Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(3.15)), вместо решения (3.29) можно ограничиться решением неравенства (3.27) с помощью данных табл, 3.2. Рассчитав величину Аа(в, „) — е„, в табл. 3.2 следует 83 найти значение (, соответствующее величине А,((с, А(). удовлетворяющей (3.27).
Если это значение равно К, то, очевидно, должно выполняться условие и, „< К/(100 А(). (3.3 1) Из (331) получается условие, определяющее величину А(: У<К/(1ООи,,„). (3.32) Пример 3.4. Пусть и, „=0,05; е,=0,25. Тогда Ачбк) — е,=0,75. По данным табл. 3.2 К=4! (при (=К=41 А,((с, М)=0,76>0,75). Из (3.32) К<8,2. Из (3.3), (3.15) и (3.26) следует, что в полосе залерживания АЧХ однородного фильтра должна удовлетворять условию А,((с, А()<8,. (3.33) Функция А,((с, А() в полосе задерживания немонотонно зависит от частоты (см. рис. 3.4). Поэтому сначала отыскивают наименьшее значение ( ((см. (3,22)], удовлетворяющее условию 1/я((+0,5)<8, или (>1/(яс,) — 0,5. (3.34) Для этого можно использовать данные табл.
3.3. Если это значение равно /, то [см. (3.17) и (3.20) ) 1(( определяют из условия /(( > //(с,, (3.35) Условия (3.32) и (3.35) определяют возможность применения однородного фильтра в качестве ФНЧ и величину А(. Пример 3.5. Пусть вч „=0 001; е„=0,1; ж„,=0,1; е,=0,1. Тогда А*(п, „) — е„= =09.
По данным табл. 3.2 К=25 (при ('=К=25 А,бс, (У)=09003)09). По паиным табл. 3 3 (= 3 (при (=1= 3 (Яп (( ь 0 5)) < 0 1). Из (3 32) и (3 35) получаем 30 < А(< 250. Целесообразно принять А(= 32, так как зто значение обеспечиваст лучшие реализапнонные характеристики, чем другие возможные значения (К=64 и 3(=128) Пример 3.6. Пусть в условиях примера 3 5 ж,,=001, а ос(альпыс величины прежние. Тогда из (3.32) н (3.35) получаем 30<2((<25, 1. е. нс существует однородного фильтра, у2товлс(воряющего заданным требованиям.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ОД1!ОРОДНЫХ ФИЛЬТРОВ На практике часто используется последовательное соединение однородных фильтров. Это позволяет реализоваз ь частотные характеристики, отличные от рассмотренных выше. Так, последовательное соединение двух однородных фнлыров одинакового порядка А( приводит к триангулярному фильтру, имеющему значительно большее подавление в полосе задерживания (см. гл. 7).
Последовательное соединение двух или более однородных фильтров разных порядков Л(( позволяет несколько уменьшить 84 нежелаемые подъемы АЧХ в полосе задерживания (см, рис. 3.4) путем соответствующего выбора величин А((. Отметим также, что путем преобразования передаточных функций (см. гл.
1) можно на основе однородных фильтров получить простые фильтры верхних часгот и режекторпые фильтры. Вместе с тем во многих практических случаях на основе простых фильтров не удается построить КИХ-фильтр с заданными требованиями к частотным характеристикам. В этом случае приходится использовать специальные методы расчета, которые рассматриваются ниже. 33. ПРОЕКТИРОВАНИЕ КИХ-ФИЛЪТРОВ С ТОЧНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФЧХ ОБЩЕГО ВИДА МЕТ()Д НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Для КИХ-филыра с передаточной функцией (1.49) и точно линейной ФЧХ при нечетном Ж можно согласно (3.! 1) получить (3] О(Е(зкн) /2 1 /( Е (тчч ! 1 () Е ЛК 1(зчч 1 Ь Е (язям Š— 7(КЗ((2чн 1, /2 Е )(2К вЂ” 1)2чн 1 Ь Е вЂ” (2К2яч С(кзачх К. — (Е ... + 1 Е ое к х ~ с,соз/2ящ, А(и)=)Ф(иь с)~, (336) (=о (де К=((3/ — 1)/2, (о=/(к с( — — 26к-(.
/=1, 2...„К, Ф(и, с)= к с,соь!2яи. (=о Метод наименыпих квадратов позволяе~ рассчитать коэффициенты /2( передаточной функции КИХ-фильтра с точной линейной ФЧХ по заданным требованиям к его АЧХ. В соответствии с этим методом при А(=2К+1 вспомогательные коэффициенты с, (см. (3.36)) определяются из условия минимума целевой функции 0,5 С(с)= ) (/((с) [А*((с) — Ф(и, сЦ2(/(г. (3.37) о (де функция А*(и) определена в (3.3), функция Ф (и, с) определена н (3.36), с в вектор коэффициентов сто (,, ..., с„, ()(н() — весовая функция. Весовая функция (/(и) позволяет регулировать точность ап'(роксимацни. Для тех интервалов частот, где значения весовой функции велики, точность аппроксимации оказывается выше, чем тля гех ин гервалов частот, где значения весовой функции относительно малы.
Более высокая точность аппроксимации соответствуег «в среднем» большей близости друг к другу аппроксимируемой функции А" (и:) и аппроксимирующей функции Ф(ш, с) и тем самым большей близости функции Ае(щ) и АЧХ проектируемого фильтра А(и)=)о(е(2'ч)!. ( В, при 0<и <в„ А~(в)= Вэ при вс <в<из, В, при вэ< и <0,5, ( О, при 0<в<в,, 9(в)= Оэ при вс <в<я„ Оэ при в,<в<0,5, при т=О, при тФО, Освс+Оэ(в, — жс)гОэ(0 5 — вэ) при т=!=О, при т=О, при твО,' т в' л !тэсс = яп (т 2лв, „) 2тл 0,5 — ссэ 5!пт4лвэ < + Вэ!Ээ 8тл при т=!ФО, при т=!=0 сг„„-с- О/2 — О и,, яп (т — /) 2ли „„яп (т+ !) 2л в„ + + 4(т — /)л 4(ть/)л Ояп(т — /)2лч;, Озьп(т+!)2ли,, 4(си — !)л 4(т+!)л прн е~/, т=О, 1, и !=О, 1, ...,/с 86 87 Необходимые и достаточные условия минимума целевой функции (3.37) (3, стр.
118) имеют вид д6(с)ссдс =О, лэ = О, 1, 2, ..., /с, (3.38) и представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов со, гы ..., гь ,'э„!„,сс, = !чь„„, (3.39) с=о где 0,5 ,= ) с/(в)соапз2яэгсоа/2яич/в, /=О, 1, ..., /с, о 0.5 1„д„— — ) с/(ис)Ае(и)соат2яис/и, о Решив систему (3.39) и определив коэффициен.гы сп можно рассчитать коэффициенты передаточной функции Ьп Из (3.36) следуют соответствуюшие расчетные формулы: Ьь=со* Ьх с=гс/2, /=1, 2, ..., /с. (3.40) Рассмотрим ряд примеров вывода расчетных формул для коэффициентов и правых частей системы (3.39). Пример 3.7.
Пусть А'(в) определяется (3.26): ( 1 при 0<и <ис„, 9(в) = 0 при и, „< ч < в, „ О при и„,<и<0,5, где О=сопя!. Тогда (см. (3.39)1 в, „яп(т+/)2лв,, Оса, О Оз!п(т+!)2лч'. при т=/вО и 2 4(тЧ /)л 2 2 4(т+/)л ти1 Условия этого примера охватывают различные варианты ФНЧ, отличающиес друс от дру~а точностью аппроксимации в полосах пропускания и задерживания При О<1 точность аппроксимации в полосе пропускания выше, чем в полосе задерэкивания.
Используя полученные формулы, можно рассчитывать коэффициенты системы (3.39) и, решая эту систему, определять коэффициенты с, и коэффициенты передаточной функции Ьь Пример 3.8. Пусть где „„Вэ, О,, Оэ, О,— константы. Тогда (см. (3,39)] В, О, в с + ВэОэ (и э - я с ) -~. ВэОэ (О 5 — в э ) япт2лв, с/з!пт2лвэ-з!п2лв, ВО, ' +ВО,! 2ел 2тл япе2ли, -ВО 2тл в , япт4ли, '! ссиэ — и, япт4лиз — япт4лв, '1 ВО, — + — ~+ВО,~ + ~+ 8иа ] я(п(т — /)2лв, яп(т+/)2лв, ] 15!п(т — /)2ли, ВО,~ '+ ' ~+В,О, ~ '+ 4(т — /)л 4(е+!)л ~ ~ 4(т — !)л яп(т+/)2г:и, яп(т-/)2лв, яп(т+/)2лв,1 + Вэ!Зэ " 4(т+!)л 4(т — 1)л 4(т+!)л ~ э э яп(т — /)2ли, яп(т+!)2лн, 1! к + с ~при т~!, т=О, 1,...,/с, !=О, 1,...,/с.
4(т — /)л 4(т+/)л Условия этого примера охватывают различные варианты ФНЧ и ФВЧ. При В,=!, в,=и,„=О, вэ=и,„О,=1, Ох=О, Оэ=О условия данного примера сволятся к условиям примера 3.7, т. е. определяют требования к ФНЧ. При В,=О, и,=в„„В,=1, и,=н,„, О, сопя, Ох=О, О,=! условия определяют требования к ФВЧ. Используя полученные формулм, можно рассчитывать коэффициенты передаточных функций соответствующих фильтров. П р и м е р 3.9. Пусть В, при 0<в <«и Вг при к, <к<нг, 1)з при н'г <к< к?. В( при а'г «" ко* Вс при и'4 < и'<0,5, А*(и)= 0<в <к,, и'г «" кз "з «"'ко.
во<к<0,5. О, при Р, при О, при 04 при О, при 8(к)= Тогда (см. (3.39Ц при т=О, В|Р|к| Ф,г В 0 (и' — в|- |)ФВ>Р|(0,5 — ко) ! =? йп т 2к и, яп т 2к и)-яп т 2л аэ В,О, '+ 2 В/0) |=г 2тк з|п т 2л ко — В|0| 2тл р,к,+ 8" р,(а;.-к;,)ФР,(05 — кз) прн тИО, при т=/=0, )=г |о, з(пт4лиз»( 4 1к — к), ыпт4лк,— япт4ки,-|з( 3 8тл ч В,Р,(х — '- — '- 105-кз ып т4к из при т=/ИО, '1 2 8тл Гяп (т -1) 2я а, яп (те 1) 2л к, 1 ]+ 4(т — 1)|с 4(т+1)л яп(т — 1) 2к к/ — ып(т-1) 2л а) + У В|0) |-г ' 4(т — 1)л яп(тк/)2ла,— яп(из+1)2лк,, ) Гз/п(т — /)2ли, - 1+В,О,~ 4(т+1)л ~ 1 4(т — 1)л з | +||| т,] прн тИ/, т=О, 1,...,/с, 1=0, 1,...,/с 4(т+/)к 88 Условия этого примера охватывают различные варианты избира|ельных фильтров ФНЧ, ФВЧ, полосовые и режекторные фильтры.
Так, при Н, =В,=В =0 н |г? вз к, Вз = 1 ни = и' О| Ог 0з =соло(, Ос=О, /Эз — — 1 услови ?= оз= определяют требования к ФВЧ; при В,=О, В>=1 В|=0, из=к,„, к,=а,„, аз= и,„г, ив=в;,г, Р, =Рз =сонэ|, 0?= Р,=О, Рз=! Условия опрслсля|от требова ния к полосовому фильтру (см. пример 3.2 и рис 3 2), причем точноот аппроксимации в обеих полосах задерживания одинакова. Полученные формул позволяют рассчитать коэффициенты передаточных функций любых иэ перечисленных вы|не избирательных фильтров. Расчет коэффициентов передаточных функций избирательных КИХ-фильтров с точно линейной ФЧХ требует определения коэффициентов линейной системы (3.39) по формулам, приведенным в примере 3.7, 3.8 или 3.9, решения этой системы и применения формул (3.40).
Этот расчет может быть выполнен на любой ЭВМ, в программном обеспечении которой имеется подпрограмма решения системы линейных алгебраических уравнений. Пример 3.10. Рассмотрим расчет равнополосного фильтра, т. е. ФНЧ, для которого к, „-|-ич,=0,5 и весовая функция аппроксимации |/(а ) удовлстворяет условию 9(и )=|/(О 5-н ).
Пусть а, „=0,125, к,,=О 375, В=11. Используя формулы, привелснные в примере 3.7, а также (3.39) и (3.40), найдем слелующие шачения коэффициентов псрслаточпой функции фильтра: Ьо = Ьзо =0.0118785 Ьс =Ьо = -0.0000003 Ьг =Ьо = О 0621937 Ьз =Ь» =О 0000008, Ь, =Ь,= 0,3007862, Ь, = О 4999990. П рог р ам ма 3.2. Расчет АЧХ КИХ-фильтра. Программа 3.2 позволяет рассчитать значения АЧХ КИХ-фильтра в относительных единицах (А1) и в децибеллах (А2) для М равноотстояц|их значсний нормированной частоты а. Расчет выполняется по формулам / в-| г /а-| ,г А1= /1 ~ Ь,соз/2кн ] Ч-~ ~ Ь,ып/2л и ~, |=о |=о 20!ДА) нРи А)>10 о, А2= — 120 при А1 <10' о.
1$$ (ИН нннана РАСЧЕТ АЧХ ввнннн МФ ИЕН аанннн КНХ-ФИЛЬТРА ааавваавн 13$ ВЕР1ИТ 1-К 13$ ОРЕИ О",$1, |СО| 1ФФ 1ИРЦТ 5(Р)ИОК ФИЛЬТРА И= > "|Н 15$1НР(п коде(естВО тОчек н > |н 1$$ 81Н В(И> 1ТФ РИТИТ ВВОД я|АЧСНИА КОВФФНЛ>ЕНТОВ ФИЛЬТРА В(1>з 1$$ РО$1"Ф ТО Н-1 1$$ РЙ1НТ Ц$1ИО ВВОД В|ФИ= ) "|1||1>РОТ В(1> 2$Ф (ИХТ 1 21Ф РНТНТ$1, Н 8/В, === И === ." == А! = . = А2 Ю 81 5/(Н-1) |И $|Р2 б.283188 23$ РОН 1 1 ТО Н 24$ $1 8|82 Ф(РЗ=Гган 25Ф РОН К Ф ТО И-1 2ФФ $1 81+В(|пвСОЗ(ЮРЗ) 27$ $2 82+8(к>ва!И|каРз> 2$Ф >КХТ Ь 29$ А1 ЯЗ(($1"2+82"2> 3$$ ТР М(.ЕФЕЕЕ! ПКН Аг=-!2$ П.ВЕ Аг-гваыж(А!)/СОО(!Е> 31$ РИТИ!в!,1,И,А(,лг 32Ф ЬиноВ! 33$ (кдт 1 3($ СЬОЕЕ $1 ЗЕФ ЕИВ ЗЕРЬННЫКв Н-ЗЗ.Н яя Р()) -и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
