Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 8
Текст из файла (страница 8)
108) Е[К,[ Т)),= 5 Я,(гнТ)к =Ем[к). На мнимой оси при к=с!и« найдем 1 1 К„(т)= — ~ 5,(ы)езм~!ы. 2п ~ (!.!04) Среднее значение квадрата центрированной случайной последовательности по време из = Е!(к[лТ) — х(нТ))' ) = кз(пТ) — (к(лТ))'. Для реадизапин случайной последовательности .«(нТ), состоящей из !«! отсчетов оценкой дисперсии являсгся выборочная дисперсия 3, Корреляционная фрннцлл К„(гнТ) случайной последовательности, являюща яся мерой зависимости между выборками последовательности «(лТ) в различны моиептьь определяется средним значением произведения случайных величи к (и Т) и х [пТ ч- т Т) К„(гнТ) = Е(х(нТ) х([лч.
гн ) Т)) Опенка Я„(тТ) по известной выборке случайного дискретного сигнала х(пТ), состоящей из )У отсчетов, имеет вид Основ1пями свойствами корреляционной функции являются: К,(тТ)- — четная функция, т. с. К„(щТ)=Я„( — тТ) начальное значение корреляционной функции Я„(0)=Е(х (лТ)) =о'пр„'; при тпО Я(тТ)еК(0); сели п„ФО, то 1пп ЯтТ)=р,'; авзокорредяционная функция сзационарного случайного процесса зависит лишь от разности моментов наблюдения, т.
е. ог гнТ. Ана:югично определяется и взаимная корреляционная функция для двух стационарных послеловатсльностсй х(лТ) и у(нТ): Я„,(льТ)= Е(х(нТ) р((лч-щ) Т)1 Взаимная корреляционная функция прн изменении сдан~а гнТ на — тТ изменяет порядок своих индексов: К х(тТ)=Ям( — тТ), При и=О Я„„(О)=Е(к(пТ)у(пТ) ) т с. начальное значение корреляционной функции равно среднему значению произведения случайных последовательностей.
4. Сненгнрольнон плотно«ель иоиггюгтин (СПМ) 5(ы) и корреляционная фуркция Я(т) цептрированпого стационарного случайного процесса х(г) связаны парой преобразования Фурье: 5„(ы)= ) Я„(т)с '"'Ж, Заметим, что 5„(ы) — неотрицательная четная функция, и так как К„(т) — также четная функция, то' можно записатги 44 т. е.
спскзр пскзральная плотность мощности па нулевой частоте определяется площадью, ограппчеююй автокорреляциоппой функцией. При т=О К„(0)=Е(хз(г))=Р„- средняя мощность процесса х(г) и, как видно из (! 105). Пример 1.32. Рассмотрим стационарный процесс .т(!) с равномерной спек«радьной плотностью мощности в некоторой полосе частот Тч Корреляционная функция этого процесса булст согласно (1.105) К (т) 2(5соз2я/тг[! 2А!Р(ил2крт!2яГ«) о Видно, что при значениях т, кратных 1!(2Г), Я(т)=0, т. е. сечения процесса, раздсденныс интервалом гн ! !(2Е), л1 — це:юс, не коррелированы между сооой. При Р-н ю придем к процессу, называемому белым шумом, с функцией коРРелации К(«)=)цб[!)=(Ле,'2)Ь(т), где 5„=2)У вЂ” одностоРоннЯЯ спсктРальнаа пдо1ность белого шума (при (>0) (иптенсивность шума).
Хотя белый шум нс является реальным физическим процессом. он часто используется на пракзикс в качестве математической молели многих реальных процессов. Заметим, что частотиыс представления случайной сзационарной лискрстной посяедовательности можно получить и из Е-преобразования автокорредяциопиой функции: 5„[ )= 2 К„(гнт)с '" Замечаем, что 5„(ы) -периодическая функция частоты с псриолом ю„=2я[Т. Отсюда сдсдует, что, в свою очередь, 45 <г Т Г Е.
(тТ)= — 5. (<о)ез""т<(ы. 2х (1.109 Т Г *( ) .( ) 2л ) (1.110 (1. 1! 5) 5.<(<о)= ) Е„<.(т)е ' В.<, и, наоборот, 1 Г Е„а= — ~ 5.<(ю)еа Йо, (пТ) — ~ й((< Т) х(пт — (<Т) 1 Г Е (0) 1Г5 (ы)„ы 2к ~ (1Л 12) а -:а<=- Полагая 1=<1+р, записываем у(лТ)= 2 (а((<Т)х(лТ вЂ” )<Т) <=о (!.114) или из соотношений в Е-изобраиениях Е (тТ)= 5' Л(РТ)Е„(тТ вЂ” РТ). у(е) = Н(е) Х(х). (1.! 18) 46 47 иг Отсюда пол чаем, что у ', то средний квадраг последовательное<и .<<алТ<, т.
е. с е ня мощность последовательности, <и х<л ), т. е. средня <г Гели срелнее значение последовательности х( Т) и х(л ) равно нулю, т. с. л„=О, т „( ) опредсляе< и дисперсию последовательности: о<=В„(0). и: о,= „( ). Таким образом, д рсия послсдавательносги пропорциональ .. на .пло<цади, ограниченной спектральной функцией в основной полосе частот ( — к! Т, к/ Т~. Преоб азование Ф р урьс взаимной корреляционной функции Е„„(т) оп елсляет взаимную спектральную плогность „„(т) определяет причем 5„<(го)=5<„(-го). Полагая в (1.111) т=О, получаем ФИЛЬТРАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Стационарная сл чайная , у < ослсловатсльносгь «(лТ) воздействует на ф .
тр . пульсной характсрис<икой )а(лТ) и передаточной функцией Н(з)= Т Е( Т) -". -о (1 113) Выходная случайная послсдова<ельносгь филь< а <лТ! оп фильтра у(л ) определясгся из соог- Найдем сгатистичсскис характеристики выхолной последовательности у(лТ), сслн известны соответствующие характеристики входной последовательности. Грел<ля мощность Р„, выходной послсдователы<ости и Рог —- Е(у~(пТ))= 1пп ~ уа(лТ)= и „,,2<и'+1 „ ,и =!пп 2 ~ ~ ~ Е((<Т))<(<пТ)х(лТ вЂ” ЕТ) т(иТ-и<Т) и., 2Н< 1 - -и(а=о =о и ~ (<(7<Т))<(тТ)У(йщ ~ х(лТ вЂ” (<Т)х(лТ вЂ” тТ) . а=о =о и 25+1, .и Вырапснис в фигурных скобках есп средняя мощность входной последо- вательности Р,„, и, следовательно, р,= р„, 2 йа(пТ).
-о Гели входной сигнал имеет нулевую срелнюю (В,=О), то и <т(=о~ ~ )<~(пТ). =о Корреляпионная функция Еа(тТ) выходной последовательности определяется средним значением произведения функций к((„„т) Т)= 5' Ч!Т)х(лТ+тТ вЂ” 1Т). а:— г. с. Е„(тТ)=Е(у(пТ)у(лТч.тТ)~= 2 )<'ВТ)(а(!Т)Е(х(лТ вЂ” ЕТ)х(пТч тТ !Т)). Е ( Т)= ~ ~ )<((<Т))<(7<Т+рТ)Е(х(лТ вЂ” ЕТ)х(пТ+тТ-7<Т-рТ)1' Так как Е(х(лТ вЂ” 1<Т)т(пТ вЂ” 1<Т+ тТ вЂ” рТ) (=Е„(тТ вЂ” рТ), и обозначая 1<(!<Т))<((<Т+рТ)=Л(РТ), (!.117) найдем связь корреляционных функций выходной и входной последовательностей и виде свертки: найдем ,г , т (' г,„,, „,, о (1.!25) (1.126) )=ар(пТ- Т)ч-т(ггТ), а <1, с(7) = 2„6(п т) 7" 2 /г(й т) 7-7 и, следовательно, Г доэ * я 3 2 [1-ггсозшТ) о "и гг — — ~ 57(го)г/ы= — ~ 5,,(ш)йо и ~ (1. 122) 2.1.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Рн„= — ! 5 (со)!н(е~ г)17,/, о (1.123) ~ й (нТ)= — ~ !//[сшг)(77/ох -ь и е (!.!24) Соотношение [1.118) в К-образах подставляется в вила 5,(7)=С( )5„(7), (1.! 9) Где 5 7) и 5 „( ) и 5,(7) "-образы коррсляпиопных функций йг(тТ) и /[, г~гТ), а С(7) 7-образ функции К(/гТ).
г. е. С(7)= ~ К[рТ!7 г= ~ ~ й(йТ)й(/гТЧ-рТ) р= ° ь —— Полагая здесь (йчр)=гг, р=н-й, записываем Но 2. 6[йТ)7 '=Н( ), а 2 й(нТ)7"=Н(7 '), поэтому ь-— С(г)= Н(7)Н(7 "') 5,рз)=Н(7) П(. — ') 5,(7! Если положить г=е'"', т — о из (1.120) получим соотношение лля спектральной плопюсти мощносги (СПМ) выходной и входной последовательностей 5 (г г г ) Н(с/ т)//(с -э г) 5 (е/ г ) )Н[ег г)(7 5 ( г г) ,,е (1А 21) т. е. СП3/ выхоонай ногмгт)овогнсхьности равна нронзвсдегггао квадрата АЧХ [вилли гулпо-частотной характеристики) 1/гнлыира ми СНЛ/ входной ш>гаедгшательмости. Срелпяя мощность выходной последовазсггьиости согласно (1.110) гле 5„(ш) опрелелястся формулой (1.121), т.
с. нт Заметим, что в э с ряд случаев представляет инзсрес предварительная (з. с. ло синтеза) приближенная оценка мощное г гцу и ума на выхопе фильтра. т. с. дисперсии о„' по известной величине о,' и зилапной АЧХ ф А*( релпопожив, что у реально синтезированного фильтра [Н(е'"гй=А(вг) Аь(ш), воспользуемся формулой [1.116) и равенством Парссваля .гт мер 133. Пусть па вход дискретного фильтра. описывасмог о уравнением полаетсй случайный сигнал х[нТ) с нскоррелированными выборками с пулевым средним и дисперсией о„. Определить СПМ и среднюю могггггость сигиада на вьгхозс ф/гльтра.
так как выборки х(нТ) статистически независимы. то корреляционная функция й„[нгТ)=пг 6(гнТ), й(гнТ)=1 при т=й и В(тТ)=0 нгд0. Спектральная плотность поганости входной последовательности 5,(го)=ох, так как У(й(гнт)1=1. Далее находим СПМ выходной послеловазельносги 5„(го)1 согласно (1.121) 5 (ш)=[Н(ег"')1'5 (ш), в в соотвстсгвии с уравнением (1.126) передаточная функция фильтра l/(7)=(й1-ат ') и !Н(е/зм )1= !1(1! — ое '"'!)=)гм 2(1 — асоз оэТ). Средняя мошносгь выхолной поспсловатсльности согласно (1.123) Г л а в а 2.
ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ Под цифровым фильтром (ЦФ) понимают дискретную систему, описываемую уравнением (1.25) м-г и — г у(пТ)= — ,'г и„у(пТ вЂ” тТ)+ ,'г /эх.к(пТ вЂ” /[Т) (2.1) т= г к=о н реализованную программным путем на цифровой ЭВМ (такая ЭВМ может быль специализированной, учизываюшей особенности алгоритма ЦФ) или аппаратным путем в виде специализированного цифрового вычислительного устройства; последнее представляет собой совокупность ряда операционных устройств— регистров, сумматоров, умножителей, устройств управления. Сигналы на входе х(пТ) и ы ходе у(пТ) ЦФ (рис. 2.1) явля с цифровыми, т.
е. последовател ностями чисел. Каждое из этих сел Рис. 2.1 представляет ся в виде двои юго кода, и в цифровом фильтре в соответствии с алгорит ами (2.1) выполняются операции пересылки, сложения, умно ени кодов. Однако при этом алгоритм функционирования реал уетс неточно. Ошибки цифровой фильтрации обусловлены, во-! рвых, квантованием входных и выходных сигналов (т.
е. предста лением их отсчетов числами с определенным конечным числом ра рядов), во-вторых, квантованием коэффициентов фильтра а „Ь„и, в-третьих, конечной разрядностью операционных устройств (регисгров), вследствие чего имеет место округление результатов арифметических операций. Поэтому при реализации ЦФ следует' учесть поведение упомянутых ошибок, которые часто называют озаиб«ав!и квантования. Это значит, что выбранная структура ЦФ, разрядность входных и выходных сигналов, длина регистров арифметических устройств должны быть определены так, чтобы ошибки квантования не превосходили допустимой величины. Точность реализации алгоритма (2.1) является важным критерием качества ЦФ. Другим важным критерием качества ЦФ является его быстродействие, определяемое временем 1„м, необходимым для вычисления одного отсчета выходного сигнала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
