Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Следовательно, и; „, =же — Агг]2=025 — 00025=0 2475; и, „, = гг, + аж/2 = 0,25+ 0,0025 = 0,2525. Граничные частоты полос задсржи ванна и требования к затуханию в этих полосах в данном случае нс задаются. Итак, переходим к расчету фильтра в соответствии с алгоритмом, описанным в б 4.1. с учетом указанных выше пополнений: 1. жг,ы =0,2475, ж, „,=0,2525.
2. у=с!8(к(и; „г — и, „1))=с!8(к 0005)=636568 (см. шбл. 4 1); и=]соз(к(и; „гч +гг, „,))]$]соз(к(иу „г-и; „,))]= [соз(к 05)]$(соз(к 0005)]=0 (см. табл. 4.1). 3. Определять й,— ~ рапичные частоты полос залсржнвання — в пашем при- мере нс требуется. 4. Гзп с е. . Определяем Г(г). Поскольку характеристика фильтра должна быть мо- аотонной, в качестве прототипа слелуст взять фильтр Батгерворга. Известно, что нормированный фильтр Баттерворта обеспечивает величину затухания на частоте й,=!, равную 3 дБ, т. с. именно такую, какуго требуется. Таким образом, Г(г) = 1)(г 6 1). 5. Определяем Н(г), используя подсгаповку г=63,6568(1 $-г г)7$1 — г '): 1 1 — г П(г)= г —, =0,0154663 63 6568 1 -,6568-$- 62,6568г ' ' 1 + 0,969067г ! — г 6.
Выполняем контрольный расчет затухания (АЧХ) фильтра по программе 4.3. Пример 4.9. Определить передаточную функцию цифрового полосового фильтра чипа Т со следующими параметрами: Г,=140 Гц; 7", ~=15,5 Гц; /, „г =30 Гц; /„„=7,75 Гц; /; „=60 Гц; ба=0,5 дБ, лч--40 дБ (рм. рис. 44). Определяем: !. их,ы =0,110714; и„„г=0 214286; жг и —— 0055357; и,,гм0428571. 2. у=с!8(к(0,214286 — О,1!0714))=2,964087; соз (к (0,214286+ 0,110714)) соз (гг (0,214286 — О, $ $07! 4)) 3, й, (см. табл.
4.1): 0,551433-соз(2к 0.055357) й» = 2,964087 - — 3 38. нп(2к 0,055357) 0,551433 — сов(2я 0,428571) зш(2к 0,428571) йг=пнп(3,38; 9,92)=3,38. 4. Псрсдаточную функцию Г(г): 4.!. ]Р]=25%, Аа'=0,28 лБ (см, табл. П.!.!). 4.2 В=5 1О ' (см. рис. П.1.1).
4.3. л=4 (см. рис. П.1.3). 4.4. Общий вид передаточной функции г ! Т(х)=-, и, гг 2е г $ дг $)гг' 121 4.5. Коэффициенты Т(в) (см, табл. П.!.3): С=2,065591; а, = — 0,206284; бз 1.049557; а>=-0,498012; 6>=0,434741; 4.6. 1 1 в'+0,412569 з+1,144123 в!+0,996024.1+0,437016 5.
Передаточную функцию цифрового фильтра, используя подстановку з= 2964087(1-2 05514337 '+з з))(1-1-з) з 1 — з где аз! = — 1,859129; аз! - — 2 249166; аз! = — 1,324269; ав, -— 0,5150274) азз = — 1,858527; азз — — 2,328529' азз = 1 616672! авз = О 780703. Разлагая каждый нэ двух полнпомов четвертой степени (в знаменателе Н(з)) на множители — полнномы второй степени (см.
программу 4.4), получаем 4 1 1 з Н(г)=0,0035625 П з= ! 1+а(зз 1 ззз(1 где а,, = - 0,703725; ам = 0,6944328; а„- 1,155417; аз> —— 0,7416519; а>> = — 0,3790051; азз =0,8602082; а>4= — 1,479592; а>4=0,()075744, б. Выполняем контрольный расчет АЧХ по программе 4.3. Программа 4.4 — вычисление корней полинома с действительными коэффициентами. Программа осуществляет вычисление 1$ ВЕН ВМЧйсзк)$(Е КОР>ИВ ВОЗННОМ 2$ ИЕИ С ВЕВСТВИТЕЮН<М КОЭФФИВИЕНТА(0( ЗЕ ОРВИ 0,$1з ВЬРЗ* 40 тигот "ввевйте стевень ввженжй и-*зн 5$ Впв А(2внв1) 6$ 1ИРОТ ВЭЕЕИТЕ ФЮГРЕЭНОСТЬ Е'>Е 7$ РВ1ИТ 'ВВЕЭНТЕ К<ИФФИЭНЕНТН ВОВИНОМ 0$ ГЭВ 3 1 ТО И+1 9$ ТЧПНТ М >Н+1"3! ) >>1ИРОТ А(З) 10$ НЕХТ 3 11$ Кв) 120 Тв1>С А(2)/М!> 13$ тг Н 1 ПИН Р -Сза ° Овто 44$ 14$ 1Г Н 2 Т)ИИ НвСВС/4-МЗ)/А<1)!ФОТО 37$ 150 Н ЗЕВС 4>В Вво"4 16$ (ЬО>Г 1>в.г т Е 17Ф 1Г Н()ЕФ ПИИ 2$$ 10$ Р Сзн Фвю 0>С гне О 19$ Нызвю Взт С)2 Ввт "Г 2$$ ИВНВ1>>В Езв )Ц1>>Р А(2)-Свезь 0 )НФ Гвй 3 3 10 И 22$ й РвР А<З)-Свй-Вво 23$ Ю йзй ЫЬ О-Свй-НЯВ>Н й 24$ НЕХТ 3 гвв О А<И+М-Вввзе Ь+Свй 26$ !Г 1 ° ТНТН Х Ввй>Н йвк+Ввк 27Ф 1Г Н Е Т<ИИ 17Ф гев С С><Рва-О >П/Нзе В <Р Х Ови/Н 29$ )Г С-ТЯВ-1ОЕ ПКН З2$ ЗФФ 1Г Г -Н ТНЕИ Рй!НТ НЕТ РЕВЕНИЯ >ВТОР З>ЕИ Г 32$ Н СЯС/4-В>1Г ВОН<(О-Рве/2)"2+Р»РЯАВВ(н>))Е/Н ТНЕН 17$ ззе Т.еза<2) А<2>-см<ы 122 34$ гей з-з то и-1 зве А<а)-А<а>-с>а<э-1>-вмз нг> 36е иехт 3 37$ Р -С/2зе 50й(АВО(Н)> 30$ 1Г Н> Е ТНЕИ Н Р+ОзР*Р-Озе"ФзВОТО 41$ 39$ Н"Р 4$$ Рй!ИТ $1.
41 ° Рйтнт $1, х( зк!" >= >н! зв("зо! ! 42$ 1Г О ° ТНЕИ Рй1ИТ Ф1, КОЗЕФННИЕНТН ХОЗИНОМ з 43$ КМ<з) 44$ Рй!ИТ $1, Х( >К» " >Р! +Зв( >-О! ) 45$ К К+1 46$ Тг О-е тнен мтнт вв, козеенйнентн Вознном : 47$ Тг Оое тнен Рата! $1."козеенннппн Воланом 40$ ТГ О()$ ТНЕИ РК1ИТ $1,' ! Р"2+О"2 49$ 1Г )() ° ТНЕИ 55$ 5$Ф И И-2>АА ° 51 ° 1Г ВИН(5-НЯС/2>"2+йвйвАВВ(Н>)(Е ТНЕИ АА 1 52$ В Ез1Г И) 2 ТНЕИ В 1 53$ ТГ Ай+В=а тНЕН т )зоотю )3$ 54$ Оото 12$ 55$ РИ1НТ $1, РАВОТА закже<ЕИА' 56$ С!.ОВЕ $1 57$ ЕИО Х( 1 >= ° 1095026 +Эв( .907940 > Х( 2 )= . 1095Ф26 зэв(-.9$7940 ) козеФивиентн воаином 1 ".379$$51 1 >-Р 1 з-2вР> .06$2Ф02 Х( 3 ) .7397649 зэв( .6$$2734 > Х< 4 > .7397609 ззв(-.6$$2734 > КОЗЕФИВНЕНТН ВОЗИНСНА 1 -).Я79522 РАВОТА ЗАКОНЧЕНА .9$757ЯЯ Глава 5.
БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ (БПФ) 5.!. ОСНОВЫ АЛГОРИТМОВ БПФ Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) Х(7<) конечной последова- тельности л (и Т), и = О, 1, ..., А/ — 1 определяется согласно (1.18), (1.19): 123 КОРНЕЙ ПОЛИНОМа а„г" +а„,гв '+ ... +а,з'+ас=а„+а„,г '+ ... + +а)2 ""+аоз " с заданной точностью Е и Разложение полинома па сомножители (полипомы первого и второго порядков) с вещественными коэффициентами.
Пользователю выводятся значения корней и коэффициенты соответствующих полиномов (вещественному корню соответствует полипом первого порядка, а паре комплексно- сопряженных корней — полипом второго порядка). В качестве примера осуществлены вычисления корней полинома четвертой степени НЯ+азз '+азз +а<2 '+аоз ", гДе ая=!; аз — — — 1,858527; а, = 2,328529; а, = — 1,616672; ао = 0,780703. В качестве исходных данных последовательно вводятся значения: )0= 4; Е= 0,000001; ая= 1; аз = — 1,858527; аг =2,328529; а! = — 1,616672; ао=0,780703. (5.1) (5.2) Х(/с)).
где ! .гл И'„= е (5.3) Х(/с)= ~ х(пТ) И'йе, lс=О, 1, ..., Х вЂ” 1, л=о и-1 х(пТ) = ,'> Х(/с) И'к л1, и = О, 1, ..., Х вЂ” 1, причем И'„является пегииоднческой последовательностью с периодом Х, так как И'„'л ~"'п>лл И'й", !п=О, +1, +2... Непосредственное вычисление ДПФ (5.1) ири комплексных значениях х(пТ) требует для каждого значе!1ня /с (Х вЂ” 1) умножений и (Х вЂ” !) сложений комплексных чисел или 4(Х вЂ” 1) умножений и (2Х вЂ” 2) сложений действительных чисел, а для всех Х значений /«=0, 1, ... ..., Х вЂ” 1 требуется примерно Хг умножений н Хг сложений комплексных чисел.
Таким образом, для больших значений Х (порядка нескольких сотен илн тысяч) прямое вычисление, ДПФ (5.1) требует выполнения весьма большого числа арифметических операций умножения и сложения, чз о затрудняет реализацию вычисления в реальном масштабе времени процессов и спектров. Быстрыл! преобразование»и Фурье называют набор алгоритмов, реализация которых приводит к существенному уменыиению вычислительной сложности ДПФ (5.1). Исходная идея этих. алгоритмов состоит в том, что Х-точечная иослеловагельность разбивается на две более короткие, например на две (Х/2)- точечные последовательности, вычисляются ДПФ для этих более. коротких последовательностей и из этих ДПФ конструируется ДПФ исходной последовательности. Для лвг>>х (Х/2)-точечных последовательностей требуется примерно (Х/2) 2=Х2/2 умноже-: ний комплексных чисел, т.
е. число умножений (а также сложений) уменьшается примерно в 2 раза. Аналогично вместо вычисления ДПФ (Х/2)-точечной последовательности можно вычислить ДПФ для двух (Х/4)-точечных последовательностей и таким образом вновь уменьшить требуемое число умножений и сложений. Если Х= 2", «> 0 и целое, то процесс уменьшения размера ДПФ может быль продолжен ло тех пор, пока ие останутся только. 2-точечные ДПФ. При этом общее число этапов вычисления ДПФ будет равно»=!оягХ, а число требуемых арифметических операций для вычисления Х-точечной ДПФ будет порядка ЛЪ, т.
е. уменыиается примерно в Х/!ояг Х раз. Так, при Х=1009 для прямого вычисления ДПФ согласно (5.1) требуется примерн Хг=!О операций комплексных умножений и сложений. а при использовании алгоритмов БПФ таких операций требуется всего иорялка 10', т. е. объем вычислений сокращается примерно иа лва порядка. >24 Рассмотрим два алгоритма БПФ: с прореживанием по времени (в которых требуется перестановка отсчетов входной последов.пельности х(пТ)) и с прореживанием по частоте (в которых требуется перестановка отсчетов выходной последовательности 5.2. АЛГОРИТМ БПФ С ПРОРЕЖИВАНИЕМ ПО ВРЕМЕНИ Пусть требуется вычислить ДПФ (5.!) при Х=2", где»>0— целое (если ХФ2', то можно последовательность х(пТ) дополнить в конце пулевыми элементами так, чтобы длина результирующей иослеловательиости была степенью 2).
Разобьем исходную Х-точечную последовательность х(пТ)=х„(п)„гле «=1оягХ, п=О, ..., Х вЂ” 1, на лве (Х/2)-точечные последовательности х„,,(п) и х„,,(п), состоящие соответст- венно из четных и нечетных членов х(пТ), т. е. х, о(п)=х(2пТ), п=О, 1, ..., Х/2 — 1; х„,,(п)=х((2п+1) Т), п=О, 1, ..., Х/2 — 1. ) (5.4) При этом Х-точечное ДПФ (5.1) можно записать в виде П>2- ! и!г — 1 Х(/с)=Х»(/с)лл ',> х».>о(п) И'4м+ ~ х„,,(п) И'"л"".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
