Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 16
Текст из файла (страница 16)
РРРРРРР Р(Р) Р. РРРРРРР Р(Р) Р 4РРРРРР Р/Р) и. РРРРРРР Р(Р) -Р. РРРРРР т Р(Р) Р. Р))Р)РР Р(Р) -и РР ') РР) Р(Ь) и, РРР)РР Р(Р) Р РРР)РРР Р(Р) -и РР )РР) Р()Р) и Р))Р)РР Пользователю выводятся в виде таблицы значения и, А1 и А . и А2. В качестве примера выполнен расчет АЧХ КИХ-фильтра при К=11, Ьс=Ь„=, Ь =Ь =0,0118785, Ь,=Ь9 — — — — 00000003, Ь,=Ь«= — 00621937, Ьз=Ьт=+00000008, Ь,=Ь6=0300786, Ьз=0,4999990, Я=33.
МЕТОД НАИЛУЧШЕЙ РАВНОМЕРНОЙ (ЧЕБЫШЕВСКОЙ) АППРОКСИМАЦИИ Метод наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимаци предполагает расчет вспомогательных коэффициентов с, из уело вия минимума величины с(с)=птах!Л(и, с)(, 0<ю<0,5, (3,41 к где Л(и, с)=(А*(!9)-Фк(!г, с)1!Г(и), Фк(и, с)= 2 с,соз!2я 1=о (см. (3.36)1; с- -вектор коэффициентов с„' !Г(и ) - - весовая функци аппроксимации. Функцию Ф (и, с), удовлетворяющую (3.41) при заданны Ав(!9), д(и ) и К, называют функцией наилучшего равномерцог приближения.
Теорема Чебышева опрелеляет признак, выдела щий функцию наилучшего равномерного приближения сред лр гих подобных функций, отличающихся от нее лишь значения м руг 90 и е)а -=- и .- 1 Ф 2 .$25 3 .$5 4 .$75 5 ° 1 6 .125 .15 В .!75 .г 1$ .221 11 .25 12 .275 гз .з 14 .325 15 .35 16 .375 Гх 1В .425$$$! 19 .
45ЕЕФ$1 2$ 475$$$1 2! .5$$$$$! - а! 1.$$$942 !.ЕЕЕ!35 .9999162 .9997476 !.ее!зьз .996532 .9716936 .9127666 .61Е2613 . 6673722 . 4999955 . 3326196 .!677!!7 .$6723466 .$26!$36! З.4671375-ЕЗ !.Збв!ЕЕК-ЕЗ 2. 5241766 М 9,63623жм 1.34627««М 9 ° 42$234ЕМ аг в !761666-аз !. !7!$$2Е~З 6 5465465-ЕВ -2. 19$747Е~З .Е!!ВЗНЗ -.ЕЗЕ!7566 -.247625 -.79266! -1.Фгииы 3.512639 -б'.$2$676 -9 561И4 -14.43612 -21.16622 -3!.$247 -49.2$$56 -57.3694! -71.9576 -ЬЕ.!4!ЬЬ -77.46445 -6$.51675 коэффициентов, Для того чтобы функция Фк(зт, с) была функцией наилучшего равномерного приближения при заданных А*~и ), (Г(и) и К, необходимо и достаточно, чтобы функция Л(ю, с)= =!Г(!9) (А*(и) — Ф„(и, с)) принимала наибольшие и равные друг другу по абсолютной величине и чередующиеся по знаку значения в К+2 последовательно расположенных точках (точках альтернанса) и,<из, « ..., ия+г интервала 10, 0,51, т.
е. 0<и,, на,г <0,5, Л(иы с)= — Л(иг, с)= ... =( — !) '' Л(зтк+г, с), ~Л(вл с)!>!Л(ит, с)~, 7=1, 2,...,К+2. Отметим, что весовая функция позволяет управлять точностью аппроксимации при наилучпзей равномерной аппроксимации более эффективно, чем при использовании метода наименьших квадратов.
Так, для кусочно-постоянной весовой функции, т. е. при (Г(зт)=Г77 пРи ю'<и <и'+', (3.43) гле Г!1 =сопз! и (ит', и " ' 1 — интервал. включающий хотя бы одну точку альтернанса, из (3,42) след)ет соотношение мах !А'(и)-Фк(ич с)! Ь,:..-, (3.44) л!ал !А*(«) — Ф„(«,)! Соотношение (3.44) означает, что максимум абсолютной погрешности обратно пропорционален значению весовой функции на данном интервале. Из (3.42) следует, что можно аппроксимировать функцию А*(!9), заданную на отдельных интервалах, не имеющих общих точек.
Для этого достаточно заменить эту функцию функцией А*(ги), непрерывной иа интервале 10, 0,51 и совпадающей с Ае(ю) на заданных интервалах, и выбрать весовую функцию настолько малой вне заданных интервалов, чтобы точки альтернанса оказались на заданных интервалах. Пример 3,11. Пусть 1 при 0<«<0 1063 А'(и )= 0 при 0,3937<и <0,5, 1 при 0<«<0 1063 4( ')= 1 при 0,3937<и <0,5.
Перейдем к непрерывной функции А*(и) и кусочно-постоянной на всем интервале 10 0,51 функции д(и ): 91 Рис. 3.5 я-1 'Г Л,'<1; !Л,)с). ыо (3.45); (3.46) (1 при 0<в<0,1063, д(ж)= ~ 0 00! при 0,1063 с» <0,3937, 1 прн 0,3937<и<0,5. при слсдуюп!их точках альтсрнапса; !Ио(ж)-А(н )1<с(я ) при О<я <0 5, (3.47) (3. 48) (1 прн 0<я <0,1063, А" (я )=~ — 10 44»+2 7! при 0,1063 сх <О 3937, 1 при О,;937<и <0,5, При К=5 коэффициенты функции наилучшего равномерного приближения имеют значения: го = 0,4999999, с, = 0,5986008, с, = 0,0000000, го= -0,1!88343, го=0.0000000, го=0,0207811 1г,=005!2220, из=00908867, из=01062999 1оо=0,3937000, из=0,4091255, и„ =0,448795, и„ =0,5000000, причем А(и,, с)= — 0,0005476. На рнс. 3.5 показаны графики функций Ао(ж) и функции нанлучшег равномерного приближения Ф„(н, г)= 2' с,соз!2кя.
мо Наиболее эффективным алгоритмом построения на ЭВ функций равномерного наилучшего приближения является алго ритм Ремеза 12]. Суть этого алгоритма состоит в пошагово модификации коэффициентов с, до тех пор, пока пе буду выполнены условия (3.42). Программа Фортран, реализующая это алгоритм, приведена в [2]. Отметим, что процесс вычисления пр чебьппевской аппроксимации оказывается сложнее, чем для метод наименьших квадратов. Наилучшая равномерная аппроксимаци ' позволяет решить задачу определения фильтра паименьшег порядка Ж !„— — 2К !„+ 1, АЧХ которого А (н ) удовлетворяе' условию (3.3). Для этого достаточно построит ь ряд фупкци наилучшего равномерного приближения при различных значения К функции А*(н ) с весовой функцией д(и )=1(в(н ). Если функци ' наилучшего равномерного приближения порядка К Ф„(ш, с удовлетворяет условию )А *(и ) — Фк (зг, с)] ~в(гг), а функция поряд ка К вЂ” 1 Фк, (ш, с) не удовлетворяет этому условию, то К ,.„= 92 3.4.
РАСЧЕТ РАЗРЯДНОСТИ КОЭФФИЦИЕН- ТОВ И РЕГИСТРОВ ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ КИХ-ФИЛ)эТРОВ РАСЧЕТ РАЗРЯДНОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФИЛЬТРА Коэффиписнты передаточной функции фильтра Л, (коэффициенты фильтра) являются сомножителями при вычислении отсчетов выходного сигнала фильтра. Поскольку АЧХ фильтра нормирустся так, чтобы при всех значениях частоты в в полосах пропускания выполнялось условие А(я )ж 1, а в полосах задерживания 4(в )<1, лля избирательных КИХ-филыров из (1,88) слслует, что В силу (3.46) лвоичный кол коэффициента КИХ-фильтра содержит лишь знаковый разрял и пробную часть и пе солержиэ целой части. В итоге решения аппроксимапионной задачи на ЭВМ рассчитываются «~очные», т. е. прелставлспныс семью — четырнадцатью десятичными значащими цифрами, коэффициенты фильтрон Ло Поскольку при аппаратной реализации для прелставлепия коэффициентов используется, как нравнло, пе более 16 двоичных разрядов, необходим перевод в лвоичную сне~ему счисления.
Процесс округления вносит некоторую погрсппюсть, н вместо точного значсния коэффициента Л, используется сто приближенное значение Ло Для избирательного фильтра, АЧХ которого А(» ) должна удовлетворять условию (3.3), критерием возможности округления коэффициентов до .т, двоичных разрядов является неравенство ~де А(ж) -АЧХ фильтра. рассчитанная при округлении коэффициентов до зх двоичных разрядов, т.
е. 1 я.1 я-1 .4(1г)= ( Г Л соз|2кя ) ч ( 2' Лсоз!2кж)'. мо ~-.о Минимальное значение ь„ =и,„,„ определяется на ЭВМ из условия. что при этом значении неравенство (3.47) оказынаегся истинным, а при з„=имо — ! ложным хотя бы при одном значении 1г. ОС1ГОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ДЛЯ РАСЧЕТА РАЗРЯДНОСТИ РЕГИСТРОВ ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ ФИЛЬТРА Расчет разрялностн регистров оперативной памяти зависит от формы представления всех чисел, пад которымн выполняются операции в фильтре, нормировки отсчетов входного сигнала, формы реализации самого фильтра н погрешности, с которой выполняются отдельные операции Примем, что все числа представлены по способу с фиксированной запятой в прямом или лополпитсльпом коле.
Этот способ представления чисел ча|це г) Рис. 3.6 РАСЧЕТ ВЕЛИЧИНЫ з, х-! [)(нТ)1< 2 [Ь,[, (3.52) ыа (3.49] откуда [х(лТ)[<1. зч— з 0 при 2 [Ь,!<1, ые и-~ М ° 3 пц!ойз 2, [Ь,! при ~ [Ь,!>1 (3.53) [3.50) ше поэтому из (3.53) следует, что з„=1. РАСЧЕТ ВЕЛИЧИН з„и з, оз„=2 '* Ч12. (3.54) (3. 51) +Ьхх((л — К) Т)+ук(иТ), я-~ о,'„,=о,', 2 Ь~|, ю=о (3.55) всего используется при современной аппаратной реализации фильтров, в частности при реализа~щи фильтров на микропроцсссорах, В связи с ожидаемым увеличением уровня интеграции выпускаемых промышленностью микросхем в будущем следует ожидать использования представления чисел, циркулирующих в фиды рах, ло способу с плавающей запятой.
Абсолютная величина отсчета входного сигнала фильтра нормирована так, чэо Примем, что расчет разрядностей выполняется для КИХ-фильтра порядка М с точно линейной ФЧХ, причем используется следующий шпоритм: У(нТ)= 2 Ьр~х((л — I) Т)+х((л — Агч-16!) Т))ч-Ькх((и-К) Т), гле К= (М вЂ” 1)72; Ь, — окру гленныс ло хх разрядов коэффи циси гы фильтра, Ь,=Ь ь 1=0, (,...,Х-). Алгоритму (3.50) соответствует форма реализации фильтра, схема которого представлена на рис. 3.6. Схема, представленная на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
