Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 30
Текст из файла (страница 30)
7.7, а. Входным сипшлом схемы является сигнал х(чТ'.), и=О, !, 2, с интервалом дискретизации Т'. Предполагается, что сигнал х(чТ') с финитным спектром Х(/в), занимающим полосу частот вн [О, в„,„1 Частота дискретизации ~„'>в,„/л. На рис. 7.7,6 (графики 1 и 2) показаны модули спектров сигналов х(/) и х(чТ') на нормированной оси частот (( =в/в„=в/(2,в',)) для случая Т.=З(в,=Зв',= = бвхда). Входной сигнал х(вТ') поступает на экспандер частоты дискретизации, осуществляющий предварительное увеличение частоты дискретизации в Т. раз по алгоритму (7.2).
Спектры выходного и входного сигналов ЭЧД равны и периодичны с частотой и,'=1//. (см. ч 7.3). Связь спектров сип(алов х'(иТ) и х(нТ') со спектром Х()в) исходного аналогового сил(ала х(/) определяется соотношением т. е. периодический спектр дискретных сигналов х (пТ) и х(»Т') представляет собой сумму спектральных компонент (спектров) исходного аналогового сигнала, расположенных симметрично относительно центральных частот Ь~Т..
Модуль спектров Х (е""") и Х(езыь") показан на рис. 7.7,б (график 2). Следует обратить внимание на коэффициент 1/Т' перед знаком суммы в правой части (7.7). Выходной сигнал ЭЧД обрабатывается «идеальным» фильтром нижних частот с передаточной функцией Н(г) и импульсной характеристикой Ь (пТ), задачей которого является подавление «лишних» частотных составляющих спектра Х (е"""'), занима- ющих область частот гян [11(27,); 0,5). Амплитудно-частотная характеристика фильтра показана на рис. 7.7,б (график 3).
Полоса пропускания «идеального» фильтра занимает область частот [О; 1/(21,) ), полоса задерживания занимает область частот [1Я2Л); 0,5). Коэффициент усиления фильтра в полосе пропускания равен коэффициенту интерполяции, т. е. АЧХ «идеального» ФНЧ' должна удовлетворять требованиям: ) 2, при и я[0,1~(22.Ц, (О при и н~!1(2Л); 0,5[. Поясним формулу (7.8). Требуется получить сигнал у (пТ) который можно было бы рассматривать как результат дискретизаци аналогового сигнала х(!) с высокой частогой а,.
Спектр же таког сигнала у(пТ), получаемого путем непосредственной дискретизаци сигнала х(!), связан со спектром сигнала х(!) соотношением г'(е32пч) ~~~ Х(Ьг ! !Ь) (7.9 Р„ Если сравнить коэффициенты перед знаком суммы в (7.9 и (7.7), очевидно, что для получения требуемой амплитуд спектра необходимо иметь фильтр, удовлетворяющий (7.8). Итак, фильтр должен иметь коэффициент усиления 7 в поло пропускания, определяемой шириной спектра исходного сигнала и подавлять «лишние» частотные составляющие спектра, лежащи в диапазоне частот от 11(2Т.) (граничной частоты основног.
спектра исходного сигнала) до 0,5. Запишем теперь выражение для г-преобразования выходног' сигнала г'(г)=Х'(г) Н(г)=Х(г~) Н(г). (7.1 Выражение для спектра выходного сигнала можно получит из (7.10), подставляя г=е"""': г'(с!2пю) Х'(с!гам) Н(езглв) Х(езгкьн) Н(с!гав) Х(едгЯ! ю) и х [Н(е""")[е"'"', !б4 Следовательно, в рассматриваемом идеализированном случае (при АЧХ фильтра, удовлетворяющей условиям (7.8)) спектр сигнала на выходе схемы в основной полосе час~от [О; 0,5) с учетом (7.7) будет иметь вид У(е!г" ) =- Х(/и) езм"', (7.! 1) Т з. е. спектр выходного сигнала представляет собой спектр исходного аналогового сигнала, измененный в соответствии с фазовой характеристикой фильтра <р(и). Поскольку спектр сигнала у(пТ), получаемого путем пепосредственной дискретизации х(!), определяется в основной полосе частот [О; 0,5) соотношением, получаемым из (7.9) при 8=0, 1'(е""") = — Х( уи:), очевидно, что г(едгли) г"(езгпи')езмм (7.12) Из выражений (7.! 1) и (7.12) можно сделать следующие ьчи воды: а) спектр сигнала у(пТ) па выходе схемы интерполяции (см.
пис, 7.7,а) можно рассматривать как спектр сигнала у(пТ), полученного путем непосредственной дискретизации сигнала с часготой «з„, но измененного в соответствии с фазовой характеристикой ФНЧ <р(и); б) схему повышения частоты дискретизации (интерполяции), содержащую ЭЧД и «идеальный» фильтр с АЧХ, удовлетворяющую условию (7.8), можно рассматривать как совокупность идеального интерполятора ИИ и линейной системы с частотной ;арактеристикой Н (е""")=еды"' (см. 7.2)„' в) форма и спектр выходного сигнала схемы интерполяции существенно зависят от типа используемого фильтра и его ФЧХ. Остановимся более подробно па последнем выводе. В качестве ФНЧ могут использоваться как КИХ-, так и БИХ-фильтры.
Рассмотрим вначале особенности использования КИХ-фильгров, ~ем более что конечная импульсная характеристика последних позволяет достаточно просто строить эффективные структуры систем преобразования частоты дискретизации сигналов. КИХ- фильтры с передаточной функцией и-1 Н(г)= ',~ Ь„г (7.1 3) к=п и линейной ФЧХ ~р(ж)= — Я2ягя могут иметь нечетное (КИХРрильтры вида !) и четное (КИХ-фильтры вида 2) числа отсчетов Х импульсной характеристики Ь(пТ)=Ь„(см. гл. 3). !65 Для КИХ-фильтров вида 1 (М вЂ” нечетное) эс=(М вЂ” 1)/2 — целое число.
Поскольку величина Тх определяет задержку во временной области, вносимую фильтром при обработке сигнала, для фильтров вида 1 задержка равна целому числу (/т' — 1)/2 интервалов дискретизации Т. При этом процесс интерполяции в схеме рис. 7.7 соответствует варианту 1 интерполяционного процесса, описанного в 8/ 7.2, т, е. увеличение частоты дискретизации осуществляется в соответствии с математическим понятием интерполяции.
Нельзя, правда, забывать при этом, что мы пока рассматриваем «идеальный» фильтр с АЧХ, удовлетворяющей условию (7.8). Таким образом, при интерполяции сигнала схема рис. 7.7,а, содержащая КИХ-фильтр вида 1, сохраняет как вид модуля спекзра, так и форму исходного сигнала. Для КИХ-фильтров вида 2 (А' — чегиое) Тс=(А' — 1)/2 — нецелое число. Процесс интерполяции в этом случае соответствуег варианту 2 интериоляционного процесса, описанного в 8 7.2: схема рнс. 7.7,и, содержащая КИХ-фильтр вида 2, сохраняет как вид модуля сиекгра, так и форму исходного сигнала, однако отсчеты последнего не сохраняются.
Минимально-фазовые КИХ-фильтры обладают нелинейной ФЧХ <р (» ) = — Я (и ) 2яж. Процесс интерполяции соответсз вует варианту 3 (см. 8 7.2): сохраняется вид модуля спектра, но не сохраняегся форма входного сигнала. БИХ-фильтры обладают, как правило, нелинейной ФЧХ.: В случае использования БИХ-фильтра в схеме рис. 7.7,а также сохраняется вид модуля спектра, но не сохраняется форма исходного сигнала (см. 8 7.2, вариант 3). нсО нсз3 ~м2 н си с32 ец Рнс. 7.8 Итак, в реальных случаях интерполяции может подвергаться сигнал х (РТ'), спектр которого в основной полосе частот занимает частотный диапазон (О, / .„(, а частота дискретизации удовлетворяет условию /," > 2/„',„.
(7.14) Выполнение условия (7.14) позволяет иметь в фильтре переходную полосу конечной ширины. Вид модуля спектра такого сигнала на нормированной оси частот (» =Я,=//(Е/')) показан на рис. 7.8, а. Фильтр должен подавить «лишние» повторения спектра Х(утв) около частот г(1/Е), где г=1, 2, ..., Š— 1 (см., также (7,7) и рис. 7.7). Следовательно, его АЧХ должна удовлетворять требованиям: 7.5. ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРОВ В РЕАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ИНТЕРПОЛЯЦИИ В 8 7.4 рассмотрена «идеальная» система интерполяции дискретного сигнала, использующая «идеальиый» фильтр нижних частот с АЧХ, удовлетворяющей условию (7.8).
В действительности такой фильтр построить невозможно. Реальный фильтр должен иметь полосу расфильтровки, причем, естественно, желательно (для упрощения реализации), чтобы она была по, возможности шире. У реального фильтра АЧХ обязательно имеет конечную неравномерносгь в полосе проиускаиия АА и определенную, отличную от нуля, величину АЧХ в полосе задерживания АА,. Все это накладывает определенные ограничения на параметры схемы цифровой интерполяции сигналов. Кроме' того, перед разработчиком встает вопрос обоснованного выбора' параметров используемого фильтра (граничиых частот ж„„и и„„ АА„, АА,). 166 ( ) ! ( эы ) Е при»'н (О, н'пах~ г=1, 2, ..., (Е/2~, (7.1 5) где в,„=/"„,„//,', а (Е/2] — целая часть числа Е/2. Для четных Е последний частотный диапазон, в котором А (») = О, равен (0,5 — » .„; 0,5(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
