Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 5
Текст из файла (страница 5)
и,„- постоянные (предполагается ив=1). Соотношение (1.4([) получаегся в результате применения л-преобразования к левой и правой частям уравнения (1.25) и определенна Н(з) согласно (1.47). Передаточная характеристика иерекурсивного филь!'ра, описываемого уравнением (1.2о), Н(с)=,'> 1332 ". (1.49) х=о П р и мер 1.18. Найлом перелаточнуьо $упкпгио 43иг!ьтра.
описываемого ур гниением [1.2б) [см. пример 1.10). Пусть у(с) н Х[3! Хвизображспии выходной 25 у(лТ) и входной х(лТ) последовательностей. Тогда, применив к (!.2б) Е преобразование при нулевых начальных условиях, запишем Т(г) = аг ' Т(г) + Х(г), откуда Н(г)=!/(!+ах ').
Заметим, что передаточная функция рекурсивного фильтра (1.48) может быть, например, прямым делением числителя на знаменатель представлена в виде Н(г)= 2 с г (1.50) -о где с — постоянные коэффициенты. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И ГРАФЫ ДИСКРЕТНЪ|Х ФИЛЬТРОВ Х(г) У(г) д) г/ х!к), г 3 у(г) а) в) Рис. !.12 Структурная схема дискретного фильтра может быть определена не только разностным уравнением, но и передаточной функцией.
Пример !.19. Задан нерекурсивный фильтр, описываемый уравнением у(лТ)=Ьсх(лТ)+Ь,х(лТ вЂ” Т). Этот же фильтр характеризуется передаточной функпией Н(г)=Ье+Ьхг ', которой соответствует структурная схема, представленная на рис. 1.12,а. Наряду со структурной схемой дискретная система может быть представлена в виде графа, т.
е. диаграммы прохождения сигналов, состоящего из направленных ветвей и узлов. Ветвь (!/с) — ветвь, исходящая из узла !' в узел /с. С каждым к-м узлом связана величина сигнала хх(лТ) (или его У-изображение Ха(г)), которая определяется суммой всех сигналов (или их 2-изображений), входящих в данный узел ветвей. В ветви прои оисходит в соответствии с передаточной функцией ветви Нд(г) преобразование сигналов, например задержка или умножение сйгнала на постоянную. Пример 1.2П На рис.
1.12,6 приведен граф фильтра нз примера 1.19. Для всех у зло в графа можно записать соотношения для сигналов или их Х- изображений: узел 1; Х|(г)=Х(г), узел 2: Х,(г)=г 'Х,(г), узел 3: Х|(г)= у(г)=ЬсХ| (г) +Ь!Хг(г), Пример !.21. Рекурсивный фильтр имеет передаточную функцию Н(г)=(|ч-Ь!г ')/(!ч-а|г '), (1.51) (1.52) з, с, описывается уравнением у(лТ)= — и| у(иТ вЂ” Т) +х(ЛТ) + Ь|х (иТ- Т).
(. 3 1.53) Непосредственно уравнению (1.53) нлн функ|гни (1.52) можно поставить в соответствие структурную схему и граф фильтра, приведенные на рис. 1.12,в, г. Для узлов графа можно записать соотношения для последовательностей илн их гвизображений: Х,(г)= Х(г) — а|Хв(г), Хг (г) = Х | [г), Х,(г)= У(г)= Хг(г) +Ь, Х,(г), Хх(г)=г 'Хг(г).
(1.54) СОЕДИНЕНИЕ ФИЛЬТРОВ Эквивалентными называют фильтры, у которых при нулевых начальных условиях и одинаковых входных сигналах выходные сигналы также одинаковы. 1. Последовательное соединение: выходная последовательность предшествующего фильтра является входной для последующего (рис. 1.13,а).
При этом эквивалентная передаточная функция Н,(г) системы равна произвелению передаточных функций Н, (г) и Н, (г) отдельных фильтров: Н, (г) = Н, (г) Н, (г), тнк как Н,(г)=Хз(г)/Х,(г)=(Хз(г)/Хг(г))(Хг(г)/Хг(г)). 2. Параллельное соединение: входная последовательность во всех фильтрах одна и та же, а выходная последовательность системы равна сумме выходных последовательностей отдельных фильтров (рис. 1.13, б); при этом эквивалентная передаточная Функция системы равна сумме передаточных функций отдельных фильтров: 27 И,(7) ф а) Х, !7) 7~7) ,уг) чац! Бг!" , н! ) г!7) у!7) + И! Гг) Иг !7) д) а) и!Иг) Ирку) е.— ~Я7~ (Йггг)Т~Й~~(й) Рис. !.13 Рис.
1.14 (!.58) а) Рис. 1.15 29 Н, (г) = Н! (г) + Н, (г). 3. Соединение обраупной саязи: выходная последовательность одного фильтра подается на вход другого (рис. 1.13,в), причем возможна отрицательная и положительная обратная связь. Здесь эквивалентная передаточная функция системы Н,(г) = Н, (г))('1+ Н, (г) Н, (г)'Ь (1.56) где знак плюс соответствует отрицательной обратной связи, а знак минус †положительн.
Доказательства соотношений (1,55), (1.56) очевидны, они следуют непосредственно из определения переда~очных функций. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ РЕКУРСИВНЪ|Х ФИЛЬТРОВ Р ассмотрим некоторые наиболее часто используемые структурные схемы рекурсивных фильтров. 1. Прямая форма (рис. 1.14, а) структурной схемы рекурсивного фильтра реализуется непосредственно по разностному уравнению М вЂ” 1 Н-1 у(пТ)= — ч! а у(пТ вЂ” тТ) + ~ )уах(пТ вЂ” )гТ) (1.57) а=1 1=О или по передаточной функции и-! и-! 1*)= Е г,*-')( ° Е .*-.) 1=О !а=о Эта схема содержит один сумматор, умножители и )УЬМ вЂ” 2 лите ю элементов задержки (для создания цепей, соответствующи х числю и знаменателю передаточной функции, используются отдельные элементы задержки).
Пример 1.22. Биквалратиый блок (ББ)- фильтр второго порядка, описываемый уравиеиисм у(ит)= — а, у(лт — т) — агу(нт — 2т) +ьег(кт) +ьг(пт — т) тьгг(ит — 2т) (159) или соогветствеиио передаточной функцией Нкк(7)=(ье+Ь!г '+Ь,г ))(1+а,г '+а!7 ') (1.60) 28 гле Ь„а„- постояииые, )г, м=в, 1, 2. Прямая форма сгруктуры ББ привелсиа иа рис. 1.15,а; оиа содержит сумматор и четыре элсмсита задержки. 2. Прямая каноническая форма.
Канонической называют структурную схему фильтра, содержащую минимальное число элементов задержки. Переда~очную функцию (1.58) рекурсивного фильтра можно представить в виде Н(г) = 7'(г))Х(г) = Н, (г) Нг(г), М-1 и. ! в,1*1= )(+ г . -")=го!171*! л,!,1- г 1,*-'= в=! l !=О =у())и(). Передаточным функциям Н,(г) и Н,(г) соответствуют разиостные уравнения )г(пТ)=х(пТ) —,'! а Р(пТ вЂ” тТ)' !ь = 1 и-! у(пТ)= 2 Ьг)У(пТ вЂ” )сТ). Так как в фильтрах, реализующих Н, (г) а=о и Нг(г), имеет место только задержка сигнала К(пТ), то можно использовать только один набор элементов задержки.
Н(г)= 2Н,(г), ! (!.63) где слагаемые Н!(г)=(Ьо!+Ьыг ')((1+а!!г '+аг!г ) (1.64) могут быть реализованы в виде упрощенных структур биквадратных блоков. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ НЕРЕКУРСИВНЪ|Х ФИЛЬТРОВ 1. 'Пряиая форма является непосредственной передаточной функции нерекурсивного фильтра К-1 Н(г)= 2 Ььг " 1=О реализацией (1.65) 30 Прямая каноническая форма струк~урной схемы рекурсивног фильтра, описываемого уравнением (1.57) или соответственн передаточной функцией (1.58), приведена на рис.
1.14, б. Он содержит минимальное число Т. элементов задержки: 7. = =шах()у' — 1, М вЂ” 1) — и два сумматора (в схеме рис.!.14,б пред полагается Л(=М). В качестве примера на рис. 1.15,6 приведен прямая каноническая форма структурной схемы ББ с переда точной функцией (1.60). 3. Каскадна.ч (последовательная) форма структурной схемь (рис.
1.14,в) — одна из наиболее часто применяемых структурны схем — соответствует представлению передаточной функции (1.59 в виде произведения !. Н(г)=П Н(г), (1.61 1=1 где Н1(г) — передаточная функция ББ: Н!(г)=(Ьщ+Ь!!г '+Ьг,г )((1+а,!г '+аг!г ), (1.62) причем возможно, что в некоторых сомножителях Н,(г) некоторые коэффициенты равны нулю и, следовательно, реализуются боле простой структурой, чем показанные на рис.!.15. Заметим также, что при последовательном соединении биквад ратных блоков, реализованных в прямой форме (см.
рис. 1;15,а), может оказаться, что элементы задержки в цепи обратной связи предшествующего блока дублируют элементы задержки в прямой ветви последующего блока и поэтому при каскадной реализации Т.-звенного фильтра на ББ в прямой форме могут быть из схемы исключены избыточные 2(2,— 1) элементы задержки.
4. Параллельная форма (рис. 1.14, г) структурной схемы соответствует представлению передаточной функции (1.59) в виде суммы Рис. 1.!б или соответствующего разностного уравнения фильтра у(пт)= ~' Ь„х(пт — )ст), 1=О Прямая форма (рис. 1.16) содержит А( — 1 элементов задержки, )у' умножителей и сумматор на гУ входов. Эту форму называют также трансверсальным фильтром, или филыпролг с л!ногоотводной линией задержки.
2. Каскадная (последовательпая) форма структурной схемы нерекурсивного фильтра соответствует представлению передаточ- ной функции (1.65) в виде произведения Н(г)=ПН(г), ь где Н,(г)=ЬФ+Ьпг '+Ьыг ', или Н!(г)=Ьо!+Ьг!г ' Реализ ется с помошью упрощенной структуры биквадратного блока. !.8. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ФИЛЬТРОВ ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА Важнейшей временной характеристикой линейной дискретной сисгемы является импульсная характеристика, под которой понимают реакцию системы Ь(пТ) на единичный импульс пр левых начальных условиях.
Импульсную характеристику и ну х аз- Ь(пТ) можно рассчитать путем решения соответствующих р. постных уравнений. П р и мер 1.23. Вычислим импульсную характеристику системы, описываемую рагностиым уравнением 1-го порядка у(пТ)=0,5у(иТ вЂ” Т) +х(иТ). Пусть 31 Видно, что Л(лТ)= ~ й(игТ)ие(лТ вЂ” ьчТ)= ~ /г(игТ). (!.73) /1(л Т) = (0,5)" (1.6 Очсвидио. что й(лТ)5 К(лТ) -к(лТ вЂ” Т). (!.7 (!.76) 2 Заказ 3574 у( — Т)=0, т(лТ)=Ь(лТ1 ОРи жом Г(ОТ) есп й(лТ) и, следовательи /1(лТ) =0,5/1(иТ вЂ” Т) г б(лТ). откуда /1 (0) = О, 5й ( — ! ) + й (О) = 1.
/1(Т)=0,5)1(0) ч-о(Т)=0.5, й(2Т) =0.5/г(7')=0,25, РЕАКЦИЯ ФИЛЬТРА !)А ПРОИЗВОЛЫ10Е ВОЗДГЙСТВИ При помощи дискретной свертки можно рассчитать реакци у(пТ) дискретного фильтра па лнзбое воздействие х(п7'). Де ствигельпо, согласно (1.3) входная последовательность фильтр «(пТ)= ~ х(тТ) 6(пТ вЂ” тТ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
