Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Очевидно, что должно выполняться условие ! м < Т, где Т вЂ” заданный период дискретизации сигналов. Для ЦФ, работающих в реальном масштабе времени, например в системах связи и управления, быстродействие является определяющим параметром. Повышение быстродействия часто связано с определенным математическим и программным обеспечением и с увеличением аппаратурных затрат (введение буферных регистров для реализации поточной обработки информации,, введение параллельной реализации нескольких операций и т. д.).
2.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И КОДИРОВАНИЕ ЧИСЕЛ пРедстАВлеч!ие чисел В цифровых устройствах обычно применяют два представления числа: с фиксированной и плавающей запятыми. В представлении числа А с фиксированной запятой предполагается обычно !А !<1, запятая располагается между первым и вторым разрядами регистра числа, причем в первом разряде записывается код знака числа. КОДИРОВАНИЕ ЧИСЕЛ Д ля кодирования числа с фиксированной запятой А=+О, а!аз...а, (2.3) гле а,еО, 1 — числовые разряды с весом 2, 1=!...т, 1 используются три основных способа; прямой, обратный и до- полнительный коды. Прямой код числа А(2.3) записывается в виде О, а,а ...а при А>0, (2.4) 1, а,а ...
а„при А<0, г. е. знак положительного числа кодируется нулем, знак от- рицательного числа — единицей, а числовые разряды кода со- впадают с числовыми разрядами самого числа А, Примср 2.2. Числа А, =+О,Н!1! и А,= — О,Р01! записываются в прямом яодс '!А,1„„=0,10! 1; [А,)„„=1,!01!. Обратный код числа А(2.3) представляется в виде !О, азат...а„при А>0, 1, йа ...й при А<0, (2. 5) 51 Разрядная сетка, содержашая т+1 двоичных разрядов, по- зв ляет представить 2 различных по абсолютной величине чи л с шагом 2 в диапазоне 0...1- — 2 ((<!А !<1 — 2 (2.2) Если, значение числа выходит за верхний предел указанного диапазона (например, в результате выполнения арифметических операц ра ий сложения может получиться !А ! > 1), происходит пеез льтата. реполнение разрядной сетки и имеет место искажение резу П лставление двоичного числа с плавающей запятой задается соотношением А =*р2ь', где и и )з — числа без знака, которые называются соответственно порядком и мантиссой числа А, 1! 2 Пример 2.1.
Число А =О О!01 можст быть записано в виде А =О,!О! 2 тс и=0,101; в=1, В разрядной сетке числа т„разрядов отводится на пред- ставление порядка числа и его знака и т„ разрядов †представление мантиссы и ее .знака; т„+т„=т — обп!ее число зрядов. Диапазон представления абсолютйых значений чисел разрядо . в форме с плавающей запятои много больше, чем в фор с фиксированной запятой. Однако в устройствах ЦОС, реализу- емых в виде спецвычислителей, применяется, как правило, представление с фиксированной запятой. где а; — инверсия разряда а; (О заменяется на 1 и наобо т), т.
е. ложительные числа п редставляются, как в прямом коде, отрицатель- ные--кодом, в знаковый разряд которого записывается е гп а в числовые аз ы— р ряды — инвертированные значения разрядов йряся единица, лом 2 — 2, т. е. с числ мого кода (это эквивалентно сложению т-разряди -разрядного числа А с['чисм —, т. е. с числом, содержащим во всех разрядах единицы). Пример 23. А,= — 0,1011, А»мр —- 1,0100. ! дополиитепьный код числа А (2.3) пред представляется в виде О, а,а ...а при А>0, 1, ай ...й +2 при А<0, з»» (2.6) т.
е. положительные числа представляются так к же, как и в прямом коде, а отрицательные — кодом, в знаковый разряд которог 1, а в числовые разряды — инвертированные о значения разрядов прямого кода и к младшему разряду добав- ляется единица (это эквивалентно сложению т-разрядного от- рицательного числа А с числом два: 1О, 0000). Обычно п ямой ко р " д 1спользуется при выполнении операции умножения, а дополнительный код — при выполнении операции сложения с отрицательными числами. Пример 2А. А,= — 0,1011; [А»1„,=1,0101. 2.3.
ОШИБКИ КВАНТОВАНИЯ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ ИСТОЧНИКИ ОШИБОК КВАНТОВАНИЯ В реальных устройствах цифровой обработки бходимо читывать эффе о и сигналов неоу ть эффекты, обусловленные квантованием вхо сигналов и конечной входных " разрядностью всех регистров, Источниками оши ок в процессах обработки сигналов являются округление (усечение) результатов арифметических операций, ш ования входных аналоговых сигналов, неточность их коэфф реализации характеристик цифровых фильтров из-за округления ния анализа п и эффициентов (параметров).
В дальнейшем с с целью упрощесимы и не ко редполагается, что все источники ошибок ррелируюг с входным сигналом (хотя мы и независмотрим явление п редельных циклов, обусловленных коррели.ы и расрованным шумом округления). ффе ты квантования приводят в конечном итоге к пог шностям в выходных сигналах цифров х ф ы фильтров, а в некото ых случаях и к неустойчивым режимам ЦФ. В ЦФ б ем ыходную ошибку пь удем рассчитывать как суперпозицию ошибок, б 1х каждым независимым источником.
и ок, о условлен- 52 КВАНТОВАНИЕ ЧИСЕЛ И СИГНАЛОВ Квантовиние чисел является нелинейной операцией; т-разрядное двоичное число А представляется Ь-разрядным двоичным числом В=К(А), причем Ь<пь В результате квантования число А представляется с ошибкой е =  — А = Ь'(А ) — А. (2.7) Шаг квантования Д определяется весом младшего числового разряда Д = 2 '. При квантовании используется усечение или округление, Усечение числа А состоит в отбрасывании т — Ь младших разрядов числа, при этом ошибка усечения е„; = Р„» (А ) — А. (2.8) Оценим величину ошибки в предположении т » Ь. Для положительных чисел при любом способе кодирования — 2 ь<е„.<0. Для отрицательных чисел при использовании прямого и обратного кодов ошибка усечения неотрицательна: 0<с„,<2 ь, а в дополнительном коде эта ошибка неположительна: 0>ег»> — 2 Таким образом, во всех случаях абсолютное значение ошибки усечения не превосходит шага квантования: ша1([е„»[<2 ь=Д.
(2.9) Округление т-разрядного числа А до Ь разрядов (Ь «т ): Ь-й разряд остается неизменным или увеличивается на единицу в зависимости оз того, больше 1/2 2 " или меньше 1/2 2 ' отбрасываемая дробь О, аь+» ...а, где а; — [-й разряд числа А, 1'= Ь+ 1 ... т. Округление можно практически выполнить путем прибавления единицы к (Ь+1)-му разряду и усечения полученного числа до Ь разрядов. В таком случае ошибка округления е»» = го» (А ) А при всех способах кодирования лежит в пределах — 2 ь <еа»<2 (2.10) и, следовательно, шах [е,.
[ < 2 ь ' = Д/2. (2.11) В задачах ЦОС ошибки квантования чисел рассматриваются хак стационарный шумоподобный процесс с равномерным распределением вероятности по диапазону распределения ошибок квантования. На рис. 2,2,а,б приведены плотности вероятности ошибки квантования при округлении и усечении. Квантование дискретных сигналов (в АЦП и цифровых сигналов на выходах умножителей и сумматоров) состоит в представлении отсчета (выборки сигнала) числами х(п Т), содержащими Ь числовых разрядов.
Квантование сигналов, как н квантование чисел, является нелинейной операцией. Однако 53 р(ем) ое р(явь) х(яТ) .е(аг) е(дг) ф д еп а) Рис. 2.2 Р,,=Е(е)= ) ер,г(е, о '=ЕЕ(е — )г„)г3г= ) егр г(е=Ь(ег") — рг где р„- плотность вероятности ошибки. По этим формулам легко вычислить математическое ожидание и дисперсию для ошибок округления и усечения: 0 при округлении и усечении прямого и обратного кодов, -ь -~ (2.12) -2 = -Д(2 при усечении дополнительного кода; при анализе процессов в ЦФ используется линейная модель квантования сигналов (рис.
2.2,е), где )(пТ)- дискрезный или гп-разрядный цифровой сигнал (гп > Ь ), х (п Т) -- квантованный Ь-разрядный цифровой сигнал, ошибка квантования е(п Т) = х (и Т) — 7(п Т). Верхнее значение ошибки квантования шах !е(пТ)! определяется по-прежнему соотношением (2.!О) или (2.11). Вероятностные оценки ошибок квантования основаны на предположениях о том, что последовательность е(пТ) является стационарным случайным процессом с равномерным распределением вероятности по диапазону ошибок квантования и е(пТ) пе коррелировал с 7(пТ).
Математическое ожидание (среднее значение) )г, и дисперсия о г ошибки квантования е определяются по формулам (см. Ь' !.11): В логарифмическом масштабе стяг=!О!а — =10!я(2 гь/12) 0' !2 = — (6Ь+ 10,8) дБ. Примср 25. При 8=8 02=2 ) дисперсия шума кваитоваиия о)= — 59дБ; при Ь=!2 о,'= — 83 дБ.
2.4. ВЛИЯНИЕ КВАНТОВАНИЯ ВХОДНОГО СИГНАЛА НА ВЫХОДНОЙ СИГНАЛ ЦФ ВЫХОДНОЙ ШУМ (2.1 5) Если на ЦФ с импульсной характеристикой Ь(пТ) действует сигнал (последовательность) х(пТ), то согласно (1.70) и (!.72) выходной сигнал у(пТ) определяется выражением д-г у(пт)= ,'~ Ь(ЬТ)х(пт — (ст), (2.14) ь=о или в общем случае у(пТ)= ',ь Ь(ЬТ)х(пТ вЂ” (сТ), ь=о причем Ь()сТ)- 0 при Ь оэ. В результате квантования входных выборок шум квантова- ния — последовательность ошибок е„(п Т) — накладывается на входные сигналы и воздействует на ЦФ, Полагая ЦФ линейным, т.
е. коэффициенты фильтра и арифметические операции в процес- соре фильтра реализуются точно (регистры имеют неограничен- ную длину), можно вычислить реакцию фильтра е,„,(пТ) на входной шум согласно (2.14): и-г е,„„(пТ)= ~ Ь(ЬТ)е,„(пТ вЂ” ЬТ) при Ь(<со. (2.16) ь=о Аналогично можно найти ошибку сигнала в любой точке структурной схемы дискретного (линейного) фильтра, обусловлен- ную шумом квантования входного сигнала е (пТ). Если, напри- мер, Ь,.(пТ) есть импульсная характеристика части фильтра от его входа до выхода ~'-го сумматора, то ошибка сигнала на выходе этого сумматора, обусловленная квантованием входного сигнала, е;(пТ)= ,'> Ь,((сТ)е,„'(пТ вЂ” ЬТ), (2.17) ь=о ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ ОЦЕНКА (2.13) 54 г Д /12 при округлении и усечении дополнительного кода, Дг/3 при усечении прямого и обратного кодов.
Оценим указанные ошибки. Вначале вычислим детерми- нированную оценку ошибки (2.16) или (2.17). Если разряд- ность отсчетов входного сигнала после запятой равна Ь , то 55 у/лг) Рис. 2.4 Рис. 23 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОЦЕНКИ (2.23) удлТ)=а . Согласно (2.19) (2.19) о мт й(пТ)= з(п((л-ь!)чт1, ил 9 (2.25) ошибка квантования (округления) входного сигнала ограничена величиной Е„„=шах(е.,(иТ)!=2 " '=Д,„)2 и оценка ошггбки квантования выходного сигнала «~ Е,„„=гпах(е,„„(пТ)(<шах(е„(пТ)( ',! 1тг(тсТ)(< <(' ~м !й(йт)1 (2.18) х=о Аналогично определяются оценки для е!(пТ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
