Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 2
Текст из файла (страница 2)
При Оз = 0 с(= о — вещественное и «(п Т) = е = с" — вещест- венная степенная последовательность. На рис. 1.4,в приведено изображение последовательности х(пТ)=с" и (пТ), где с<1. )Териодической называют последовательность х(пТ), удовлет- воряющую условию х(пТ)=х(пТ+тМТ), где т и Л( — целые числа, т=1, 2, ...; 1ЧТ (или Л() — период последовательности.
Пери- одическую последовательность достаточно задать на интервале одного периода, напрймер при 0<п<Л( — 1. П р и м с р 1.4. На рис. 1.5, а изображена псриодичсская последовательность «(иТ)=!1, 1, О, О) с периодом Ы=4. На рис. 1.5,6 показана та жс периодическая послсдоватсльность, но сдвинутая на два отсчста влево, т. с. послсдоватсльность х(иТ вЂ” (ст) при (с= — 2; х(иТ+27)= (О, О, 1, 1). Из рассмотрения интервала одного периода (например, ин- тервала О,...,Л( — 1) легко заметить, что при выходе в результате сдвига из интервала какого-то отсчета точно такой же отсчет входит в интервал с другого его конца. Такой сдвиг называется 7 -В-гг/-/В //Угз пт а) п(пг+ГТ! -В-г -,ТВ-/ В / / Ю г й пТ б) Рис.
1.5 кргеввыль Заметим еше, что сдвиг периодической после' о а' ности х(нТ) с периолом /г/ па й'>/«' отсчетов нел (!.5) < )„„„, Рилли ссггг««1 с«лс!!сии« я ~ /г' !. с г ~ /Чг * 1/г > '< ', !. с ссли сч Не/, /- ггслос, 8 СПНКтРЫ г«НАЛ01'ОНЫХ И ДНСКРЕтНЫК С«1Г11ЛЛО Для описания аналоговых и дискретных сигналов ов в частотпои у г' аппарат преобразования Фурье. О!/екпгр!/,г! Хп(/ УР аналогового сигпшггг х„(/) называют прямое преобразование Ф Х (!ог) = ) .« (/ ) е !и! !7/. (!.3 В свою очередь, согласно обратному преобразованию Ф ь урье хп (/ ) = — ~ Х, (!го) е/ ! Йо. 2« (1.4 (Предполагается сходимосг ь ипчегралов в (1.3), (!.4 , (, ) и х,(Е)=' Пара преобразований Фурье чля решетча й ф р тной п!ньгег)овитеяьпоспги) имеет вид: Х(е/ т)=Ф1.«(пТ),'= 2 х(пТ)е """', «=о «Д' .«(пТ)=Ф ' !Х(е'"" )) = — Х( ' "!)/7 ( 1.6): - и! Г Х/е!иг г ( ) называют онктро.и дискретного сг!Рнвли.
!х(е/ !! гв к гв ги в Т Т Т Т 1'ис. 1.О г. е лнгдуль спектра вещественной послеловательпосги являечся чгтн!гй фупкцией. а аргумегп- -пепси!ной фгню/ией частоты. На рис, 1.6 показано условное изображение модуля спектра вещественной последовательности. Основным прнмы.и спг!ктрогг Х ' (е""т) начываюч часгь спектра Х(е'"т). расположенную в областип нижних частот о! о) =0 до со = и„,'2 = к/Т, а основным инверсны.гг !п<к!про.и — часть спектра в облас! и частот — к 7'(го<0. 2. Очевидно свойство линейности преобразований Фурье. 3. При сдви:е спекгра Х(е"") последовагельности х(пТ) по оси час!от вправо па величину ог, получаем спектр 1'(е/ т)=Х(с" "г'').
Этому спектру соггчасно (1.6) соотвечствует послсловачельпосчь кг' «'г г (п7')= — У(ек"т)е'"" г)го= — Х(е"и и!'Т)с/"'пг !(ог= зл 'и л г «'г «,' Г =с/"'!пч — ~ Х(е/ ') е/"пг в!го. зп -л'т г' е 1(п7')=е/"гпг «(пТ) (1.7) Вывол формул (1.5) и (1.6) из (13), (1 4) основан на использовании представления лискречпого сигнала в виде (1.2) и свойстве периодичности спекгра (см. ниже). Огмечнм рял свойств спектров Лискрстпьгх сигналов. 1. Из (1.5) следует, что спектр Х(е/"' ) дискречпой последо- ва гельпостн являегся пер!!одиг!вской фгнкг/ией по чистоте о) с пери- одом, равным частоте дискретизации: гол = 2к/7"; Х(е/" г ) = =Х(е"" " г"'Г' Г). !«=1, 2....
Ясно, что также периодическим по частоге с периодом го„=2п(Т являются модуль спекгра !Х(е/"т)! и фаза — аргумент ага Х(е/ит). Кроме того, для вещественных послсловатсльностей .«(пТ), как слсдуег из (1.5), !Х(с/«'Г)!=!Х(с !"Т)!, агаХ(с/ г)= — агяХ(е '"'), и, следовательно, сдвиг спектра по оси Е)п)пт умножению последовательности х( Ту частот соответств ет п ) на последовательность У частном случае, при О) =л)Т, п р, =,', олучаем, что последоть у(п )=е х(пТ)=( — 1)" х(пТ) имеет спектр У(еунт) Х(еу(п — п)т) т) (1.8) Х( Такой спектр называется ин инеергным по отношению к спект (е ) последовательности х(пТ).
4. П . При сдвиге дискретного сигнала х(пТ) вп аво (т. е, п и у и )'=х(пТ вЂ” п,Т) и согласно (!.5) спектр задержанного сип)ала у (еупт ) е упп! т Х(еуэпт ) — ). (1.9) связаны след ю ей 5. Дискретный сигнал х(и7) и модуль его спектр' [Х( !"7)! дующей зависимостью (теорема Парсеваля [1]): п)Т п=о 2 [х(и7)[г [Х(е!.т)[гг!го (1.10) о П р и м е 1.5. П р р .. усть имеем последовательность х(пТ)=с""'.
о<О, вещественно, п=О, 1, 2,... Согласно (1.5) п ( . ) спектр этой последовательности будет Х(! т) у )и-г ) г 1 — си '"'г модуль этого спектра )х,;-г,)= ) (1 — е'г сов аТ)'+ (еь г йп а Т)' Спектр последовательности у(пТ)=( — 1) "х(пТ)=( — 1)" с" г (1, — е*) ег,т еэ,т согласно (1.8) будет равен у(е!" г ) = ! 1-еп ')а пт' 1,2. СВЯЗЪ МЕЖДУ АНАЛОГОВЪ|МИ И ДИСКРЕТНЪ|МИ СИГНАЛАМИ Аналоговый сигнал )АС С) х,(!) дискретизируется при помощи дискретизатора, т. е.
амплитудно-импульсного элемента, реагирующего на дискретные равноотстоящие значения в сигнала в моменты г=пТ, п=О, 1 2, ... значения входного об аз ы =и, и=,,, ... На выходе дискретизато а разуется последовательность выбо ок х( Т',- ( )1 обо от, в р, осстановление аналогового сигнала (!) !О х, по его диск- -п~в ! ае а -ак Е и) аа а д) 7 „(г„,)1 7 -а ь Е -~)) ак Рис.
!Л ретному представлению — последовательности выборок х(пТ) —- сводится к использованию различных интерполяционных процедур. При выполнении некоторых условий, определяемых теоремой отсчетов (теоремой Котельникова) [1], операции дискретизации и восстановления взаимно обратны. Согласно этой теореме: если аналоговый сигнал х,(!) имеет ограниченный (финитный) спектр Х,()го), т. е. такой, что Х,()то)=0 при [О)[ >О)о (условное изображение модуля спектра дано на рис. 1.7,а), то такой сигнал можно однозначно представить последовательностью выборок х(пТ), п=О, 1, 2,...
при 7=2л)го„где О)„=2л);>2О)о. При этом 7) в)пас(! — пТ) а,(г-пТ) откуда следует, что сигнал х, (!) можно получить, если пропустить последовательность х(пТ) через идеальный (физически нереализуемый) аналоговый фильтр нижних частот с частотой среза со, = л(Т и с амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) [К()о))[=7 в полосе пропускания. Спектр Х(е'"' ) последовательности х(пТ), полученной в результате дискретизации с частотой о)„=2л)'Т аналогового сигнала х,(7), и спектр Х,()о)) последнего связаны соотношением [1] Х(Е! т) ~ Х ()(О)+/СГО )), (1.12) т. е. спектр последовательности х(иТ) равен с точностью до множителя 1[7 сумме спектров соответствующего сигнала х,(!), смещенных по оси частот на все возможные значения частоты, кратные частоте дискретизации щ,= 2л[7. Соотношение (1.12) получается путем вычисления (1.4) для г=пТ, причем интеграл с бесконечными пределами заменяется 11 !хй' 1! 1.3.
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЪЕ мя В мам мааз м Рис. 1 8 бесконечной суммой интегралов на интервалах величиной 2л/ Строго говоря, (1.12) справедливо при х(0) =О, в противно случае следует к правой части (1.12) добавить х(0)/2. На рис. 1.7гб и в приведено условное изображение моду спектра [Х(ез" )[ дискретного сигнала х(пТ) соответственно слУчаев оз,> 2озо и оз„< 2озо. В пеРвом слУчае спек~Р дискРетно сигнала совпадает в интервале [от[ <ого со спектром аналогово, сигнала, а во втором случае имеет место явление наложен спектров, при этом спектр дискретизированного сигнала совпадает в интервале [от[ <и с исходным спектром аналогово сигнала. Таким образом, если аналоговый сигнал х,(1) облада инитным спектром Х,(/оз) с частотой среза оз„то он мож ыть без потери информации предо~вален последовательность' х(пТ), полученной в результате дискретизации АС с частото оза 3~ 2«зо, Наоборот„по дискретному сигналу х(пТ) может быть соглас (1.11) восстановлен аналоговый сигнал х,(1).
В системах связи во многих случаях спектр Х,(/оз) аналоговог,' сигнала х,(1) не содержит частоту о!=О, а сосредоточен в н которой полосе Офпсо „<от<ау„„<со; таким является, наприм спектр радиосигналов, модулированных по амплитуде или фа (рис. 1.8). В этих случаях для точного представления аналоговог, сигнала последовательностью выборок условия (1.13) приво к завышенным значениям необходимой частоты дискретизаци между тем достаточно выбрать частоту дискретизации со„=2л/ удовлетворяющую неравенствам [3 ) 2и „/в<отл<2оз м/(д — !), где д= 1, 2,..., Е„[оз „/(и „ †!„)1, причем запись Е„[А [ о начает «целая часть числа А». Если часгота оул выбра недостаточно высокой и (1,14) не удовлетворяется, то имею место наложения смещенных спектров и в результате спек Х(е' т) дискретного сигнала в диапазоне — оз,/2...
оз,/2 отличает от спектра аналогового сигнала Х.(/оу), т. е. дискретиза аналогового сигнала приводит к потере информации. 12 , ( Т',— е иодическая последовательность с периодом /!/Т (йериод — /т' отсчетов), т. е. х(пТ)=х(пТ+т/!/Т), т — цел дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) называют пару взаимно-однозначных преобразований; к-! Х(/с ) = Х(/сй) = 2. х (п Т) е '""" ', /с = О, 1 ... А! — 1; «=о и†! х(п)=х(пТ)= — ~~ Х(/сП)езьипт п=О 1,.
/у — 1 (1.1 б) ~ а=о где 0=2я/(/т'Т) — основная частота преобразования (бин ДПФ), причем (1.15) определяет прямое ДЛФ, а (1.1б) — обратное ДЛФ. Вводя обозйачение для так называемого попо/гачиваюигего множителя -уат Е згжи Вт ( ) 1.17 е =е— записывают ДПФ и ОДПФ в форме: Х(/с)= ',! х(п) Итья", /с=О, 1...% — 1; я=о М-1 х (п ) = —,'~ Х(/с ) И'и "", п = О, 1 ...
А! — 1. (1.19) 'у я=о Дискретное преобразование Фурье Х(/с), как и сама последовательность х(п), является периодической ![!ункцией по аргументу /с с периодом /у', так как И'к"= где т — целое. Дискретное преобразование Фурье может быть использовано и для представления последовательности х(пТ) конечной длины /У, определеннои при п=О, 1, 2... равной нулю вне интервала [О, М вЂ” 1]. Действительно, такую последовательность можно рассматривать как один период соответствующей периодической последовательности и использовать преобразования (1.18), (1.19); следует только считать, что вне интервала [О, /у' — 1[ Х(/с) и х(п) равны нулю, Примср !.6, Пусть задаиа послсдоаатсльиость с", 0<л<Гт' — 1; х(л Г)= О, л<0, л>!у.
Найдем дПФ атой послсдоаатсльиости. Согласио (1.18), используя формулу для суммы тсомстричсской про~россии, 13 и — 1 ь — ! 2» Х((г)= ~ "н'1„"= 'Г ( ' и ) — с .=с ' -с я12 1»11' пРичем Учтено, что И'""-с-Я1*!»1»1 Заметим, что если сравнить спектр конечного дискретного сигнала, определяемый формулой (1.5) (с учетом того, что х(пТ)=0 при пс0 и и>гз/ — 1), и ДПФ этого же сигнала (!.18), го очевидно, что ДПФ представляет собой гт' отсчетов спектра, взятых на периоде с интервалом дискретизации по частоте, равным й=2к/А/Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
