Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 7
Текст из файла (страница 7)
При второ способе полагают соТ= 2яиь В этом случае период для все частотных характеристик равен и,=! и требования к ним следуе задавать на интервале (0...0,5]. В последующих параграфах, ка правило, рассматриваются нормированные частотные характери стики, причем используется второй способ. ТРЕБОВАНИЯ К АЧХ ИЗБИРАТЕЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ Одной из основных задач при обработке аналоговых сигнало является построение аналоговых избирательных фильтров, т.
е фильтров, подавляющих (уменьшающих по амплитуде) одн 38 Рис. 1.18 часэ отные составляющие спектра входного аналогового сигнала и пропускающие без изменения на выход другие составляющие эзого спектра. Задача построения избирательных дискретных (и цифровых) фильтров в теории цифровой обработки сигналов так же важна, как задача построения избирательных аналоговых фильтров при обработке аналоговых сигналов. Избирательный дискретный филыр при заданном спектре входного дискретного сигнала «(иТ) формирует определенным образом в заданном частотном диапазоне спектр выходного дискретного сигнала у(пТ). В полосе пропускания АЧХ должна быть близка к единице (соответствующие составляющие спектра входного сигнала проходят на выход почти без подавления), а в полосе задерживания АЧХ должна быть близка к нулю (соответствующие составляющие спектра входного сигнала проходят на выход со значительным подавлением).
На рис. 1.18 показан график функции Ав (и ), определяющей требования к нормированной АЧХ идеального дискретного фильтра нижних частот (ФНЧ). Общий частотный диапазон дискретного фильтра 0...0,5 (точка 0,5 соответствует частоте к(' Т при отсутствии нормирования частоты). Полоса частот от 0 до ж„„, в которой Ав (ж) = 1, является полосой пропускания. Полоса частот от ж„, до 0,5, в которой А*(ж)=0, является полосой задерживания. Полоса частот от и„„до и„„ в которой функция Ав(ю) не задана, является промежуточной полосой. Невозможно реализовать дискрезный фильтр, АЧХ которого точно равна функции А*(ьв).
Поэтому необходимо аппроксимировать заданную функцию А*(ж), т. е. определить параметры дискретного фильтра, АЧХ которого А (и) близка к заданной функции А*(и): А (и ) ж А*(и) при 0<и<и,,„и яви<и <0,5. В гл. 3 и 4 рассматриваются методы решения аппроксимационных задач для КИХ- и БИХ-фильтров. 39 ТРЕБОВАНИЯ К ФЧХ ФИЛЬТРОВ Во многих случаях формулируются требования к фазочастотны ха.рактеристикам. Фильтры с точно линейной ФЧХ имеют постоянн ГВЗ и поэтому не искажают формы входных сигналов, спект которых находится в полосе пропускапия фильтра. БИХ-фнльгрь могут иметь только приблизительно линейную ФЧХ, а КИХ-фильтрь при определенных условиях могут иметь точно линейную ФЧХ Именно зги фильтры чаще всего используются на практике (см.
гл. 3) СВЯЗЬ МЕЖДУ ЧАСТОТНЫМИ И ВРЕМЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ФИЛЬТРОВ Из теоремы Парсеваля (1.1!)) и (1.77) следует, что «1т ) О(е)чт)! з,(„ (! .88 о=о о где )г(п 1') - импульсная характеристика фильтра. Вычисления (1.88) часто необходимы при расчетах, связанны со случайным дискретным сигналом на входе фильтра (с 8 1.12). Наиболее простой способ вычисления левой (правой части (1.88) состоит в применении равенства [2) )з (пТ) = — О( ) О( )к г!!г, (1.89 «=о где в качестве контура интегрирования выбрана единична окружность па г-плоскости. Для вычисления интеграла в право части (1.89) можно использовать теорему о вычетах (1.38 выбирая только полюсы, расположенные внутри единично окружности на д-плоскости. 1.11. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРА И ВЫХОДНЫХ СИГНАЛОВ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОМ ВОЗДЕЙСТВИИ МЕТОДИКА АНАЛИЗА Пус!ь задана структурная схема (нли !раф дискретной сис!смы), солержшц Ь узлов и Р ветвей, и пусть хг(ПТ) последовательность, образующаяся выходе сумматора в 1г-м узле, Хз(г) — х-преобразование псслсловательпости хг(лТ В=1, 2, ....
1.. Для каждо!о узла !Рафа может быть записано узловое уравнсни описываю!цсс взаимодействие послсдоваюльностей или их а-изображений. Таким образом, получаем систему из Ь алгебраических уравнений х.-изображений Х„(г), Ь=1, ..., 1.. Решив эту систему, можно найти Уьизображсн 40 выхолиой последовательности У(г), выраженное через Х-изображение вхолной последовательности Х(г)! 1'(а) = Н (г) Х(г), откупа опрелеляется передаточная функция оисгемы Н(=).
Аналогично опрсделя. !о! зся передаточные функции любой части дискретной системы. .12 Пример 1.30. Для структурной схемы или графа фильтра (см. рис. 1. ) записывается система уравнений (1.53). Решение этой системы дает Г(з) = ((1 Ч- Ь! г ) )(1+ а от ')) Х(г) и. следовательно, Н(г)=(1+Ь, '))(1+а!г '). Частотныс характеристики лискретпой системы определяются из Н(х) при з=с!"', импульсная характеристика Ь(лТ) нахолится по значению у(з) прн Х(е)= 1, т. е. путем обратного Е '-преобразования функпин Н(с).
Расчет реакпии у(лг) дискретной системы на воздействие конечной последовательности х(лГ) определяется сверткой (1ЛО). Усгойчивосгь фильтра определяется согласно критериям устойчивости (см. й 1.9). Если решить систему уравнений (!.54), например, относительно Х,(г), го легко найти перелвточпую функцию Н,(х) от входа к выхолу узла сумматора и затем вычислить соответствующие частотные и импульсную характеристику лля азой части схемы и т.
л. Таким образом, по рассмотренной метолике, которая легко реализуется в вндс про!рамм на ЭВМ, можно вычислить все грсбуемые характеристики и значения отсчетов детерминированных сигналов лля любо)о момента лТ. ОЦЕ!1КА ДЛИТЕЛЬНОСТИ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВХОДНОМ СИГ)!АЛЕ Если на вход фильтра подастся гармонический снпюл х (л Г) = е, о т т выходной сигнал у(лТ) при л-!со стремится к установившемуся значенн!о— гармоническому сигналу с частотой ох у„,(лТ)=А(ы)с!«!ыс' !.ю Н(з) - передаточная функпня фильтра; А(ы)=)П(еыг)1 — АЧХ фильтра; !р(о!)=ага Н(с' г) — ФЧХ фильтра. Часто трсбустся оценить «рсальнуюв длительность переходного процесса 1Т.
т. с, определить то значение л=1, прн котором выполняется приближенное равенство у(нг)жум,(лг). Очевидно, что последнее справелливо, если ! 5' !Ь(вг)! Т (Ь(лг)!. =о .-о Смысл приближенного равенства (1.90) можг!о уточнить, например, так: (1.90) вьпюлняется, если 41 )Л(нТ)! — ~ !д(нТ))= ~; !Л(пТ)1<е =о =о =3! ! и е <е, 2 ! Л(п ТВ =о Задавая величину е,, например а, =0,01...0,001, и по известной характерист Л(нТ) можно из (1.92) оценивать величину (, при которой ошибка е не превыш заданной величины. 1.12. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ВЫХОДНЫХ СИГНАЛОВ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ФИЛЬТРОВ ПРИ СЛУЧАЙНЫ ВОЗДЕЙСТВИЯХ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ На практике часто встречаются задачи, в которых воздействие на дискретн фильтр носит случайный характер, вызванный как случайностью самого входног сигнала, так и флукгуапионными шумами, обусловленными квантованием сигнала в аналогоцифровых преобразователях и в различных узлах фильтра.
При налич случайных воздействий можно вести расчет тех или нных характеристик и сигналов на наихудший случай, т. е. для случая детерминированных сигналов произвольно ограниченных по модулю. Именно так оценивается в гл. 3 и 4 р параметров процессов и характеристик КИХ- и БИХ-фильтров. Однако во многи случаях к технически более приемлемым результатам приводят методы оценк усредненных параметров, учитывающие статистические характеристики воздействий., Дискретный сигнал х(»Т) называется случайным, если каждый отсчет х(»Т представляет собой случайную величину. Рассматриваемые ниже случайные лискретныс сигналы считаются стационарными и эргадическими.
Определение' «сгационарные» означает, что характеристики этих случайных дискретных процессов не зависят от времени. Определение «эргодические» означает, что характеристики, полученные усреднением по ансамблю выборок и по времени, совпадают 111. Выборкой (реализацией) случайного дискретного сигнала называют конкретные значения отсчетов этого сигнала в данном эксперименте. Пример 1.31. Пусть хг(пТ)геах!(нТ), где а — константа, имеющая з-разрялпую дробную часть, отсчеты х,(»Т) также имеют г-разрялную дробную часть, отсчеты хг(нТ) имеют г-разрядную пробную часть, г<2з, т.
е, х,(»Т) вычисляется с округлением до г разрялов. Если дискретный сигнал х!(»Т) — непериолический, то можно считать, что хг(нТ)=ах!(пТ)ч-д(иТ), где д(нТ) — -случайный дискретный сигнал, т. е. шум округления. Рассмотрим ряд характеристик случайного дискретного сигнала. Отсчет х(нТ) случайного дискретного сигнала является непрерывной случайной величиной. Например, отсчет й(»Т) случайного дискретного сигнала, введенного в примере 1.31, можно считать непрерывной случайной величиной.
42 д р„непрерывной случайной величины х опрелеля- 1. Иатенатичеснае ажи анис р„н ется как (1.93) р„= Еи= ) х/„дх, ,-- плогность вероятное!и (плотность распредс.. р пения,. П остейп!им примером где / -- плогно н сти случайной величины являе!ся равномер- иепрерыв рывного распределения вероятности случ ' вое раси, прслсление, плотность которого ж й а а х 1.'(хо-л,) при х, <х<хг, (1.94) 0 при х<х, х>х! , е л„.к, — интервал, внутри ко!араго изменяешя случайная всличина .к; тоянна и обратно пропорциональна е!о плогносгь внутри зто!о интервала постоянн длине. "п й величины х плогПри нормальном и. ли !ауссовском распределении случай о" ность распределения всроятности (1.95) где р„, о пос!ояниые.
Среднее по времени случайного процесса ь й(нТ) = 1пп 2, к(нТ). к «2193-1,= - ч (1.96) и†! к=-. 2 х(»Т). )ч „о (1.97) ним квалра гам 2. Средина лттн<ють с. лучайной величины х опрслелястся орел Р,.о=Е(хг)= ) хг/„!(х. (1.98) Среднее значение квалрата случайной послсловательности по и кг(нТ)= 1пп 2 .кл(нТ).
.«2!УЧ-!„н Дисперсия о' определяется средним квадратом центрированной о'=Уаг(х)=Е((х — р„)')=Е(хл) — р„'. времени (1.99) величины (л — р„): (1.100) 43 к э голических процессов статистические Для рассматриваемых ниже сгационарнык эрго с пением по ансамблю выборочных ватсльиос ", г ! . Условимся символом : ! ыс характеристики, полученные усрсднени . послеловатсльиос ватсльиостей и по времени, равны друг лру!у. ЕЦ оГюзначагь усреднение и по ансамблю, и по времени. сги, состоящая из Если известна рс; ализация случайной последователь ю ( ),...,.
((А! — 1) Т), го оценкой математического ожидания !У отсчетов: х(0), х(Т(, ..., .кц р„является выборочное срсдиее 5,(ез)=2) Я,(т)е"' лт, е К,(т)=(1!л) ) 5.[ы)е'""Йо. а (1.105) (1. 10! Прп ~с=о 5,(О)=2 ( Я„(т)Е«. о «- ! о'= — 2 (х(нТ) — х)'. — о (1.102 (1. 106) Р,.„= — ~ 5„(ы) йо. о (1. 107) и«„(щТ)= — ~ .«(лТ)к(пТч-тТ) ьа (1.103) )у = сопя! при 1 !'[ < Г, О при [([>Р. 5 ы (1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
