Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 19
Текст из файла (страница 19)
П.],1, приведенной в приложении 1 и в [6] па с. 23. 2. Определяется вспомогательный параметр Е с помощью величин ао и ]р] по общей номограмме рис. П.1.1 и [6] (с, 408,' рис. 2.21). 3. Определяется порядок п передаточной функции с помощью заданной величины й, и полученной величины 2.. Определение величины и осуществляется с учетом типа фильтра с помощью номограмм, приведенных в [6] на с.
389- -407, рис. 2.2 -2.20. В приложении 1 насгоящей книги приведены номограммы для определения л для филь?ров типа В (рис. П.1.2), типа Т (рис. П.1.3) и чипа С (рис. П.1.4) для неболыпих порядков и фильтров. 104 4. Записывается передаточная функция Т(х) фильтра в общем виде (см. формулы, приведенные вып?е). 5. Определяются численные значения коэффициентов передаточной функции Т(к) из таблиц, приведенных в [6] на с.
44- — 387, с учетом величин и, ]р) и й„(для фильтров типа С). Некоторые из этих таблиц приведены в приложении 1. В табл. П.].2 приведены коэффициенты передаточных функций фильтров типа В, в табл. П.1.3 — типа Т, в чабл. П.1.4 — типа 1. 6. Записывается передаточная функция Т(к) аналогового нормированного ФНЧ с численными значениями коэффициентов.
Пример 4.3. Опрслепить перелаточиую функцию нормированного фильтра с моно>анно убывающей АЧХ и слелун>шими значениями параметров; Пг=6. Ла=!.5 лБ. а„=28 лБ. Оирелеляем: 1, Молуль козффицисспа отражения (см, табл, П.!.1 или ]6], с. 23, табл. 3). Для Ла=1,5 лБ слелуст выбрать )р)=50«Л«, что соответствует Ла«=1,25 лБ. Вся лальнсйшая работа по справочнику лолжиа вестись с величиной Ла", т. с, полученный фильтр булет несколько лучше требуемого (с меныпей нсравномсриостьн> затухания в полосе проиускания). 2. Вспомогательный параметр и по величинам а„и ]р !. Для >гого воспользуемся номограммой рис. П.!.! (или в 16], с.
408, рис. 2.21). Для а„=28 лБ и )р1=50"«получаем Ено,18, 3. Порядок и псрелаточиой функции по величинам Ог и ь (с уче>ом типа сребуемого фильтра). Для этого воспользуемся номограммой лля фильтров Баттсрворта, привелснной иа рис. П.1.2 (или в 16], с. 389, рнс. 2.2). Для Г?г=б и с=с,!Я получаем «=2. 4. Записываем Г(с) в обсцсм вилс (см. выше нли в 161, с. 45) !?]С(,г 2 к+а> 16 )) 5. Чнслеииыс значения козффипиеятов Г(з) нз саби. П.13 нли 16], с. 46: С=0.57735, а, = — 0,930605; Ьс =0,930605 То?па — 2и, =1,861210 и а>+6> = 1732051.
6. Записываем передаточную функцию т(г)= 1?10.577350(с' 4 1,861210«-1 1.732051)). Для проверки правильности выполненного расчета целесообразно рассчитать характеристику затухания (или АЧХ) для полученной Т(х), Очевидно, что расчет необходимо выполнять на ЭВМ. П рог римма 4.1 — — расчет АЧХ и затухания аналогового фильгра. Программа осуществляеч расчет АЧХ и затухания фильтров типов В, Т, 1 и С, передаточные функции которых определяются вышеприведенными формулами, причем коэффициенты а? обозначаются в программе как А(У); Ь? — В(1), а й„;-— 'гг (1).
105 !е йэи Йвсчет Ачх и збтухьнп Анвбпчппч) ен)ИТРА 2$ ОРЕИ О,е),-в(Р)- М МГ1ИТ 1-'Н ' м Вегвтй в М 1НЧИ МЕПНЕ ПЭЭЭОК ЕИ)ИТРА Н вн 6$ К Г1Х(И/2> М В1Н А(Х),В(к),ГГ(к) Эе 1ЙЧИ ЭЙ(ЭНТЕ ХОЗЬЕИЦНП(Т С >С 9Ф ГИ1ит "Вэевите квзееивиенти А(1),В(1),РГ(1) !$$ Гвй 1И ТО Х ПЕ Й)1НТ М )1) "> В)ТЙЧН АП> !2$ Р$ИИТ В( )1) ) В)1)ВОТ В(1) 1М РН1ИТ ГГ( )1в ) в)1ЙЧЛ РГ(1) 14$ )ИХТ 1 15Ф ВФЧ)Т В)ЭЛИТЕ ТИЭ ЬИИвТРА ВО 16$ ТЙ%Т ЭВЕВИТЕ МГ ЭО ЧАСТОТЕ 1Г, КСИР%СТВО ТОЧП( С )ЗГ,! !7$ ЙННТ $1, 1ВЕ Рй1ИТ М, " ЧАСТОТА АЧХ ЗА!УХА(е(Е" !9$ ЙЦИТ $1, 2$Ф Г ° 21$ Рвй 11 1 ТО ! 2М Г1 Г 2 ЗМ Т 1 24$ Гвй 1 ! ТО К 25$ Я1 А(1) 2)В1 В(ы"2 26$ т т/ввй((А!+В!+!) 2+ьабтвГ!) 27$ 1Г Э С Ой О 1" Т)ЕИ Т ТФЯОН((ГГ(1) 2-Г1)"2) Ме )ИХТ 1 29Ф 1Г И НОВ 2 1 Т)ЕИ Т Т/ввй(Г1+А( ° )"2) Ме 1Г О "1 АИВ И НОВ 2 И Т>ИН Т т/П)й(1)С"2) ПЛЕ Т Т/С 31$ ТГ ТОФ Т)НИ Т1 2$в1ЛЮ(Т>О.ОВ(И) ПЭЕ Т! 999 32$ РН1Нт $1,Ц51ИВ ЕЕЕ.ЕЕЕ")Г) ЗЗФ ЙЦНТ $1,55!Ив ЭЕЬФММ.ЕМФ" >Т,Т1 34$ Г Г+ЮГ мФ )ихт 1! 36Ф ПАВЕ Ф1 37$ ЙЦИТ РАВОТА ОКОН%НА" ЗВЭ ЕИВ БИЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТА 106 Ю7 ° .Ме ° .!М $.2$$ Э.
МЭ $*МФ $. 7$$ Э.ОЭФ !.ФФЭ !.!М 1. 2$$ !.МЭ 1. 4$$ 1. 5$$ 1*Ме 1. 7ФФ !.$$$ !.9$$ г.еее ° .9994 Ф.9В75 ° . 9569 ° .919$ ° ЕОЗВ Ф.О67! Ф.ЭЙ)ь ° . 9Ф29 $.9623 Ф 9977 Е.В653 $.5926 Ф. 371$ ° . 232У ° . 14$2 $.$947 Е.М94 $.$352 ° .Ф!ВЗ Ф.ФФб! Ф. М27 ° .М52 Ф. 1Ф9! Ф.ЗОМ Э. 7341 !.$529 1.2)О2 1. 2$33 Е.ВВ73 $. 3335 Ф.ет96 !.2564 4.5451 $.6134 м.ььзг 16.
5$22 24.53!ь 29.$6!7 34.7523 М.гмг Расчет осуществляется в 7. точках с шагом Рг по частоте. Пользователю выводятся в виде таблицы значения частоты, АЧХ и затухания. Если значение затухания равно бесконечности (значение АЧХ равно нулю), то выводится значение затухания, равное 999. В качестве примера осуществлен расчет АЧХ и затухания фильтра типа С с Т(() = О(в — аа) в) — гав) Ч-(а) +Ь ', ) где С=7,733830; а = -0,510162; и, = -О,!90430; Ь = 0,971581; й,, =1,96600!.
Расчет осуществляется в 21 точке (6.=2!) с шагом по частоте 0г"=0,1. Вводятся последовательно следующие значения исходных данных: А)= 3; С= 7,73383; А (8) = — 0,510162; В(8) = О; гг (8) = О; А (1) = — 0,190430; В(1) = О 971581; ЕР(1)=1,96601; Д=«С»; РГ=0,1; 2.=21. Билинейное преобразование представляет собой конфорл(иое оо)ображение точек 3-плоскости в точки г-плоскости и использует замену переменной вида 3=7((1 — г )Ц!+г !)1=71(г — 1)7(г+1)1, (4.3) где 7- — постоянный множитель, значение которого не меняет формы преобразования (о выборе величины 7 поговорим позже).
Из (4.3) можно найти обратное соотношение г = (7+.()ф — 1). (4.4) Использование подстановки (4.3) обеспечивает однозначное преобразование передаточной функции Т(3) аналогового фильтра- прототипа (АФ-прототипа) в передаточную функцию О(г) цифрового фильтра: О(г) = Т(3)/ (4.5) Рассмотрим преобразование (4.3). Каждой точке комплексной 1-плоскости (З=Е+7й) ставится в соответствие определенная точка г-плоскости (г=ехр(о+7(о) Т). Мпимил ось вьнлоскости ((=7й для — со <й< со) отображается в единичную окружность г-нлоскости ( =ехр(7(ОТ)).
Действительно, при з=(й из (4.4) получаем г = (7+7 й)ф — 7 й). Представим ~еперь последнее выражение в показательной форме, т. е. выделим модуль у и аргумент О: б- ллееквебзз (4.6) Рис. 4.7 где ц з+йз („Е) з йз ,,гуз+йз схр Гагсгв !) + а ге(8 — ) ) = 1 ехр (72 агс(8 — ) = г ехр (7О (й)), где О(й)=2агс18(й(у)---физовый угол. Из (4.6) видно, что г=(г)=1, При монотонном изменении й от — со до со фазовый угол О(й) монотонно изменяется от — и до к, т. е.
точка 7й„расположенная на мнимой оси в в-плоскости, отображается в соответствующую точку ехр(/2агс18(йз("1)). В частности, для й=0 имеем г=ехр(70)=1, для й=со получаем г = ехр(~п) = — 1 и для й= — со имеем г=ехр( — ук) = — 1. Левал половини в-плоскости (Ке(г) = Ке(г. +7Й) < О) отображается в часть г-плоскости внутри единичного круга ()г!<1). Действительно, при Ке(в)<0 имеем 4,<0. Тогда из (4.4) можно получи~ь =1( +Е)+ ЙИ( — ) -7Й1. (4.7) Теперь, поступив точно так же, как прн выводе (4.6), получим г = г ехр (7О(й)), (4.8) й й агс18 — +агс18 —, если у>)2.1, уз-Е у — Е' й й агс(8- — +агс(8 — — +и, если у<)Х(.
у+Е у — Е Поскольку 1<0, то модуль числителя в (4.7) всегда меньше модуля знаменателя, т. е. г=(г(<1. П ример 4.4. Расположение точек в з-плоскости показано на рис. 4.7. Определить соответствуннпие точки ."-плоскости (положить у = 1), если з ~ = — 2 ч-)0; аз=О+71,0; зз=Π— 71,0. Используя (4 7), получаем г, =(1 — 2)1(1 «2) = -О 333, а из (4 6) имеем зз=!ехР02агс181)=ехР(~л)2) и з=)ехР(72агс18(-1))=ехР( — ук/2). Расположение точек в г-плоскости.
а также правила отображения мнимой оси и левой половины г-плоское~и в единичную окружносгь и часть г-плоскости внутри единичного круга показаны на рис. 4.7. Очень важными являются два обстоятельства. Во-перг;ых, поскольку все полюсы устойчивого аналогового фильтра рас- 108 положены в левой половине б-плоскости, он при преобразовании к цифровому фильтру будет давать устойчивый фильтр. Вовторых, так как мнимая ось в-плоскости отображается на единичную окружность г-плоскости, то все максимумы и минимумы АЧХ ! ТЦЙ)! аналогового фильтра сохраняются и в АЧХ )Н(еу"~)( цифрового фильтра.
Сохраняется также и неравномерность АЧХ для соответствующих диапазонов частот, Таким образом, избирательные аналоговые фильтры преобразуются в соответствующие цифровые фильтры (например, если аналоговый фильтр есть фильтр нижних частот с неравномерностью АЧХ в полосе пропускания АА„н отклонением АЧХ от нуля в полосе задерживания АА„то соответствующий цифровой фильтр будет также фильтром нижних частот с параметрами АА„и АА,).
Но ие все так хорошо. Так, соотношение между «аналоговыми» частотами й и «цифровыми» частотами пз, которое можно получить из (4.3), является нелинейным: й = у 18 (о) Т)2) = 7 18 (кьч), (4.9) где ус=о)((оа — нормированная цифровая частота. Таким образом, имеет место деформиция школы частот при переходе от аналогового фильтра к цифровому. На рис. 4.8 изображена зависимость (4.9) и проиллюстрировано явление деформации частогпой шкалы.
Слева показана идеализированная АЧХ полосового фильтра с двумя полосами пропускания, равными по величине, но расположенными в разных частотиьзх диапазонах. Полученный цифровой фильтр будет иметь также две полосы пропускания, по п1ирипа последней в области верхних час1от будет существенно меньше ширины полосы пропускапия в области нижних частот. Выход, однако, чрезвычайно прост. Деформация шкалы частот лля частотно-избирательных фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ), аппроксимируемая АЧХ которых имеет вид кусочно-постоянной 109 [тця)! [гргИ [и((' )! 1! !!! „(ута ! ! [! 1[! ( (-44„ Рис. 4.8 функции, не приводит к нарушению избирательных свойств фильтра нри билинейном преобразовании (и это главное!). А деформацию (нкалы частот можно скомпенсировать с помощью предыскажений в аналоговом фильтре.
Рассмотрим, наконец, вопрос о выборе параметра у в подстановке (4.3). Если использовать соотношение у = с(я(сз„„Т)2) = с(к(яи, „), (4.!О) то для получения цифрового фильтра нижних частот с граничной час~отой полосы пропускания пь „(и, „) надо в качестве прототипа использовать нормированный аналоговый фильтр с частотой среза Й,=[, а именно такие фильтры и приводятся в справочниках. Пример 4.5. Рассмотрим порялок лсйствнй при определении псрелаточной функции Н(т) цифрового ФНЧ по заланным требованиям к неравномерности АЧХ в полосе пропускания ЛА„. отклонению от нуля в полосе залерживания ЛА„ а также граничным нормированным частотам полос пропускания н, „ и залерживания и,, (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
