Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Таким образом, верхняя граница ошибки квантования выходного сигнала зависит от суммы модулей выборок импульсной характеристики. Если дисперсия входного шума о,'„= — 2 '"* = Д „,)12, то дисперсия шума квантования е,„„(пТ) на выходе фильтра согласно (2.1 б) М-! от ог ~," )гг()сТ) а=о и в общем случае, учитывая, что для устойчивого фильтра )г(пТ)-+0 при и- со, ог„,= г„Х )гг(КТ)=Ь'У)гг()ст), (2.20) ьо 2 о Согласно равенству Парсеваля «1т 2„)г~ ()с Т) =- (Н(ет" ~ ) 1г г(гл (2.21) .=о о можно записать (2.20) и в виде «1т (2.22) о где 1Н(еу"т)~ -- амплитудно-частотная характеристика ЦФ. Таким образом, по допустимой величине о,'„„и известной АЧХ или импульсной характеристике данного ЦФ можно опре- 56 делить допустимую величину дисперсии ошибки входного сигнала ох„, которая в свою очередь зависит от разрядности (т чисел, представляющих выборки входного сигнала.
Пример 2.6. Цифровой фильтр первого порядка (рис. 2.3) описывается разностным уравнением у(лТ)=.т(иТ)+ау(иТ вЂ” Т). Шум квантования входного сигнала имеет дисперсию о т,. Определить дисперсию выходного шума о„'„, и указать, при каких значениях параметра фильтра а имеет место усиление входного шума фильтром. Согласно (1.68) импульсная характеристика фильтра первого порядка о „'„, = о «„~ а '" = о,', [1)(! — и ')) . -о Для устойчивости фильтра необходимо 1а1<1, а'<1 и, следоватстьно, от„т>о,'„ чем ближе величина (а! к единице, тем больше усиление входного шума фильтром. Пример 2.7.
На рис. 2.4 приведена ЛЧХ НЦФ. Вычислить дисперсию шума на выходе о.,'„„, обусловленную квантованием входного сигнала, если известен тт,'„. Согласно (2.22) «г зыт о„'„„= — о' Иго+ 1,5- — ы т(от =0,417о,',. П р и м с р 23Е Пусть задан фильтр (рис. 2.5) с передаточной функцией !!(с)=1Д!+а,т '+игг г). Найти дисперсию выходного шума филыра, если дисперсия шума на входе равна о,'„, Применив теорему раздожения (1.42), найдем импульсную харакшристику фильтра ~дс т=.
а,— молуль полюсов фильтра (т. е. модуль корнем знаменателя иерет[аточной функции), созе=а,)2 )ат. Согласно (2.!9) 57 Рис. 2.6 о ~„„=о' 2 л'(лг)= ,=а Слсловатсльно, интен исм г, т. е. с приближением полюсов ависи1 от 2 углового положения пол )) од1п <р, т. е. «низкочастотные» п шум, чем «высокочастотные». Заметим, что отн о шума о,'„на входе ааьг...
1О 1й (о а)о т„) = 101я о « — 1О 1й — '~Ф~О 1й о «+ 6Ь+ 10(). (2 26) Следовательно, при увеличении чисфй,,Ь разрядов квантования входных сигналов на один разряд'~:~фйршение сигнал-шум увеличивается примерно на 6 дБ. ~,.'.;ъ:. Отметим, что дисперсию шума, " е,„(л Т), обусловленного квантованием входного сигнала, м(уж1гоь Ойределить из соотношения [см. (1.122) ] я|г т ~ ~5 (е)-т)),(а (2.27) и о где 5.„,(е)иг)=5„(е)г»т))Н(е) ~))~,"55» *(е' ) и 5„„(е'"') — соответственно спектральные плотностй мощности выходного и входного сигналов.
щности 2.5. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФИЛЬТРА Коэффициенты фильтра — рекурсивного или перекур вн (БИХ- или КИХ-фильтр) — определяются в результате решения аппроксимационной задачи того или иного типа; эти задачи рассмотрены в гл. 3 и 4. При реализации фильтра значения коэффициентов квантуются и ошибки квантования приводят 58 к большему или меньшему изменению значений полюсов и нулей передаточной функции и, следовательно, к изменению частотных характеристик фильтра. Так, квантование коэффициентов приводит к появлению ошибки АЧХ ЛА = А (а) — А (а)„где А (а) = =)Н(е)"т )) — АЧХ с неквантованными коэффициентами, А(а)— АЧХ фильтра с квантованными коэффициентами. Величина ~ЛА (а)) не должна превосходить допустимую величину )ЛА ),„, определяемую обычно из условия, чтобы отклонения реальной АЧХ от идеально заданной были в допустимых пределах (см.
гл. 3). Необходимое число разрядов в квантовапных коэффициентах фильтра можно определить путем вычисления )ЛА (а)) для последовательно возрастающего числа разрядов в кодах коэффициентов при выполнении условия 1ЛА(а)~<~ЛА~,„. Более просто (с точки зрения вычислительной сложности) влияние квантования коэффициентов может быть учтено, если реальный фильтр представить в виде параллельного соединения идеального фильтра Н(г) (с неквантованными коэффициентами иа Ь,) и паразигного филыра Н„коэффициенты которого зависят от погрешпосгей Лаа, ЛЬ„квантования исходных коэффициентов, рассматриваемых как статистически независимые величины с равномерными распределениями (рис.
2.6). При этом можно оценить среднеквадрат.ическое отклонение АЧХ (или другой характеристики) реального фильтра от характеристики идеального фильтра (полученной в результате решения аппроксимациопной задачи) и определить число разрядов, обеспечивающее допустимость упомянутого отклонения. Возможны и практически применяются и другие методы, в частности методы, основанные на предварительном изучении чувствительности характеристик фильтра к малым изменениям его коэффициентов, а также методы, учитывающие конкретные сз руктуры фильтров.
2.6. ЭФФЕКТЫ ОКРУГЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ СТРУКТУРЫ ЦФ При реализации алгоритма ЦФ (2.1) выполняются операции сложения и умножения на постоянные числа (коэффициенты фильтра). Сложение чисел с фиксированной запятой при 59 Й: Рис. 2.7, 'т)»...,., разрядности сумматора, не меньше остей представления слагаемых, не приводит к ошибк ения представления суммы (возможно лишь перепо регистра сумматора при сложении двух или больш чтобы исключить переполнение, вводится масштабнр м. 5 2.8). Выполнение операции умножени ошибками округления (усечения): произведение двух ч сировапной запятой соответственно с Ь, и Ь, разряда содержать (Ь, +Ьг) разрядов, и это произведение обь ещается в регистре с Ь„„<Ь,+Ь, разрядов.
В результ ления произведений алгоритм фйльтра реализуется н н выходной сигнал вычисляется с ошибкой, эту ош осительно нетрудно оценить, если учесть высказанные ясредположессия о статистической независимости раз источников шума в фильтре. Модель умножителя см числом разрядов (рис. 2.7) представляется в виде ельного соединения идеального умножителя (с неогр числом разрядов) и сумматора, на вход которого точным значением произведения поступает шум (оши тования; на выходе модели получается квантованное зн изведения с Ьгм разрядами (без учета знакового разряд округления е, (пТ) для данного источника может б ена своей верхней границей шах))е„„(пТ)~=-2 "т =Д/2, -ь куоф где Д = 2 т — шаг квантования, иггй),вможет рассматриваться как дискретный стационарный проц: '~давномерной спектральной плотностью мощности с нул ' )горедним и дисперсией, равной (2.13): ае'=2 "тм,с!2.
Приняв такую линейную модель "',ждого узла умножения, можно рассмотреть всю структуру цФ';йак линейную и вычислить ошибку в выходном сигнале фильтра к суперпозицию ошибок, е„„,„„п с = 1 ... Ь, обусловленных в 'н;Ь источниками шума округления.
С этой целью следует, ','„'определить импульсные характеристики я, (п Т) частей структ ги 1рнльт'ра от каждого с'-го источника шума (выхода 1'-го умнщйфеля) до выхода фильтра и вычислить х е,„„„„; (и Т) = ',Г я, (1с Т) еь„(п Т вЂ” 1с Т), (2.29) х=о Шум округления на выходе, обусловленный всеми Ь источниками шума, г. е„„,„„(пТ)= 2 е„„,„„;(иТ). в=о Теперь легко найти оценки выходного шума квантования результатов. ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОЦЕНКИ ОШИБОК АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ Детерминированная оценка выходного шума, обусловленная 1-м источником в соответсгвии с (2,29), а шах)е „„„(пТ)(<шах 1е,„;(пТ)) „'1 )Я,()сТ)1< я х ь=о < — ~ Мй;()сТ)!.
(2.3 1) 2 ь=о Детерминированная оценка выходного шума, обусловленного всеми Ь источниками (полагая, что разрядность всех умножителей одинакова), а Е„„,„„=шах )е„„„„„(пТ)1< — ',~ ,'>" )Я,.(гсТ)1 Ю с=| ь=о (2.32) Пример 2тв Вычислим выходной шум квантования, обусловленный округлением произведений в устойчивом звене 1-го порялка ()а1<1), структура которого приведена на рис. 2.3. С этой целью составим модель с учетом источника шума квантования произведения (рис. 2В). Из модели видно, что ошибка квантования прохолиг через ту гкс цепь, что и входной сигнал, и импульсная 61 Найдем вероятностные оценки выходного шума квантования.
Дисперсия шума в выходном сигнале, обусловленная 1'-м источником [см. (2.! 9) ), и а г г ~ г() Т) '.2 ч~- г(ьТ) (2.33) ь=о 12 к=о а дисперсия результирующего выходного шума квантования от всех Ь источников стг — ~ о.г .— ')" '~ яг((сТ) (2З4) 1= г =сх=о Очевидно, что в полученных оценках могут быть учтены и ошибки в выходном сигнале, обусловленные масштабированием чисел. г«(я г) г' -л ! е (ау) -« -аг и е,(лг) .а Кз Рис. 2.9 ,й. «:совпадаез с импульсной тельно, Рис. 2Л характеристика, соответствующая источнику ~ характеристикой всего фильтра 6(лТ)=а" и, (2г 2г ч«у о~„,=о' 2 й'(иТ)= — ~ Ь'(лТ)= — 2„ .—.о !2 .=.ь 12 =о' 2 1-аг пример 2.10.
Найти шум квантования ' ' ' й па выходе звена 2-го порядка, структура которого представлена на 15. Составим молодь звена с учетом источника шума квантования (рисгз к как последовательности е,(вТ) и е,(лТ) прохолят по той жс пепи. что ой сигнал. то импульсная характеристика для этих цепей совпадает с и ' ', й характеристикой л(нТ) цепи прохождения входного сигнала и ай о„,„„=(о,', Ч-п,',) 2 й'(лТ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
