Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1.9о) и задержки сигнала на один сигнала на константу (рис. . и за интервал дискретизации Т (рис. .9,, 1.!2. На ис. 1.10 изображсна сгруктуриая схема рскурсивного чо . (1.26) в примсрс 1.10 Постросиис фильтра, ангар гм кто|»о го задал ависнисм ть с злсмспга 1, соотвстствуюннсго опс схсмы удобно начинать с зл м ., опс л частся выходной сипыл у и Т Т) С ( Т Т) х,п., и сигнал -ау|я одаются входиои си! нал и си»нала (пТ) иа время Т (злсмснз и получастся у!ам задержки си >.
сформированного сигнала у|пТ вЂ” Т) | выход злсмсита 2 иа -а т кт ная схема фильтра может Отметим, что иногда стрУктУР реализации М гпа атнои реализации, т е фильтра на конкретных ми ро мик схемах. ожно с помо!пью аического сложения выполняется с п операция алгебраиче г! сумматора умножения —— я — -с помощью множит б н элемент памяти с . ной реализации рекурсивного и ии заде жки тре уется один (регистр). Тогда для аппаратнои реализ ц у(пт)-,т, («т)~хе(пт) х (пт) :::Π— ' +3 — ' хе('пт) а) д) т(пт) ег х(пт) е Ь у(пт)-Ьх(п)) Ф) Рис. 1,11 Х(е)= 2 а"е "= ~ («е )" ,=о «=о Рнс. 1Л Рис. 1.10 Если («е ' ! < 1, то (!.30) Х(е)=1)(1 — «е ').
СВОЙСТВА г.-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ !.6. У-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОЕ У-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 21 филыра, структурная схема которого показана на рис. 1.10, потребуются один сумматор, одно множительное устройство и один регистр. В большинстве случаев, однако, структурная схема фильтра лишь указывает, какие операции и в какой последовательности должны быть выполнены для получения выходного сигнала, и пе определяет аппаратной реализации фильтра. В большей мере чем аппаратной реализации, структурная схема соответствует программной реализации фильтра, т. е. реализации путем составления соответствующей программы для ЭВМ. Степень этого соответствия зависит от особенностей конкретной ЭВМ. В задачах анализа и синтеза линейных дискретных систем широко применяются методы У-г!реобразования, Одностороннее У-преобразование последовательности х(пТ), п=О, 1, 2, ..., определяется рядом Х(г)=к.
(х(пТ)) = 2 х(пТ)г (1.29) о=о где г=те)«=а+)(3 — комплексная переменная (рис. 1.11). Множес!во значений г, где ряд (1.29) сходится, называется областью сходимости; для равномерной сходимости ряда достаточно, чтобы ч о ~" !.т(пТ)г "(= 2" (х(пТ)(г "<со. Область сходимости онределяо=о о=о ется радиусом круга Я в г-плоскости, вне которого ряд (1.29) сходи гся. Пример !.13. Пусть х(пТ)=а", «=соне!, п=О, 1, 2, ... Тогда 20 Область сходимости здесь определяется Радиус РУ ' 'ом к га Я=а в е-нлоскости, вне которого Х(е) не имеет особых точек.
Ниже приводится ряд важных и широко используемых своиств и теорем г.-преобразования [2], непосредственно вытекающих из определения (1.29) или легко доказываемых. 1. Лииейпоспеь. Если последовательности к,(пТ) и хз(пТ) имеют соответственно У-преобразования Х,(г) и Х,(г), а„ аз †постоянн, не зависящие от и коэффициенты, то у(пТ) т агхг (пТ) + пакт (пТ) имеет изображение (У-преобразование) У(г)=агХ! (г) +азХг(г).
и х пТ)=О 2. Сдвиг последовательности. Если У(х(пТ)) =Х(г) и х(п ) = при п<0, то у(пТ)=х(пТ вЂ” тпТ) имеет У-преобразование г'(г)=г. (х(пТ вЂ” тпТ)) =г Х(г). Пример 1.14 Пусть т(«Т)=«", !«1<1, и пусть у(«Т)=х(«Т — 2Т), т, е. (О нри п=0,1, Так как согласно (!.30) Ле( )=!й! — «е '), то у(г)=Х(у(пТ))=е й1-«е ).
3. Свертка последовательностей. Пусть Х, (г) = У (х! (пТ)~, Хг(г) =У(хт(пТ)). Свертка последовательностей х! (пТ) и хз(п ) о и у(пТ)= ,'е„х,(тпТ)кг(пТ вЂ” тТ)= „'~ х,(пТ вЂ” тпТ)хг(т~ в=о а=о (1.38) х(пТ)= 2 Кеа,,(Х(г)г" '), с, (1.39) (1.41) «1Т ! х (и Т)!1 = — ! Х (е у" 1) !гт7то (1.36) — «1Т ОБРАТНОЕ Л-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 23 имеет г-преобразование У(г), равное произведению Х, (г) и Хг(г У(г) = Х1 (г) Хг (г). (1.32 4. Перемножение последовательностей. Если Х, (г) = г. (х1(пТ) и Хт(г)=х,(хг(пТ)), то последовательность у(пТ)=х1(пТ)хг(п имеет г.-преобразование 1 Г стт 1а« У(г)= — ~) Х1(р)Х1) ) (1.
33 2лу' 1 в в с где контур с лежит внутри пересекающихся областей сходимост Х1(р) и Хг(г/р). Следствием (1.33) является преобразование Фурь (спектр) сигнала у(нТ) «1Т У(Е'"т)= — " Х1(ЕГКт)Х,(ЕЛи Ы~)тРР (1.34 2л — л1Т где Х,(е'"т) и Х,(е'"т) — спектры сигналов х,(пТ) и хт(лТ и упомянутое равенство (1.10) Парсеваля, устанавливающее связ между энергией сигнала и энергией его спектра. Если положит у(лТ)=х1(пТ)х,(лТ) (звездочка означает комплексно-сопряжен иую величину), то можно записать (2] «1Т ',1 у(пТ)лл 2' х,(пТ)х'(пТ)= — Х,(ез"т)Х1(еу"т)т7оу (135 л=о «=.о 2л "л,Т и в частном случае, при х, (лТ)=хг(пТ)=х(пТ), получим равен ство Парсеваля Обратное г.-преобразование ставит в соответствие функции комплексной переменной Х(г) рещетчатую функцию (последовательность) х(пТ) = х.
' (Х(г)), определяемую по формуле ! 1 х(пТ)лл — ~ Х(г)гл 1т7г, (1.37) 2лу' ) где с — -контур, расположенный в области сходимости Х(г)гл и охватывающий начало координат в г-плоскости. Интеграл в (!.37) удобно вычислить при помощи теоремы о вычетах: 22 функция х(пТ) определяется суммой вычетов подынтегральной функции в полюсах, расположенных в области, охватываемой контуром с: причем вычет в простом полюсе г=гь равен Кез, (Х(г)гл ')=!пп ((г — г„)Х(г)гл '). л лс П р имер 1.15.
Пусть Х(1) =1Я1 — ак '). Здесь олин простой полюс в точке в=а и 1 «(«Т)=1)пс (т — а) 11" ')=а". 1 — ав Удобный способ вычисления обратного х.-преобразования заключается в разложении Х(г) на простые дроби (если Х(г) —— рациональная функция): и Х(г)=,'1, ))11'(1-паг '). 1=1 В этом случае, используя свойство линейности и (1.40), находим и Х(ПТ)лл ~" )31(П1)". (1.42) 1=1 Пусть, например, Х(г)=1/(! — 5г 1+бг 1). Разложим Х(г) на Таблица 1.1 простые дроби: 3 3 Х(к)=- ', + 1-23 ' ! — 33 Согласно (1.42) соответствующая решетчатая функция имее! вид . (пт)=-З 2"+З З".
В [абл. !.1 приведены х.-преобразования часто используемых последовательностей. РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНН[ИЙ (1.44) П ри ив р 1.16 Пусть имссм разиостаос уравнение у[пТ! — 0,5г [лТ вЂ” Т)=.1[пТ) и у[ — Т) =О. Применил йвнреобразованис к обеим частим уравнении, получаем У(3)-0,5е У(с)=Х(3), о!купа У(с)=1!.(1 — О 53 ')) Х(3) Если, например, х(п7')=о[и[), то Х(;)=1. У(31=1,.'[1 — 0,53 '), со1ласно [1.42) или табл, 1.1 получаем у(лТ)=(0,5)".
СВЯЗЬ МЕЖДУ Х-ПРЕОБРАЗОВА
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
