Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Отметим. что при у = 0,25 каждый второй отсчет последовательностей р, (н Т') н рз (и Т' ) равен нулю и процесс интерполяции соответствует процессу увеличения частоты дискретизации вещественных сигналов уг ()с Те ) =р, (н2Т) и у,()сТ')=р,(92Т) с частотой дискретизации ('„)2 в 2(. раз. Достоинствами схемы (см. рис. 7.18) по сравнению с использованием полосового фильтра являются отсутствие ограничений па величину параметра р и использование одного и того же фильтра ФИ при переносе спектра на любую величину !3.
Г л а в а 8. УМЕНЬШЕНИЕ ЧАСТОТЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ (ДЕЦИМАЦИЯ) ЦИФРОВОГО СИГНАЛА 8.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ И ОСНОВНЪ|Е ПО- НЯТИЯ ЦИФРОВОЙ ДЕЦИМАЦИИ СИГНА- ЛОВ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМ КОЭФФИЦИЕН- ТОМ (гт Рассмотрнм аналоговый снгпал х(г), показанный на рнс. 8.1.
Спектр Хбтл) этого сигнала занимает полосу частот !О, еэ, 1, модуль с~о спектра показан на рнс. 8.2. а. Осушествнм дискретизацию эзр о сигнала с ннгсрвалом дискрегнзацнн Т (частотой г1г,=2п,'Т). Соотвстствуюшнй дискретный сигнал х(лТ), л — О. 1, 2, ..., показан на ' рнс. 8Л. Теперь осушествнм дискретизацию того жс сигнала х(г) с ннтсрвалом Т'=МТ (частотой оз',=2я)Т'=2н)(МТ)). Соответствуюшнй дискретный сигнал х(ХТ'), Х=О, 1, 2,..., показан на рнс. 8.1 (для случая Т = МТ=2Т). Случай 1. Прн дискретизации с частотой ым выполнялось условие в„>2мы „(в нашем случае ым>4ы„„), Модуль спектра сигнала х(нТ) показан на рнс.
8.2,оц Он псрнолнчен (по осн частот) с частотой езм. Очевидно, что вслнчнна частоты лнскретнзацнн нвляется нзлншнсй, поскольку в соответствии с теоремой Котельникова должно выполняться условие ы„>2ы „. Молуль спектра сигнала х(ьТ) показан на рнс. 8.2,в. Он псрнолнчсй (по осн частот) с частотой ы'„=ы„1(м=оз д2. Поскольку в интересуюшей нас полосе частот !О, го„„, ! спектр не изменился как по сигналу х(пТ), так н по сигналу х()сТ'), можно восстановить исходный аналоговый сигнал .т(г). 189 х (пг) !маап и п д г (гг) х(пт) д(ггвддгд и!я г') д г г г Х Рис.
8.1 Рис. 8.2 (8.1) «().Т'+)сТ') =ха (пТ), Хя(г )=г ) х(ХТ +)гТ)г х=о (8.2) 8.2. КОМПРЕССОР ЧАСТОТЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ Х*(г)= 2 х*(пТ)г ". п=о (8,3) «=о п=о «=и м = 2 ( ,'> е ' "м " ')х*(пТ)г ". (8.4) к=о Поскольку Рнс. 8.3 190 191 д ( г г к х ю', гю', и' д) Всрнемся теперь к рис.
8.1. Очевидно, что сигнал х().Г) можно получить из сигнала «(пТ) путем прорсживания последнего, т. с. путем взятия только каждого М-го (в нашем примере каждого второго) отсчета си~ нала т(пТ) Эта операция и называется децимапией сигнала с целочисленным коэффициентом. Случай 2. Прн дискретизации с частотой ы„ не выполнялось условие ы„>2мы,„. модули спскзров сигналов х(пт) и х(хт'). псриоднчные с частотами сз„, и вз'„=сэ„,(М, показаны на рис. 8.2,е и д соотвсзственно (М=2). Из рис. 8.2 вйлно, что на основной спектр в полосе 10, ы „1 наложился дополнительный спектр, расположенный окодо центральной частоты вз'„ь Следоватсльно, спектр сигнала (и сам сигнал) оказался искаженным.
Если йо сигналу х(пТ) можно восстановить сигнал х(г), то по сигналу х(хТ') этого уже сделать невозможно. Таким образом, мы уяснили, что для выполнения операции децимации в целое число раз М необходимо, чтобы частота дискретизации еэ„ сигнала х(пТ), подлсжагцего децимации, удовлстворяла условию ы >2Мы „„где ы „- граничная частота спектра децимируемого сигнала. ()озднсс более ' точно сформулируем условия, прн которых возможно осуществить децимацию сигнала.
Собственно операция децимации выполняется с помощью компрессора частоты дискретизации (КЧД). Условное изображение КЧД, осущесгвляющего уменьшение частоты дискретизации в целое число раз М, показано на рис. 8.3. Компрессор частоты дискретизации представляет собой ключ, который замыкается в моменты (=пМТ=) Т' (п=О, 1, 2, ...), т. е.
из входного сигнала х*(пТ) с интервалом дискретизации Т берется только каждый М-й отсчет и формируется выходной сигнал х(2.Т')=хв()ьМТ) с интервалом дискретизации Т=МТ. Иными словами, выходная Рис. 8.4 последовательность х()ьТ') ЭЧД формируется путем прореживания входной последовательности х'(и Т) по алгоритму где ) =О, 1,2,..4 п=) М+)с, а гс — целое фиксированное число (О </с< М). Операция, выполняемая КЧД, называется прореживанием, а последовательность х(2,Т') — прореженной. На рис.
8.4 показаны последовательности х*(п Т) и х().Т') на входе и выходе КЧД при уменьшении частоты дискретизации в 4 раза (М=4, 8=2). Рассмотрим связь между г-преобразованиями входной и выходной последовательностей ЭЧД. Представим г-преобразование Х,(гм) сдвинутой последовательности х,().Т'+)сТ) в виде а г-преобразование Х*(г) входной последовательности х*(пТ) в виде Рассмотрим теперь с учетом (8.3) сумму М-1 к М вЂ” ! м х х ,'> е'"и Х(ге'"м)= '>" ~! е "'м х*(пТ)е ~ м" г "= эы" и и) (М при п=lс+) М, ).=О, 1, 2,... ~0 при других и, м=а з=о ! ! 1 / (8.5) з 7//ги! 7/и г/И Т м Рис.
Е.5 В И х а В такт Отсчет !95 7 Заказ 3574 из (8.4), заменив и-+к+).М, получим М вЂ” 1 м м 2 е' и Х*(зе' 'м)=М 2 хх(),МТ+$1Т)з ™~1= = Мз " ~ х "() МТ+)т Т)г хча Окончательно с учетом (8.1) и (8.2) из (8.5) получаем М вЂ” ! м Х„(гм)= — ,'! е~ и Х*(зе! !!). М х=а Уравнение для спектров на нормированной шкале частот получаем из (8 б) при подстановке з=ехр(72к и )=ехр(/2к!г",М): М вЂ” 1 м Х„(е""" )= — ,'! е' 'ч Х(е' '~м м)), (8.7) х=а где и '=И7!М. На практике часто используе 1ся случай й = О. Тогда (8.6), и (8.7) преобразуются в (8.8) и (8.9) соо!ветс! венпо: м — ! м Х(зм)= — 2 Хх(зе! м); (8.8) х=а М вЂ” ! Х(е""" )мм — 2, Х*(е' 1 ' !/). (8.9) М хма Из (8.9) видно, что спектр Х( ) выходного сигнала есть сумма спектров входного сигнала.
сдвинутых один относительно другого по оси частот в на величину 17М. Таким образом,' если основной спектр входного сигнала КЧД (в полосе !О; 0,5)) разбить условно па М сос.!авляющих, занимающих М полос на оси частот шириной 1/(2М), то после уменьшения частоты дискретизации в М раз в основную полосу час!о! (О,!Я2М)) выходного сигнала попадает каждая и-я составляющая спектра Г Х Хх!1 входного сигнала из полосы ~ —, ' 1, и = О, 1, 2, ..., М вЂ” 1. ~ 2М' 2М Н» рис.
8.5 показаны модули спекз ра входного сигнала ' и составляющих спектра выходного сип!ала КЧД при уменьшении частоты дискрет изации в М = 3 раза. Из рис. 8.5 видно, что если основной спек!р входного сигнала КЧД условно разбить. на М составляющих Х*„, х=О, 1„...,М вЂ” 1 (в примере М=3), занимающих по оси часто! М полос шириной 1Я2М). то' после уменьшения частоты дискретизации в М раз в основную полосу час~от (0,1,1(2М)) выходной последовательности попадя!ог прямые спектры Х;„( ) четных составляющих (х=О, 2....) и инверсные' спектры Хм(.) нечетных составляющих (х= 1, 3,,) спектра вход- ' !Вг пой последовательности. В пашем примере спектр входной последовательности условно разбит на три составляющие (Ха, Х; и Хз).
После уменьшения частоты дискретизации в 3 раза в основную полосу частот [0,!Я2М)] попадают составляющие Х'„( ) и Х;( ) при х=0,2 и Х;( ) при ххм!. Рассмотрим теперь условия, накладываемые на ширину и положение спектра входной последовательности на оси частот, при которых уменьшение частоты дискретизации пе приводит к наложению спектров. Как видно из (8.9) и рис. 8.5, наложение спектров отсутствует, если спектр входного сигнала занимает пе весь частотный диапазон !О; 0,5), а лишь олпу из полос час!от г — <и <(г+1) —, ! ! 2М 2М' где « = О, 1, „М вЂ” 1, или часть э! ой полосы.
Условие (8.10) со!~веге!вуе! обобщенной теореме Котельникова, устанавливающей связь между шириной спектра и частотой дискретизации сигнала. П р о гр ам м а 8.1. Работа компрессора частоты дискретизации с коэффициентом М для синусоидального входного сигнала. зе яеи каиеяессзя чястати Внскяетизязии ЗЕ ЯЕИ С КОЗЕЕИИИППОИ И Зе ЯЕИ СТВОЧХВЧВАмЪ!В!Я ВХОВИОЯ СИ!Ч!ЕВ Че !Веи а".е1. ми! ЗЕ ВЕЯТИТ 1-И ЕФ ТИЙТ КОВ!ЧЕСТВО ВИВОЗИИЙВ! ОТСЧЕТОВ И! !И1 те нечп казееиаиеит Везиия!ВВ! и" зи ВЕ ИЗ !И!<О Е я печк чястатя Вхазиая синтпз!Ви и зи ТЕЕ ВЯТИЧ Ез, ые яяхит ез.
в х а з !зе яятит е!.-такт атсчет 1ЗЕ ВЯТИЧ Е1. 14Ф гая 1 е та из 1ЗЕ ХХ ЗТИ!Змх.14!ЗТЗИТ«И! Тее к 1 иаа и!кз гхх!Тло 1ТЕ ТГ К Е ТЗЕИ Т-ХХ 1ВЕ енхнт Ф1,551ИО ЕЕЕ «1« 1ее ипит Ф1,55!но -Эееэее.еее" ехх« ЯФЕ 1К К Е 11КИ ГН1ит 91,551ИО -ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ «КП же 19 к.е пкн гогот м,!в!но ееееее.еее «т ахв 1к кг>е т!кн нахит 91, кее 1ихт ! о«е алик е1 21Ф еи1ит неоотя веко«нонн яее кио Фхое таст отеч от ВИХО1 тент отснят е Э.еее Ф Е.ФФФ ! Е.вее -е.вее З 1.Еее 4 -Е.ОЕЕ 5 ° .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
