ох 44б 7.8.12. Вейвлет-функция Мейере — гпеуег и пэеуегецк Вейвлет-функции Мейера определены в частотной области следующим образом: 4п с)с (и) = (2 л ) 3 еэ" з! и ~ — э ~ — ! и ! — 1~~1 — < ) и ( < —; Я 3 3' г 8л чс(о)) =(2л) 'е""со — у — )со! — 1 — <)и! < —; Г2л 8л1 с(с(и) = 0 и е ~ —; — ~; у(а) = а" (35 — 84а + 70аг — 20а') а е [О,!). Соответствующая масштабирующая функция есть: !и! 3 Чс(и) (2л) г эу(и) = (2п) ге" сох — у — !и) — 1» — <)и!< —; ('л (' 3 1') 2п 4л ')2 '12л Я 3 3 эу(со) = 0 ]и! > —.
4л 3 Функция (рн=,рзт,т] = оауаг(ЬВ,ОВ,Н) (Рнт,т] = у (ьв,св,н, рьт ) или (Рз=,т] = хэеугс(ЬВ,ЬсВ,Я, 'рхь') . Следующий пример строит графики вейвлета Мейера и его масштабирующей функции (рис. 7.23): 1Ь = -5) аЬ = 10г и .= 1024) (рьэ,рх1,х] = хэеуег(1Ь,оЬ„а)) хоЬр1аь(211), р1ас(х,рву)г с1ь1е('меуес яахе1ес') воьр1ас(212), р1оь(х,ркт)г ььь1е('меуег хса11ов саось1оа') Если использовать функцию у=псвуагаих (х), можно вычислять дополнительную функцию, которая описывается полиномом 35хх — 85х' е 70х — 20х'. возвращает масштабирующую функцию и вейвлет-функцию Мейера, вычисленную в ]х)-точках регулярной сетки в интервале !(.В,()В). Переменная Х должна быть степенью числа 2. Выходными параметрами являются масштабирующая функция РН! и вейвлет-функция Р81, вычисленные на сетке Т. Если требуется в качестве выходного параметра получить только одну из перечисленных функций, то требуется четвертый аргумент: 447 7.8.
Селеейетво вейвл ет-)рильтров й(р:из';:ф$е)ф]0(файф фг4ь]еуедйов)в(!~~~~',айф~~ф(3$(вй!'-;=.ф-' 'е „::"О,'5 ",*"::)](' !.',оов '*:0.5 Рис. 7.13. ГраФик вейвлета Мейлера 7.8.13. Вейапет Морпета — п)ог!е1 Функция (Р51,Х] = 1ев(ЬВ,ОВ,Н) возвращает значения вейвлета Морлета в ]ч-точках регулярной сетки на интервале [].В,()В].
Выходным аргументом является вейвлет-функция РЯ], вычисленная на сетке Х и сетка Х: 2 ч)(х) = е ' сох(5х). Для построения графика этой функции (рис. 7.24) можно использовать следующий пример: 1Ь = -5( еЬ = 10: л = 512( (рв)., х] = вот1ев (1Ь, оЪ, е); р1ое(х,рвв), В]В1е('Ног1ет еаче1ее') лУ,'(00 Рис. 1.14.
График вейвлета Мейлера Глава 7. Вейвлеты в лакете Игахе1ег Тоо1аах 7.8.14. Обратный биортогональный вейвлет-фильтр — гЬ1оччач$ Функция ')~,;-5 0Г1 — гЬ гехах Г )И) Выходными аргументами являются два фильтра: фильтр разложения КР и фильтр восстановления РР. Пример: ; гс, ВГ) = гЬговагт С гЪ1оз. 1' ) -с -0.2500 0.7500 -0.2500 0.1250 0.3750 0.3750 0,1250 0,7500 7.8.15. Вейвлет-фильтр Шеннона Функц)18 )РВ:, Х) = аоагссаге )ЬВ, ВВ, Н, ГВ, ГС) возвращает значения комплексного вейвлета Шеннона, определенного параметром ширины полосы частот ЕВ, центральной частотой РС и выражением: Р51 )Х) = )ГВ"0 .
5) * (агоо )ГВ*Х) . *ехр )2*г*рз*ГС*Х) ) в 1Ч-точках регулярной сетки на интервале 11 В„ПВ~. Причем, РВ и ЕС должны быть такими, что РС > РВс)2 > О. Выхолным аргументом является вейвлет-функция РВ1, вычисленная на сетке Х. 7.8.18. Масштабирующие фильтры вейвлета Симлета — вугпамх и вупзчгач1 Функция И = аухсаох )Н, ВЦМИ) возвращает масштабирующий фильтр Симлета порядка )х), такой что Я)М(%) = = ЯЗМ%. Гч5 принимает следующие возможные значения 1, 2, 3, ... Симлет-вейвлет — это наименьший асимметричный вейвлет Добеши. Пример, представленный ниже, в особых комментариях не нуждается: » хс)Ьб = г)Ьаох )6) ег)Ь- б Со1охсеа 1 гьгоо9Ь 8 О.
0789 О. 3498 О. 5311 О. 2229 -0.1600 -О. 0918 0.0689 0.0195 Со1оасоа 9 5 ЬгоосЬ 12 -0.0223. 0.0004 0.0034 -0.0008 возвращает лва масштабирующих фильтра, связанных с биортогональным вейвлетом, опрелеленным строкой %. % = 'гЬ)о)х)г.)х))Г, тле возможные значения для )х)г и )х)51: след) ющие: Иг = ' яс) = 1, 3, 5 яг=2 НО= 2,4,6,8 Иг = 3 чо =- 1, 3, 5, 7, 9 яг = 4 Иг) =- 4 Яг = 5 НО = 5 и" =- 6 ЯО = 8 7.8.
Семейство вейвлет-фильтров Функция Г = аувчачт (Х) возврашает масштабируюший фильтр, связанный с Симлет-вейвлетом, определяемым строкой»<<, где ч!< ='8уп<Х'. )51 принимает значения 2, 3, ..., 47. » « = ауаиачг('аув5') Со18«<оа 1 гпсоооа 8 0.0138 -0.0149 -0.1240 0.0117 0.4483 0.5115 0.1410 -О.О277 Со1овпа 9 «Ь гоодв 10 0.0209 0.0193 7.8.17. Сравнение вейвлетов разного типа Сейчас выбор вейвлетов довольно обширен. Как было только что показано, только в пакете Юаче!е( Тоо1Ьох 2.0/2.! представлено полтора десятка базовых типов вейвлетов. Однако необоснованное применение того или иного вейвлета способно привести к разочарованию. И напротив, удачный выбор типа вейвлета может существенно повысить эффективность решаемой задачи. Поэтому ниже обобщены основные свойства вейвлетов.
Их учет позволяет подбирать наиболее подходяшие для решения конкретных задач обработки сигналов и изображений. '7.8.18. Грубые (Спн)е) вейвлеты К «грубым» вейвлетам относятся вейлеты Гауссова типа (йап8), Морлета (шог1е() и «мексиканской шляпы» (<пех!Ьа().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
