Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Поэтому свойства ДПФ аналогичны свойствам спектров. Рассмотрим некоторые нз этих свойств. 1. Линейность. Пусть последовательности х, (пТ) и хг (и Т) имеют длину /У; а,, аг — постоянные и хг (й Т) = агх! (п Т)+ +а,х,(пТ). Тогда для ДПФ последовательностей можно записать Ха(/с)=а,Х,(/с)+агХ2(/с), пРичем все ДПФ Х, (/с), Хг(й), Хг(/с) имеют длину М.
Если х,(иТ) имеет длину /т'1, а х (пТ) — -длину /Уг, /)/1~Аьгг, то длительность /чг линейной комбинации х (пТ) равна А/э=птах(/ьг„йгг) и ДПФ всех последовательностей х, (пТ), хг(пТ), хг(пТ) должны вычисляться при /)/=Агг. Если, например, Аг! )/т'г, то Х, (/с) вычисляется в А/! точках: Х, (й)= И,— ! х, (и) И'"„", последовательность х,(,пТ) дополняется 1' »=О (/!/! — Агг) нуля/ии и также вычисляется в Аг! точках: 1 Хг(/с)= ' хг(и) Игьи" /1=0 1, 2 ... А1! — 1. »=о 2.
Сдвиг последовательностей. Пусть х(п Т) — периодическая последовательность с периодом /)/ — имеет ДПФ Х(к) и у(пТ)=х((п+т) Т), гпсАг — целое, есть сдвинутая последовательность. Тогда ДПФ сдвинутой последовательности и-! И-1 1'(/с)= ',1 у(п) И"„'"= ',1 х((п+т) Т) Иг!и". »=О »=О Если в последней сумме произвести замену переменных и+т=п', то У(й)= Иг„х Х(/1). 3. Сдвиг последовательности ДПФ.
Выборки периодической последовательности Х(/с+/) суть коэффициенты ДПФ временнбй последовательности Иг",„'х(пТ) ДПФ последовательности, как правило, комплексные функции, причем действительные части ДПФ вЂ” четные функции (симметричные последовательности) КеХ(/с)=КеХ(/т' — /с), а мнимые части--нечетные функции (антисимметричные последовательности) !гпХ(й)= — 1птХ(М вЂ” /с).
Дискретное преобразование Фурье симметричной последовательности х(пТ)=х((/У вЂ” п) Т) является вещественной функцией. 14 1.4. СВЕРТКА ДИСКРЕТНЪ|Х СИГНАЛОВ КРУГОВАЯ (ПЕРИОДИЧЕСКАЯ) СВЕРТКА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ Если х,(п ) н хг " ( Т) (иТ) — периодические последовательности с периодом /((, то И-1 и- 1 у(пТ)= ~! х,(тТ)х,(пТ-тТ)=,'! х,(пТ вЂ” тТ)хг(тТ) (1.20) У( 1 г м= о также является периодической с периодом в Аг отсчетов. Операция 11.20) ывается круговой (периодической/ сверткой й ем ПФ к говой последовательностей х, (пТ) и хг(иТ). Найдем Д кру свертки 1'(/с), если ДПФ последовательностей х,(иТ) и х,(пТ) соответственно равны Х,(/с) и Х (/с): и-! и-! )'(/с)= ,'1 ( 2 х,(т)х (и — т)) Игия= »=о »=о и-! = х~ х (т )( ~~ х (и — т ) И'1„" " '") Иг„х= Х (й ) ~ Х, (т ) И'"" = = ~~ х!(т)( ~~ х п — т м=о Х, (/с) Х, (/с) =Х!(й)Х2(й).
Заметим, что периодическая последовательность хг(пТ), равная произведению периодических последовательностей х, (и Т) и хг(пТ), каждая с периодом в /(/ отсчетов х, (пТ)=х, (пТ) хг(пТ) имеет ДПФ И-1 Х,(й)=-','Г Х,(/)Х,(й — /), ~ 1=О где по-прежнему Х1(/с) и Хг(й) суть соответственно ДПФ для х, (пТ) и х (пТ). Пример !Л. Пусть х,(п ) и х (» — е ; т; '(пТ) — пернодичсскнс последовательности с периодом )у=з; х,(п/=',О, 1. 2), х,(пТ)=',1, — 1,0). Круговая свертка у(пТ)= 2 = ~~ х 0»Т)х (»Т-г»Т) также пмест перпод М=З, и ее достаточно вычислить .— с для !очек п=О, 1, 2: у (0) = х, (0) хг (0) = О, у(Т)=х, (О) х,(Т)ч-х, (Т)х,(О)=04-1=1, У (2 Т) = х, (0) х, (2 Т) Ч- х, (Т) хг ( Т) Ч- х, (2 Т) х, (0) = 1.
Итак, у(пТ)=(0, 1, — 1). 15 Соотвсгствуюшис ДПФ равны: 22 -Ь2 Х,[й) = 2 х1(п)с -а 2 22 Х2(72 )= ~ х,(п]с -.а 1'(Сг)=Х, (й)ха[А) при Сг =О, 1. 2. Круговую свертку (!.20) можно вычисли!ь с использованием ДПФ по следующему алгорит му: 1. Вычислить согласно (1.1()) ДПФ Х, (/с ) и Х, ()с ) для цоследовагельцостей х, (сгТ) и .л, (пТ). 2. Вычислить согласно (!.21) ДПФ Г()с) для свертки г(пТ). 3.
Вычислить у(п Т) путем вычисления ОДПФ (1.19) по найденному |'(/с ). На практике с целью уменьшения объема вычислений для реализации указацпо!о алгоритма используются различные алгори!мы бысгрого преобразования Фурье (БПФ), ко!орые рассматриваются в гл. 5. ли|П2ЙНАя (АпдриОдичнскля) сВВРГкА дискррт- ! !ЫХ СИ Г1|ЛЛОВ Пусгь л, (пТ) и .т,(пТ) — соответсгвецпо конечные слсг-точечный и )[с -точечный дискретнь!е сигналы.
стгсссейссой (апериодической) еперткой сп их сипгалов называез ся днскретг!ый сигнал, определяемый как 6 ч г (и Т) = ,'1 .т, (т Т) .[ г (и Т вЂ” т Т ) = ,'1 х, (п Т вЂ” т Т) . с (т Т). (1. 22) и=о и О Очевидно, что у(пТ) имеет длину Л(а=СУС+ С[(2 — 1. Пример 18. Пусть Я, =2. х, (01=1. 1, [11=2: СК2 = З..т2 (01= — 2, х2 (т) = 1. л ° [2 т1= 2. Согласно ( !.22): лк = Л21 22 Л22 — 1 = 4.
г(0)=л, (0)л,(01= — 2: 1(Т)=л, (Т)х,(01.2 т,(0)л,(Т)= -31 г(ЗТ)= =.т, (7)х,(Т) г.л,(0)л,(2Т|=4; 1(ЗТ)=х., (Т) гП1Т)=4. т. с, г(пт)= , '— 2 Алгоритм вычисления круговой свертки может быть применен и для вычисления линейной свертки. С э!ой целью следует о[ дискретных сигналов х, (сгТ) и .т,(пТ) перей'ги к )[Сл = с[71+ Ах — !— точечным сигналам л, (пТ) и .т,(пТ), дополнив последовательносги х,(пТ) и .л.
(п7) соответствую[цим числом пулевых отсчетов. Зачем. вь[числив в Лса точках ДПФ Х, (й) и Х,(й), !б цзизи их произведение — ДПФ У(7 )= Х, (/с) Х (й) — и согласно (1,!9) вычислигь свергку г(пТ). Пример .. асс, о .: . '" ", дя иск етных 1.9. Р м грим вычисление .Синсйиой свертки лдя дискретных ...1пныл в и имерс 1Я с помошьнл привслснного выше алгоригма 1.
Запишем л,(п71 н л,(п71 х,(0)==1. т,( )=, х, 12(0)= -2, х2(т)=1, Х2[27 1=2. х~(311=-[Х 2 Цггйсгслг т, (Сс) и Х (й|: Х, (01 = 3. Х, ( 1 ) = ! - СС, Х, (21 = — 1, Х, [31 = 1 - 2С. \'„(01 —. ! ° 12 (!) = 4 С. Х2 [21=- ! ° Х2 (3) = ЬС. 3. Вь1чнспил1 У'(й)=Х2(к)Х2(ь) Г(О! = 3, Г(11= — б ' 7~'. 1'(21= 1. 1'(31=- б — 71'. 4 Вычислим 1(пТ): у 2, [т)= — 3. г[2Т)=4. г(4Т)=4.
! .8. шо. естсствспно. совпаласг с результатами прилшра 1,5. АЛГОРИТМЫ И СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ДИСКРЕТНЪ|Х СИСТЕМ ЛЛГОРИТМЫ ДИСКРЕП|ЫХ ФИЛЬТРОВ В одномерной дцскрепюй сшчеме связь м ду меж вхолным п выходным сиг паламн (последова !Ольцостями) ( ) у ями) х(пТ) и у(пТ) задаегся некоторым оператором Ф: ! (ОТ) =Флл (пТ),'. (1.23) !7 СВ|СЦИОПИ!'ОВЛНПАЯ СВВРТКЛ Не осредствснное вычисление линейной с р ф р у све [ки по формуле (1.22) целесообразно выцолпягь в том случае, когд и е, когда хотя бы одна из двух величин ли ин с[с или сл) не слишком велика — не превышагог 50...100. В гом случае, котла и )[с„н )[сг велики, в опе а! ий оказываегся гораздо бог!ее эффективным по количеству о гораций рассмогрснцый выше алгоритм с примеце Д О, и и )лг »с[С (например. лискретцый сигнал х, (пТ) «бсскоцечпо» пос ! упаюгций речевои сигнал) в гч л (пТ) приводит к большим задержкам или оказывается практически невозможным.
Чтобы применизь эфф т " р н в !том случае, «длинный» дискретный сигнал х, (лТ) секгсгсчастки вычисляют с посс!с!с(гуссгсгг — разбивают па отдельные участки, вы мощью эффективного алгоритма свертки д ' у ля этих учас! ков и сгроят резулшируюшую свертку. Подроб По обно соответствующие ме[олы рассмогрены в (2).
Важнейшим примером линейных дискретных систем являет линейный дискретный фильтр, описываемый линейным разностны уравнением и — ! «-! Х а У (и Т вЂ” т Т) = 2" Ь„х (п Т )с Т (1.2 и=о х=о где Ь>, М вЂ” постоянные вещественные числа, и = О, 1, 2, ..., и Ь,— вещественные или комплексные коэффициенты, не зависящи от входного и выходного сигналов. Полагая а =1, переписывае (1.24) в виде м-! «-1 у(пТ)= — 2 а У(пТ вЂ” тТ)+ 2 Ь„х(пТ вЂ” )гТ). (1.25 м=! х=о Если хотя бы один коэффициент зависит от переменной и (на пример, является периодической функцией и или полиномом п п), то (1.25) описывает фильтр параметрический, т. е.
фильт с переменными параметрами. Ниже рассматриваются в основном фильтры с постоянным козффиг)не«тами, т. е. коэффициенты апп Ь„в (1.25) не завися от переменной и. Как видно из (1.25), значения выходно последовательности у(пТ) в момент пТ определяется )У значе виями входной последовательности в моменты иТ, пТ вЂ” Т, пТ вЂ” 2 и т. д.
и М вЂ” ! значениями самой выходной последовательност в «прошлые» моменты пТ вЂ” Т, пТ вЂ” 2Т и т. д. Если известны начальные условия; у( — Т), у( — 2Т), ..., у( — (М вЂ” 1) Т), уравнение (1.25) дает возможность вычислят все значения у(пТ), и=О, 1, 2,..., т. е. уравнение (!.25) определяе алгоритм вычисления выходной последовательности. Фильтры, описываемые уравнением (1.25), называются рекурсивными. Пример 1.10. Фильтр описывается разиосгным уравнением 1-го порядка у |и Т) = ау (и Т вЂ” Т)+ т (и Т ), (!.26) гдс а=сопз1, и начальиыс усювия у| — Т)=0. Найдем рсшсинс уравнения (1.26) — выходную послсдоватсльность у(пТ) при входной послсдоватсльиости к|в Т), равной сдиннчному импульсу; (1 при п=о; х |и Т) = 8 (п Т') ~ (О при пНО.
Согласно (1.26) получаем у(о)= у|-т)»8(о)=1, у | 1 Т) = ау |0) ь 8 (1 Т) = а, у | 2 Т)= ау1 Т > -»- о !2 Т ) = а, (!.27) у|пТ) =а". О 1 2 из (125) получаем В частном случае, при а =О, т=, « — ! (1.28) у(иТ)=,» Ь,„х(пТ вЂ” )сТ), к=о сл чае значения вы ходной последовательности в " оп деляется лишь значениями входнои в любой момент Т определяется ти в этот же момент и последовательности . Фильтры, описываемые значениям . и входной последовательности. (!.28) называются ~ерекурсшгными.
уравнением тся ависнисм 1.11. Н ' скурсивиый фильтр описывас с ур Пример ., ср у(«Т)=х(пТ) Ч-Ь,х!«Т- Т) (1 при п=о.|; (О при п)1 и Ь,=2. Вычислим у(«Т): >(0)=х(0) 62х(-Т)=1, у(Т)=х(Т) +2х(0)=3, у(2Т) = х(2Т) ч-2х(Т) = 2, г!пТ)!„к!=о, т. с. У(нТ) = (1, 3, 2). СТРУКТУРНЪ|Е СХЕМЪ| ДИСКРЕТНЪ|Х ФИЛЬТРОВ и не ек сивных фильтров могут Алгоритмы рекурсивных и н р ур т е ст т .ных схем, в ко пр~д~~~~ены вид Рук у т х опе аций — алге раиче 9 пия сигналов (у ов словное изображение на рис,а, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
