Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 36
Текст из файла (страница 36)
5ФФ е Э.еее -елее в Ф.вее 9 "1.Фее 1Ф ° .ФЕЕ 11 -Ф.оее ьз -Ф.еее 1З Е.вев м -Ф.вее 15 1.ЕЕЕ 14 -Е.ВЕЕ 19 ° .5ФФ 1В ° .ЕФЕ 1 1.Фее 1 Ф.ЕФФ З -1.ЕЕЕ ° "Ф.ФФФ 5 1.ЕФФ е ° .еее Программа осуществляет уменьшение частоты дискретизации входного сигнала х*(пТ) в М раз путем прореживания входной последовательности (взятия каждого М-го отсчета) в соответствии с (8.!) при к= О. В качестве входного сигнала взят синусоидальный сигнал х * (и Т) = яп (2я пи ), причем частоту ж целесообразно выбрать в соответствии с условием 11(2М) < и <0,5, чтобы наблюдать явление наложения спектров.
В качестве исходных данных задаются и вводятся: количество 79'! выводимых отсчетов выходной последовательности х(9.Т'); коэффициент децимации М; частота В' входного синусоидального сигнала. Пользователю выводятся в виде таблицы значения номера такта и отсчета сигнала на входе и выходе КЧД, т. е. п, х (иТ), 7., х().Т'). В качестве примера осуществлено уменьшение частоты дискретизации сигнала х*(пТ)=яп(2япж), где и =5112=0,41бббб, в М= 3 раза. Величина Аг! выбрана равной 7. В качестве исходных данных последовательно вводятся значения: М1 = 7, М = 3, В'= 0,41бббб. Из решения хорошо видно, что в результате наложения спектров выходной сигнал представляет собой синусоиду с частотой ж'= 0,25. Рекомендуем изобразить для данного случая модули спектров исходного сигнала и составляющих спектра выходного сигнала аналогично рис.
8.5. 194 а) «. ! 11г11и1 г 1 1г 1 1! ,г ! 111 ! 11 1 1 и«'-г/и и«Г«гю ф) Рис. 8.6 !95 8.3. УРАВНЕНИЯ И ПРИНЦИП РАБОТЫ ПРОСТЕЙШЕЙ СИСТЕМЫ ДЕЦИМАЦИИ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ Простейшая система уменьшения частоты дискретизации (децимации) в целое число раз М показана па рис. З.б,а. Принцип работы схемы поясняется на рис. З.б,б (для М=4). Предполагается, что спектр входного сип!ала х(п Т) занимает полосу нормированных частот [О; 0,5! (рис. З.б,б, график 1).
Задачей схемы является уменьшение частоты дискретизации сигнала в М раз с сохранением спектра, расположенного в полосе [О, !9,„,„[. Собственно операция уменьшения частоты дискретизации в М раз осуществляется с помощью КЧД, формирующего сигнал у() Т') =у(1МТ) путем взятия только каждого М-го отсчета из последовательности у*(пТ), т. е. у(! Т')=уе(М) Т), ) =0,1,2,... Для предотвращения явления наложения спектров операции, выполняемой КЧД, предшествует операция фильтрации децимируемого сигнала. Входной сигнал х(пТ) обрабатывается фильтром, назначение которого сос1оит в подавлении составля- Г г г-1-!1 ющих спектра в частотных диапазонах [зм' зм) (г««1, 2, ..., М вЂ” 1), которые при последующем уменьшений частоты дискретизации в М раз попадут в частотный диапазон [О; 11(2М) [.
Идеализированная АЧХ фильтра нижних частот схемы должна удовлетворять требованиям А ( ')=[О( 11««)! ~ 1 при !9н [О, ит««[, [ О при и е [О; 0,5 1, где» „„<О< — — в,„, 0=»,„— граничная частота полосы задер! живания фильтра. Амплитудно-частотная характеристика показана на рис. 8.6,6 (график 2) для случаев 0=!Я2М) (Т, график 2, рис. 8.6„б) и 0=11М- и „„(Н, график 2, рис. 8.6,б) (!/10<» .„< <1~8, М=4). Спектр сигнала у*(пТ) на выходе фильтра равен у» ( э 2и ~ ) й' (е г м ) Н (е 9 2к н ) М-1 У(ез май) ~Г Х(ен"("'и)) Н(ен"("'+д)) я=в (8.12) Если АЧХ фильтра )Н(е"" )) удовлетворяет условию (8.11), го в полосе частот [О, » „„] спектр выходного сигнала равен спектру входного сигнала.
В полосе [»„,„, 1/(2М)] может отсутствовать наложение спектров (при 0<1(2М), см. рис. 8.6,б, график 3) либо могут иметь место наложения спектров (при' 142М) <0<1(М вЂ” »,„, см. рис. 8.6, б, график 4). Оба случая допустимы, поскольку от схемы требуется только сохранение спектра в полосе [О, 1«,„ ).
В реальных фильтрах, используемых для децимации, амп ли удно-частотная характеристика аппроксимирует (8.11) с определенной степенью точности. В полосе пропускания АЧХ имее т т неравномерность ЛА„, а в полосе задерживания — отклонение о нуля ЛА, При уменьшении частоты дискретизации имеет место наложение спектров. Спектр выходного сигнала определяетс (8.12). Первое слагаемое в правой части (8.12) при к=О дл ' » е [О, 1«„,„] можно рассматривать как спектр полезного сигнала, равный спектру входного сигнала в данной полосе, измененног . в соответствии с АЧХ фильтра в полосе пропускания. Слагаемы для х= 1, 2,...,М вЂ” 1 и )1г)п [О,в „ ] следует рассматривать как спектры помех, искажающие спектр полезного сигнала в пол [О,и „„].
Выбор величин ЛА„и ЛА, при решении аппроксимационно" задачи основывается на требованиях конкретной проектируемо" системы и аналогичен выбору соответствующих величин в си сгемах интерполяции (см. 9 7.6). Требования к АЧХ (8.11) могут быть заметно облегчены, если и„,„«11(2М): 196 Следовательно, спектр выходного сигнала у() Т') схемы децимации в основной полосе частот» 'е [О; 0,5) (что со- ' ответствует частотному диапазону» е [О; 1Я2М)]) с учетом (8.9) определяется как 1 при»а [О, иг,„) А(») Г „(8.1З) Г г ГмЧ Рассмотрим теперь особенносзи использования КИХ-и БИХ- фильтров при децимации.
Передаточная функция Н(.) фильтра (как КИХ, так и БИХ) и его частотная характеристика определяются «высокой» (входной) частотой дискретизации. Однако КИХ-фильтр работаег фактически на «низкой» (выходной) частозе, поскольку нет необходимосги рассчитывать М вЂ” 1 отсчет выходной последовательности у (и Т) фильтра (см. рис.
8.6,а), которые будут отброшены КЧД. БИХ-фильтр, используемый в схеме децимации, работает на «высокой» (входной) часготе дискретизации, поскольку при вычислении любого отсчета последовательности у*(пТ) необходимо иметь значения всех предыдущих отсчетов (и тех, которые далее будут отброшены КЧД). Использование БИХ-фильтра может оказаться более предпочтительным при минимизации емкости оперативной памяти или объема оборудования. Число операций умножения в единицу времени для ЬИХ-(Р ) и КИХ-фильтров (Рк) равно: и,=(Н„+Мв-!)У„, У,=Н,(Г,,)М), где Жа и Мв — количество коэффициентов в числителе и знаменателе йередаточной функции БИХ-фильтра; Юк — количество коэффициентов передаточной функции КИХ-фильтра; /„— -частота дискретизации входного сигнала; М--коэффициент децимации.
Применение БИХ-фильтра оказываегся предпочтительным (по критерию минимума операций умножения в единицу времени) при условии Л' >М(Ж„+М,— !). При требовании сохранения фазовых соотношений между сосгавляющими спектра входного сигнала в полосе частот [О, »,„) в схеме децимации целесообразно использовать КИХ- фильзур с линейной фазовой характеристикой. 8.4. СТРУКТУРЫ СИСТЕМ ДЕЦИМАЦИИ С ЦЕДОЧИСЛЕННЪ|М КОЭФФИЦИЕНТОМ М Рассмотрим две структуры систем децимации сигналов с целочисленным коэффициентом М при использовании в схеме (см. рис. 8.6,а) КИХ-фильтра с передаточной функцией к-1 Н(г) = '„~ Ь,а г=а Алгоритм работы схемы описывается разностным уравнением !97 К вЂ” ! г=о (8.15) х=о г=о Рис.
8.7 198 у(),Т')=ув()МТ)= ,'! Ь!х()МТ вЂ” !Т), ) =О, 1, 2,... (8.14) Пример 8.!. Допустим, порядок фильтра !9=6, а М=3. Рассмотрим третий выходной такт 1=3. Тогда в соотвезствии с (8.14) у (3 Т' ) = г ч (9 Т) = Ьс к (9 Т) + Ь, х (8 Т) ч- Ь,х (7 Т ) ч- Ь,х (6 Т ) ч- Ь .г (5 Т ) ч- Ь, х (4 Т >. Па слелуюигсм выходном такте (1=4) у(47')=> *(12Т)=Ь х(127)Ч-Ь!х(117)Ч-Ьзх(107)Ч-Ьзх(97)Ч- Ч- Ь, (8 Т ) 9 Ь,х (7 Т).
Промежуточные отсчеты у*(!ОТ) н >'*(!)Т) вообще в фильтре не вычис дались, поскольку всс равно в дальнейшем они были бы отброшены КЧД. Структура 1. Уравнению (8.14) соответствует схема, показанна на рис. 8.7, Входная последовательность х(пТ) поступает в цеп из А! — 1 элемента задержки на интервал дискретизации Т Выходы элементов задержки подключены к умножнтелям н коэффициенты Ь, через КЧД. Компрессоры часто!ы дискрегизаци работают как ключи, замыкающиеся в моменты 1=)сТ'=) М т. е.
в моменты О, МТ, 2МТ и т. д. Полученные произведени последовательно складываются в сумматорах на два входа образуя отсчет выходного сигнала у().Т'), Отметим, что ум ножители в этой схеме работают на «низкой» (выходной) частот дискретизации. Пример 8.2. Допустим, 7!!=6, М=З. Рассмотрим третий выходной так который соответствует девятому входному такту (х=>.
н=хМ=9). Значит, н входе схемы — отсчет «(9Т), на выходе элемента задержки г, ' — х(8Т), н' выходе к, '- х(7Т) и т. д. В момент хМ замыкаются ключи КЧД. т. е. эт отсчеты поступают на умножнтели. Таким образом вычислякггся произведсни Ь„х(9Т), Ь,х(8Т), Ь,.г(7Т). Ь,к(6Т), Ь,х(5Т) и Ь,х(4Т). Затем эти произведения последовательно складываются, начиная с последнего, т.
е. вначале получаем Ьзк(4Т)ч-Ь .х(5Т), затем к этой сумме добавляется Ь,х(ЬТ) и т. д. Таким образом на выходе схемы формируется требуемый отсчет выходного сигнала у(3Т')= 2, Ь,.т(9Т вЂ” 1Т) (см. также пример 8.1). г=о Структура 2 (полифазная). Полифазная структура основана на преобразовании уравнения (8,14) к виду (8,15); и-зс-! у().Т')= ~ ~Ь, „к((2 — г)МТ-(Т), причем А(=СМ, С вЂ” целое.
Подробно вывод уравнения (8.15) приведен в [3[. Уравнение (8.15), описывающее полифазную структуру децимации сигнала с целочисленным коэффициентом М, можно интерпретировать следующим образом: выходная последовательность у(ХТ') схемы есть сумма М последовательностей ук(ХМТ), /с=О, 1, ..., М-1, каждая из которых есть в свою очередь результат фильтрации последовательности х* ,().М Т) = х (2 М Т вЂ” )с Т) дискретным фильтром с передаточной функцией Оз(зи) и импульсной характеристикой Ь,"=Ь,ичы причем отсчеты импульсной характеристики (г-го фильтра есть отсчеты импульсной характеристики Ь, фильтра-прототипа в исходной схеме (см. рис. 8.6,и), взятые через М вЂ” 1 отсчет: Ь,"=Ь,хгчы й=О, !,...,М вЂ” 1; г=О, 1, 2,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
