Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 14
Текст из файла (страница 14)
3.3,о), которой соответствуют передаточная функция Не(г)=-'' ', (3.13) и разиостное уравнение 1 диг(пТ)= — (х(пТ) х((п — Аг) Т) +У г((п 1) Т). Очевидно, что передаточные функции (3.11) и (3.13) эквивалентны друг другу при любом значении г. Разностные уравнения (3.12) и (3.!4) и соотвегствуюц!ие им структурные схемы (см. рис. 3.3,а и 6) эквивалентны только при пулевых начальных условиях в (3.14). Если в(3.14) у,г( — Т)=.О,.09 О, выходной сигнал Тег(пТ) в (3.14) будет отличаться от выходного сигнала у„(пТ) в (3.12) на величину Р прн любом значении и.
Пример 3 3. Пус>ь для однородного фильтра !<(=2, «(лт)=1 лри 0<и<2, «(лТ)=0 при л>2. В табл. 3.1 приведены значения отсчетов выходных сигналов ум(лТ) и у„>(лТ) для двух форм реализации однородных фильтров, причем для рекурсивной формы принято. что у,з( — Т)=2. Если в (3.12) и (3.14) принято Н=2Р, то при реализации однородного фильтра пе требуется выполнять операции умтаблица 3.! (3.14) (3.16) Из (3.!5) следует, что А,(О, Ж)=1, А,(К('Аг, Ж)=0, К=!, 2, ..., О, где Д=<т(2 при А> четном, Д=(А> — 1)/2 при Аг нечетном.
Программа 3.1. Расчет АЧХ однородного фильтра. Программа позволяет рассчитать значения АЧХ однородного фильтра Вьго порядка в относительных единицах (А/) и в децибелах (А2) для М равноотстоящих значений нормированной частоты и. Величина А/ рассчитывается по преобразованной с целью исключения леления на нуль формуле (3.16): (3.17) 1 при и=о, А(=А„(<я ><>)= 1 яп>тяи' — при и РО. У япли 189 иом явеем<ммв РЯОЧКт ЯЧХ ммкмннн<я 118 икм Янам 52НРОй>ИГО Ено,тва мнннм 129 899191 1 128 995И д .ЕМ->СО> 149 тнчп 999яйок еивтРЯ и. »и 159 по<и каие<кетво точкк и»и ме вт .57<и-т»Рититет," - и, ° м . Яг 179 И ° <Р1 2 М1594>Р1 ИеРь 199 9<2< 1 1 то и 199 19 и ° пои ат 1 алк 61 ага<819<в<янга!и<9>яп>гм гее 19 61<.999991 пои 62--129 кьак аг.геяло<м>Ало<16> 218 Р1пите1,и.я1.42 2>Е ИМ>>91 229 <икт 1 248 СЬО85 91 258 5>ю лкхнь<ь>г .—.
и> .а „Рт- жж ножения, поскольку умножение на 2 и сводится к р сдвигам па один разряд кода множимого. Ниже, как правило, предполагается, что Ж=2Р. (3,15) Для рекурсивной формы при больн!их значениях А> необходимое число операций сложения оказывается гораздо меньше, чем для перекурсивной, и, следовательно, скорость обработки информации оказывается гораздо выше. Поэтому однородные фильтры реализуют, как правило, в рекурсивной форме.
Амплитудно-частотная характеристика однородного фильтра А>-го порядка описывается формулой и- 79 1 ° г .815625 Э 92125 4 .846975 5 .9625 6 .878125 7 .99275 -* а!- 1 .992986 :976е626 . 946592 ° 9961276 .9554914 7956668 62 Ф -.45229599 -.2>Ф<466 - 4749262 - 9562118 -1. 255689 -1.И<8276 Таблица 3.2 зиава) .врв 20ВВ() 20)в ВО) ВО) Чтобы исключи)ь вычисление логарифма нуля, величину .!2 рассчитывают по формуле 2013 Аl при А)>10 А2= — 120 при А)<10 ". В .169375 9 .125 18 ° 149625 11 .15625 12 .)м875 1З .1875 ы .283125 15 .21875 16 .234375 17 зв .265625 1Р .28125 26,296875 21 .3125 22 .328125 гз .34375 24 .359375 25 .згв гь .39выз 27 .466Ж З1 .421875 29 .4375 ЗФ .453125 З1 .46875 32 ° 4843/5 33 '.5 .7278234 .653281З .5734846 .489969 .464ЗВФЗ .ив!895 .
2331586 . 1568666 .ФП62563 2.8379!к-бг . Фбы)2456 1237642 .1729226 .2126677 .2423465 .26(в941 ° 2712381 .276598 .2664193 .2413628 .2И2892 . 1862397 . 146412 ° 69Ы 3342 64883162 4. 8134188"67 6*196629 -74 865276 9 946284 -12 64697 "14243159 22«77В2 -128 23 63224 "1В ' 14889 -15 24297 -13.44842 -12 31127 -11.63749 -11. 33299 -11.35%1 -Н.68654 -12.3466 -13.37( Ю -Ы.88299 -17.65192 -283 1 26 22668 -128 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 14 15 16 1 0,9998 0,9993 0,9935 0,9974 0,9959 0,9941 0,9920 0.9900 0,9867 0,9836 0,9802 0,9765 0,9724 0,968! 0,9634 0,9584 0 — 0,0014 -0,0057 — 0,0129 — 0,0229 — 0,0357 -0,0515 -0,0701 -0,0916 -0,1160 — 0,1433 -0,1736 — 0,2067 — 0,2428 -0,2819 — 0.3239 — 0.3689 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 0,9531 0.9476 0,94! 7 0.9355 0,9290 0,9223 0,9152 0.9079 0.9003 0,8925 0,3843 0,8759 0.8673 0,8534 0,8493 0,8399 0,8303 — 0,4169 — 0,4680 -0,522! — 0,5792 -0,6395 -0,7029 — 0,7694 -0,8392 — 0,9121 — 0,9883 — 1.0678 — 1,1506 — 1,2367 — 1,3263 — 1,4193 — 1,5158 — 1,6158 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 43 49 50 0,8204 0,8103 0,3000 0,7895 0.7788 0,7679 0,7568 0.7455 0.7341 0,7224 0,7106 0,6986 0,6865 0,6742 0,6618 0,6493 0,6366 — 1,7194 — 1,8267 -1,9377 — 2,0525 -2,1711 — 2,2936 — 2,4201 — 2,5506 -2,6852 -2,324! — 2,9673 -3,! 148 — 3,2669 — 3,4236 -3,5850 — 3,7512 — 3,9224 и „„= 1)'К) А).
К, > 1, ( цг.ч Кг)) ) Кг > 1 (3.1 8) Ае (и 41 7 40(ив) 473 4373 йу и ф Рис. 3.4 80 В качестве примера выполнен расчет АЧХ однородного фильтра при А)=4 и ))7=33. На рис. 3.4,и изображен график функции А,(и, 4), а па рис. 3.4,б — график функции А,(и, 8). Очсвилно, что олнородный фильтр представляет собой фильтр нижних частот (ФНЧ).
Можно считать, что для однородного фильтра где ю„„и и„,— границы полосы пропускания и задерживания фильтра (см. рис. 1.18). Рассмотрим характер изменения АЧХ одноролного фильтра в полосе пропускания. Если А)»)', то при и =1/(1ООА)) и 0<и<и, „ В табл. 3.2 приведены значения функции В(!)-А,(и, Аг) в относительных единицах и в лецибелах лля ряда значений параметра !.
В полосе задерживания АЧХ Ач()е, А)) Д раз обрагцается в нуль !см. (3.17)1 Очевидно, что между каждыми двумя соседними нулями эта функция имеет максимумы в точках им,, и „„, ..., и мо (см. рис. 3.4). Чтобы судить о качестве АЧХ в полосе задерживация, во многих случаях достаточно знат ь значепиЯ АЧХ в точках и „), и и г, ..., ьомо. Можно очи~ать, что эти точки расположены посрелине между соо(ветству(ощими пулями АЧХ; тогда и м, = ()'+ 0,5),)А) (3.20) и А,(имь Ж)= — ., )=1, 2, ..., Д вЂ” 1. (3.21) Ж ! В(п(п(Н0,5))'М)1' 8! Таблица 3.3 (3.25) (1 при 0<и <1Я2Ж), А„(в)=~ (О при 11(2У)<в<0,5. Очевидно, что схема фильтра, АЧХ которого близка к АЧХ (3.25) (точно реализовать «идеальный» фильтр невозможно), оказывается гораздо сложнее, чем любая из реализаций однородного фильгра.
Истинные значения абсцисс и ординат максимумов отличаются от значений, получаемых по формулам (3.20) и (3.21). Например, при У=64 значение первого максимума (1=1), полученное по формуле (3.20), составляет 0,211 ( — 13,5 ДБ), в то время как истинное значение (рассчитанное с той, же точностью) равно 0,216 ( — 13,3 ЛБ).
Для большинства применений результаты, полученные по формулам (3.20) и (3.21), оказываются вполне приемлемыми. При 1«А1 из (3.19) следует, что А,(и'мь А~) (3.22) 0 м ' а(!+О 5) В табл. 3.3 приведены приближенные значения функции А,(вмо Ж) в относительных единицах и децибелах. ПРИМЕНЕНИЕ ОДНОРОДНОГО ФИЛЬТРА ДЛЯ ПОДАВЛЕНИЯ ВХОДНОГО БЕЛОГО ШУМА Однородный фильтр соответствует решению задачи 3.3 с усло- вием (3.9). Это значит, что среди всех КИХ-фильтров порядка М, у которых АЧХ при » =0 имеет значение А(0)=1, однородный фильтр обеспечивает подавление поданного на вход белого шума наилучшим образом. Из (3.10) следует, что импульсная харак- теристика однородного фильтра имеет вид 1~)У при 0<п<Ж вЂ” 1, (3.23) А(пТ) = 0 при п>Ж вЂ” 1.
Из (3.16) следует выражение, определяющее коэффициент подав- ления белого шума Ка однородным фильтром: Н-1 Ка =1/ ,'> п~(пТ)=1У, (3.24) а=а т. е. средняя мощность (Дисперсия) белого шума на выходе однородного фильтра уменьшается в 1У раз по сравнению со средней мощностью (дисперсией) белого шума на входе фильтра. Отметим, что такой же коэффициент подавления белого шума имеет «идеальный» фильтр нижних частот, АЧХ которого 82 ПРИМЕНЕНИЕ ОДНОРОДНОГО ФИЛЬТРА В КАЧЕСТВЕ ФНЧ Д ля ФН Ч функции А * (в) и а (и ) (см.
(3.3) и рис. 1.18 ) имеют следующий вид: 1, при 0<в<и, „, А* [в) = 0 при и„,<в<0,5, (3.26) е„при 0<и <в, „, е(в) = е, при в,,<»<0,5, где сл и г,— константы, определяющие допустимые погрешности аппроксимации (допустимые отклонения АЧХ фильтра от заданной функции А*(в)) в полосах пропускания и залерживания.
Единственным параметром, определяющим АЧХ однородного фильтра, является порядок фильтра Ж Покажем, как по заданным функциям (3.26) определить Ж, при котором выполняется условие (3.3) (или убедиться в том, что такого Ю не существует). Из (3.3), (3.!5) и (3.26) следует, что в полосе пропускания должно выполняться условие А,(в, Х)>А,(в, „, Ж)>А«(в, „) — е„, гарантирующее заданную точность аппроксимации в полосе пропускапия. Из (3,16) видно, что Ж<!~в„„. Обозначив через Ж„ корень уравнения А,(в, „, А~)=А'(в„„) — е„, (3.29) нз (3.28) и (3.29) получим условие, определяющее величину по заданным требованиям к полосе пропускания М < Ж„< 1) в„„. (3.30) Поскольку рассматриваются лишь однородные фильтры без операции умножения [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
