Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 6
Текст из файла (страница 6)
и=о Так как реакция дискретного фильтра на единичный импуль Ов(пТ) есгь импульсная характеристика /г(пТ), то вследств стациопарности фильтра /г(пТ вЂ” тТ) будет реакцией фильтра ц последовательность о(пТ вЂ” тТ) и из свойств линейности фильтр следует, что реакция ) (пТ) па последовательность х(пТ) (1.6 будет равна у(пТ) = ,'у х(гпТ)/г(пТ вЂ” тТ). (Еб -о Заменой переменных (!.69) может быль преобразовано к внд у(пТ)=,г «(пТ вЂ” тТ//1(дгТ). и=о В (1.69) и (1.70) предполагается, что й (пТ) =0 при и < 0 и .т(пТ) = при п<0; позгому ч ч у(пТ)= 2 х(пгТ)/г(пТ вЂ” тТ)= 2' «(пТ вЂ” гггТ)/г(ггг!). ' (1.71 а-О =о Наконсц, если т(пТ) н /г(нТ) конечны и отличны ог нул только в Аг точках, и =О, 1, ..., Аг- 1, то и-! и-1 у(п7)= ,'з /г(тТ).т(пТ вЂ” тТ)= ,'г lг(пТ вЂ” гггТ)«(гггТ) (1.72 и=о и — О Формулы свергкн (1.71) и (1.72).
как видно. определяю выхолную последовагельносгь как сумму откликов системы н 32 входную последовательность импульсных воздействий и позволя- ют вычислить выходную последовательность у(пТ) при нулевых начальных условиях и при произвольной входной последователь- ности х(пТ). Пример 1.24. Персходиая характеристика х(лТ) — реакция лииейиой лискрст вой системы лри иулсвых начальных условиях иа сдииичиуьо иоследовательиость ис(иТ) — может быть вычислеиа согласно (1.71); СВЯЗЬ МЕЖДУ ПЕ!'ЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ И ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ По определению (1.47) передаточная функция Н(г) = У(г)/Х(г), где У(г) и Х( ) — г.-образы выходной и входной последовательностей у(пТ) и х(пТ). Пусть х(пТ)=о(пТ), тогда у(пТ)=/г(пТ)— есть импульсная характеристика, Так как при этом Х(г)=1, то г'(г)=г.
(/г(пТ)) и, следовательно, (/г (пТ)) = Н(г), (! .74) т. е. к.-образ импульсной характеристики совпадает с передаточ- ной функцией системы. Если записагь Н(г) в обгцем случае в виде Н(г)= ~~ /зьг ь=о то очевидно, что козффициснты 6„ совпадают с /с-ми выборками импульсной характеристики /г(/с Т) и, следовательно, Н(г)= , 'Ц/,.Т)г-ь. (1.75) 1=О В случае конечной импульсной характеристики /г(/сТ)=0 при /с > Аг и И вЂ” 1 Н(г)=,'2 /г(/сТ)г к=о Из (!.75) и (!.76)„в частносги, следует, что последовательность й(/сТ) можно вычислить из расчета передаточной функции, т.
е. из уравнения Н(г)=г. (/г(пТ)) следует соотношение /г(п7')=г. ' (Н(г)), (1.77) 33 Заметим также, что из соотношения У(г) = Н (г) Х(г) следует как показано в 8 1.6, что выходной сигнал фильтра у (л определяется в результате выполнения операции свертки (1,71) ФИЛЪТРЪ| С КОНЕЧНОЙ И БЕСКОНЕЧНОЙ ИМПУЛЬСНЪ|МИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ (КИХФИЛЪТРЫ И БИХ-ФИЛЬТРЫ) Фильтром с конечной импульсной характеристикой — КИХ фильтром — называют фильтр, у которого импульсная харак теристика представляет собой конечный дискретный сиги (Н-точечный дискретный сигнал), т.
е. может принимать отличны от нуля значения лишь при п=О, 1, ..., )(( — 1. Фильтром с бесконечной импульсной характеристикой — БИХ фильтром — называют фильтр„у которого импульсная харак терисгика может принимать отличные от нуля значения н бесконечном множестве значений п=О, 1, ...
Пример 1.25. Для нсрскурсивного фильтра с передаточной фуикцие Н(г)=3+0,5г '+г '+4г ' в силу (1.77) импульсная характеристика 7»(л определяется а<сдуюшим образом: 7< (0) = 3, 7» (7) =0,5, й (2Т) = 1, )<(3 Т) =4, ЦвТ) = при и>4; очевидно, что зто КИХ-фильтр. Пример 1.26. Для рекурсивного фильтра с передаточной функцией Н(г) =! Д! — 0,2г ') в силу (1.77) и (1.42) импульсная характеристика )<(иТ) определяетс следуюшим образом: )<(иТ)=0,2"; очевидно, что зто БИХ-фильтр. Пример 1.27.
Для рекурсивного фильтра с передаточной функцией Н(г) =(1-г»)/(1-г ') в силу (1.77) импульсная характеристика )<(иг) определяетс следуюшим образом: 7< (0) = 7< (Т) = )<(2Т) =)» (3 7) =)<(4Т) = 1, й(лТ) =0 при л > 5 очевидно, что зто КИХ-фильтр. Очевидно, что нерекурсивный фильтр всегда является КИХ-филь тром, в то же время рекурсивный фильтр может быть как БИХ фильтром (см. пример 1.26), так и КИХ-фильтром (см.
пример 1.27) Поскольку основные особенности проектирования и примене ния фильтров связаны с видом импульсной характеристики (КИ или БИХ), а не с наличием или отсутствием обратной связи будем, как правило, использовать термины «КИХ-фильтр> и «БИХ-фильтр», а не «нерекурсивный» и «рекурсивный» фильтры 1,9. УСТОЙЧИВОСТЬ И РЕАЛИЗУЕМОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ ФИЛЬТРОВ КРИТЕРИЙ РЕАЛИЗУЕМОСТИ Линейный дискретный фильтр физически реализуем, если ег реакция (выходной сигнал) не опережает входного, т.
е. в любо момент пТ реакция у(пТ) зависит лишь от значений входно 34 последовательности х(иТ) в моменты л'Т<иТ и не зависит ог их значений в последующие моменты. Критерием физической реализуемости линейного дискретного фильтра является равенство нулю отсчетов импульсной характеристики при отрицательных значениях моментов отсчетов: )г(пТ)=0 при и<0. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ Фильтр называется устойчивым, если при любых начальных условиях реакция ф)альтра на любое ограниченное воздействие х(пТ) также ограни»(ена, т. е. если (х(лТ)(<М„<оо для всех и=О, 1, 2, ..., то,(у(пТ)1<М><оо для всех и, причем М„и Мх — постоянные, не зависящие от л. Из уравнения дискретного фильтра (1.70) следует, что если х(пТ) ограничено, т.
е. (х (пТ)1< М„< со для всех и, то абсолютное значение выходного сигнала (у(пТ)1< ч> 1)з(тТ)! ~)х(пТ вЂ” тТ)~1< и=о х <М„,'» ()г(тТ)(. Следовательно, критерием устойчивости диски=о ретпого фильтра является абсолютная сходимость ряда отсчетов импульсной характеристики ()з (тТ)) < со. (1.78) и=о Можно показать, что условие (! .78) является не только достаточным, но и необходимым условием устойчивости фильтра.
Однако непосредственное применение условия (1.78) для проверки устойчивости практически затруднено. Поэтому рассмотрим дру! ую формулировку критерия устойчивости. В общем случае передаточная функция линейного дискретного фильтра представляется в виде (1.75) х Н(г)= 2 (з(пТ)г (1.79) откуда следует, что (Н(г)$< 2 ()»(пТ)((г "1 =о Если (г '(<1, то / Н(г)1< 2 3!1»(иТ)~1 я=о Это значит, что в устойчивой системе Н(г) конечна во всех точках г-плоскости, где )г( > 1, и, следовательно, передаточная 35 функция Н(г) не должна иметь особых точек (полюсов) пр г > 1 (на и вне единичного круга г-плоскости).
Таким обр зом, система будет устойчива только тогда, когда все полюс Н(т) расположены внутри единичного круга г-плоскости. Ес Н(г) — дробно-рациональная функция, то полюсы Н(г) определ ются нулями (корнями) многочлена знаменателя передаточно функции: в!.!= у!,ь '/(!+ Е . "). Прнмер 1.28. !. Пусть Н(т)=(1 — т ')Д1-0,2с '). Полюс Н(в) — коре знаменателя И =О, 2<1; фнльтр устойчив.
2. Пусть Н(т)=(1 — з !)Д1 — Обе 4025Г '); здесь корни знаменателя вз,!=03+!04 н !тз(=!вз(=05<1, т. фильтр устойчив; 3. пусеь Н(з) = 1/(1+1,2з '); здесь корень знаменателя с, = — 1, н фильтр неустойчнв. (1.81 Заметим, что формулировка критерия устойчивости относите к несократимой дроби (1.81), так как возможно, что полю компенсируется нулем передаточной функции. Например, фильт описываемый функцией Н(г)=(1 — г ')/(1 — г '), устойчив, несмо ря на то, что полюс !г(=1 лежит на единичной окружност устойчивость фильтра обусловлена тем, что в действи!ельност после сокращения числителя и знаменателя на множитель 1 — г получается Н(г)=1+г '.
Нерекурсивные фильтры всегда усто" чивы, так как все полюсы их передаточной функции локализован в бесконечно удаленной точке (!г! = со). 1.10. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ФИЛЬТРОВ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ВИДЫ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Пусть Х(е' г) и У(е'шг)"-фурье-преобразования входно и выходной последовательностей х(пТ) и у(пТ) дискретног фильтра, т. е. Х(е' т)= ~~" х(пТ)е ' в=о (1.82 У(езшт)= ч! у(пТ)е Зшвг «=о (здесь суммирование производится от п=О до я=со, так ка предполагается, что х(пТ) = 0 и у (и Т) = 0 при п < 0).
Тогд частотной характеристикой системы называют отношение Н(еушт) У(езшг)/Х(еушг) (1.83 36 С едовательно, частотная характеристика совладает с передаточ ной функцией (1.47) на единичной окружности г-плоскости, т. е. при г=е'ш: Н(е) т)= Н(г)~!в=,:. (1,84) Для рекурсивного фильтра согласно (1.48) я-! м-! и!." )= Е ь.-" //! Е ° .-"") в=о 1 ! ш=! для нерекурсивного фильтра согласно (1.49) М вЂ” ! Н(езшт)= Х Ьке Зшвг (1.86) к=о М вЂ” ! или Н(езшт)= ч!" Ь(ЬТ)е !' вт (!.87) в=о так как Ь, =Ь(!ГТ)- — выборки импульсной характеристики фильтра. Заме!им, что частотная характеристика Н(еушг) является передаточной функцией линейной дискретной системы для входного комплексного сипусоидального сигнала х(пТ) =ез ', т. е.
выходной сигнал сис!емы в установившемся режиме при этом равен у(пТ)=Н(е'ш')е' В общем случае Н(езшг) — комплексная функция, которая может быть записана в виде Н(сушт) А(ОЗ)ЕЗВ!ш) З((ОЗ) +7Г(ГО) где А(оз)=(Н(е' г)1 — модуль частотной характеристики -амплитудно-частотная хирактеристики (АЧХ); !р(а)=агйН(езш! )— аргумент частотной характеристики — фазочастотная характеристика (ФЧХ); )1(оз)=А(оз)сойер(аз), У(оз)=А(оз)8!пер(нз) -вещественная и мнимая части частотой характеристики. Трупп!зное время замедления (ГВЗ) т (аз) = — (Г/Гр (оз)/Г/оз), где Гр(оз) — -ФЧХ фильтра.
(1.85) ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Из определения частотных характеристик следует ряд важнейших свойсгв. 1. Все частотные характеристики дискретных филыров являются пепрервгвными функциями частоты. 2. Все частотные характеристики представляют собой периодические функции частоты аз с периодом, )завным частоте дискретизации ы,=2я/Т (так как езш" =е"""ш 'т, ! целое). 3. Для вси/ествеппвзх фильтров, т.
е. фильтров, передаточные функции которых имеют только вещественные коэффициенты, АЧХ А (оз) и ГВЗ т(ы) представляют собой четные функции частоты, а ФЧХ ер(оз) — нечетную функцию частоты. 37 Рис. 1.17 Из этих свойств следует, что требования к частотны характеристикам достаточно задавать лишь на интервале пол периода (О, л Т) Причер 1.29.
Пусть ))(т)=1+я '+т т. Положив к=с'"т=соъаг+Уйпа поквзвиы соответствсиио трвфики АЧХ А(а), ФЧХ а(а) и ГВЗ т(а). НОРМИРОВАНИЕ ЧАСТОТЫ Для того чтобы частотные характеристики различны фильтров было легче сравнивать друг с другом, частоту со нор мируют. Поскольку все частотные характеристики зависят пр постоянном Т от произведения о1Т, вместо твТ вводят одн переменную. Как правило, используют два способа нормировани частоты. При первом способе полагают спТ=о). В этом случа период для всех частотных характеристик равен Й„=2я и требова пня к ним следует задавать на интервале (О, я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
