Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов (2-е изд., 1990) (1245704), страница 29
Текст из файла (страница 29)
— 1 отсчет). В цифровой обработке сигналов термин циптерполяция» имее несколько другой, гораздо более широкий смысл: под ип пгерполнцией понимается процесс цифровой обработки сигналов приводящий к формированию сигнала у(пТ) с повышенно" частотой дискретизации из сигнала х(цТ')=х(ц7.Т) с более низко частотой дискретизации при определенных ограничениях н временные и спектральные изменения исходного сигнала. Можно выделить три разновидности процесса интерполяци при ЦОС: )56 ! Г атяг)! у М ! к(яг) 2) вв и ! ат'с) Рис.
7.1 1) увеличение частоты дискретизации осуществляется в соответствии с математическим понятием интерполяции; 2) при увеличении частоты дискретизации исходные отсчеты дискретного сигнала х(цТ') оказываются утерянными, однако отсчеты выходного сигнала у(пТ) могут рассматриваться как отсчеты исходного аналогового сигнала х(7), из которого путем дискретизации с интервалом Т' образован йсходный дискретный сигнал х(цТ'). В этом случае форма огибающей сигналов х(цТ') и у(пТ) (и спектр) не изменяется; 3) увеличение частоты дискретизации приводит к изменению формы интерполируемого сигнала, однако модуль спектра не меняется.
Чтобы пояснить эти разновидности процесса интерполяции при ЦОС, рассмотрим схему, показанную на рис. 7.1. Входной аналоговый сигнал х(7) поступает на идеальный дискретизатор Д, работающий с интервалом дискретизации Т'=йТ (Ь вЂ” целое число). Выходной дискретный сигнал дискретизатора х(цТ'), с=О, 1, 2, ..., посгупает на идеальный иптерполятор ИИ, увеличивающий частоту дискретизации в целое число раз Е. Таким образом, сигнал у(пТ) можно рассматривать как результат дискретизации исходно~о аналогового сигнала х(!) с интервалом дискретизации Т=Т'/Т.. Выходной сигнал схемы у(пТ), п=О, 1, 2, ..., получается в результате преобразования выходного сигнала ИИ у(пТ) линейной дискретной системой Н, с частотной характеристикой: Н (Е)зяж) Š— зя ОП 2яч (7.1) Иными словами, амплитудно-частотная характеристика системы (Н ( ))=1 (з. е.
форма модуля спектра не изменяется). Рассмотрим для определенности работу этой идеальной схемы при конкретных параметрах: интервал дискретизации Т'=1/8 с (частота дискретизации /'=1/Т'=8Гц) А=2, входной аналоговый сигнал х(7)=яп2цугг+ып2к/зг (/г =1 Гц /э=2 Гц). На рис. 7.2,и и б показаны аналоговый сигнал х(7) и модуль его спектра ! Х(7') ), на рис. 7.2, в — дискретный сигнал х=(цТ') = =яп 2яци~', +ып 2яци з =яп(кц/4)+яп(яц/2) с частотой дискретизации /",= 1/ Т' = 8 Гц (гсг =/г//'; = 1/8, юз =/з// , '=2/8), на рис. 7 2, г- выходной дискретный сигнал ИИ у(пТ)=ып2кпиг+ + ып 2япжз = ып ~яп/8)+ ып (яп/4) с частотой дискретизации /„=Ц',=1/Т=1/Т'= !6 Гц (из=/г//,=1/16, из=/з//я=2/16).
!57 1 7 д) ж) Рис. 7.2 Вариант 1. Дискретная система Ня обладает линейной фазочастотной характеристикой. Это значит, что А(и) в (7.1) не, зависит от частоты (А(и)=сопя). Допустим, что А(и)=А,, причем Я, †цел число. Фазочастотная характеристика при этом имеет вид <р,(и)= — Я,2ки (линейно зависит от частоты). Возьмем для определенности Я, =4. Тогда выходной сигнал у(пТ) представляет собой сумму входных синусоидальных сос ставляющих, сдвинутых по фазе на величины — А,2ки, и — Я,2кв7. Следовательно, у(пТ) =яп кп/8 — -)+яп — — к . При' 2) (4 целом А, фазовый сдвиг соответствует задержке сигнала во временной области на целое число интервалов дискретизации,' равное Я, (см.
гл, 3). Таким образом отсчеты выходного сигнала у(пТ) равны отсчетам сигнала у(пТ), задержанным на интервал Я1Т, т. е. у(пТ)=у(пТ вЂ” Я,Т)=х17) при 7=пТ вЂ” Я,Т (рис. 7.2, д). Это значит, что совокупность ИИ и дискретной системы с частотной характеристикой Н (е'7"")=е ~х'""'(линейной фазовой характеристикой <р,(и)= — Я,2ки, причем Я, †цел) также можно рассматривать как идеальный интерполятор, увеличивающи" 158 частоту дискретизации в соответствии с математическим определением процесса интерполяции.
Вариант 2. Дискретная система Н обладает линейной фазочастотной характеристикой фз(и)= — Я72кж, причем Я,=сопя— нецелое число, Допустим для определенности, что Я, =3,5, Тогда выходной сигнал у(пТ) представляет собой сумму входных синусоидальных составляющих, сдвинутых по фазе на величины — А72ки, = — 7к/16 и — Я72киз= — 7к/8. Следовательно, у(пТ)= = яп (кп/8 — 7к/16)+ яп (кп14 — 7к/8) (рис.
7.2, е). Фазовый сдвиг гармонических составляющих на — Я,2ки (где Я7 — неправильная дробь) соответствует задержке сигнала во временной области на нецелое число интервалов дискретизации. Следовательно, отсчеты сигнала у(пТ) в этом случае не равны отсчетам сигнала у(пТ). Это в свою очередь означает, что отсчеты исходного сигнала х(чТ')=х(тЕТ), поступившего на вход интерполятора, оказались утерянными. Вместе с тем отсчеты сигнала у(пТ) можно рассматривать как результат идеальной дискретизации исходного аналогового сигнала х (7), взятого с задержкой 7, = Аз Т: у (пТ) = х (7) при 1=пТ вЂ” Я7Т.
Это хорошо видно из рис. 7.2,е: показанная штриховой линией огибающая сигнала у(пТ) совпадает по форме с исходным сигналом х(7). Следовательно, если наличие исходных значений интерполируемого сигнала х(чТ') не обязательно в выходном сигнале у(пТ), можно принять, что совокупность ИИ и дискретной системы с частотной характеристикой Н„(е 77"") = е 'е'"" (линейной фазовой характеристикой 1Р7(и)= — А72кя, причем Я,— неправильная дробь) также решает задачу интерполяции дискретного сигнала. Как и в первом варианте, модуль спектра сигнала у(пТ) совпадает в основной волосе частот с модулем спектра входного сигнала х(7) (см.
рис. 7.2, 6). Вариант 3. Дискретная система Н, обладает нелинейной ФЧХ тз (ь ) Яз (гк) 2ки~. Допустим, А, (й ~) = 4, 1 Аз (ив) = 2. Тогда выходной сигнал у(пТ) представляет собой сумму входной синусоидальной составляющей на частоте и „ сдвинутой по фазе на величину — Аз(и,)2ки, = — к/2, и составляющей на частоте в„ сдвинутой по фазе на величину — Яз(и,)2кик — — — к/2. Следовательно, у(пТ) = яп (кп/8 — к/2)+ яп (кп/4 — к/2) (рис.
7.2„ж). Из рис. 7.2, ж хорошо видно, что огибающая сигнала у(п Т) значительно отличается от сигнала х(7). Отсчеты сигнала у(пТ) не равны отсчетам сигнала у(пТ), равно как не являются отсчетами сигнала х(7). Вместе с тем модуль спектра сигнала у(пТ) в основной полосе частот по-прежнему имеет тот же вид, что и модуль спектра входного сигнала х(7), поскольку сигнал у(пТ) представляет собой сумму дискретных синусоид единичной амплитуды аа частотах я, и ив (см.
рис. 7.2, б). По дискретному 159 7.3. ЭКСПАНДЕР ЧАСТОТЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ Рис. 7.5 сигналу у(пТ) может быть восстановлен аналоговый сигнал х(г), модуль спектра которого совпадает с модулем спектра исходного сигггала х(г). Следовательно, для определенного класса сигналов в техник связи и радиотехнике, в котором фазовые соотношения между гармоническими составляющими на входе и выходе устройст обработки не играют роли (например, для речевых сигналов) можно приняп,, что совокупность ИИ и дискретной системь с частотной характерисгикой Н (е'г"")=е 'и'1"1-'и также осущест.
вляет интерполяцию дискрезнгого сигнала в системе увеличени частоты дискретизации сипгала при сохранении вида модул его спектра. Рассмотрим теперь частотную интерпретацию процесса ин герполяции цифрового сигнала с целочисленным коэффициенто 2.. Для эгого рассмотрим рис. 7.3, на котором изображень модуль спектра Х(7гв) исходного аналогового сигнала х(г (рис. 7.3,а); модуль спектра Х(е' ') дискретного сигнала х(»Т ) полученного путем лискретизации сигнала х(г) с частотой диск ретизации Т'„(рис. 7.3,6); модуль спектра Х(е'"') дискретног' сигнала х(пТ), полученного путем дискретизации тоге же сигнал х(г), но с частотой дискретизации 7,', в три раза большей, че частота 7'„'. (7",,=ЗГ',) (рис.
7.3,«). Спектр Х(егиг) периодичен с ча стотой лискретизации Т'„а спекзр Х(еьи ) перйодичен с частото Таким образом, отличие между этими спектрами состои в зом (ие считая амплитуды, о чем будет сказано ниже), чт в спекгрс Х(е' г) имеются «лншние» частотные составляющи (с центральными частотами Т,' и 2Т,'). Таким образом, проце повышения частогы дискретизации сигзгала х(згТ') эквиваленте преобразованию спектра сигнала оз вида рис. 7.3,б к виду 73,в т. е. полавлеиию «лишннх» частотных составляющих исходног спектра. Естественно, что здесь процесс интерполяции поясняетс в самом общем виде.
Более подробное рассмотрение буд проведено в ч 7.4. г«о Мы уже уяснили. что процесс интерполяции осуществляется путем цифровой фильтрации с целью подавления «лишних» составляющих спектра. Однако цифровой фильтр работает на определенной частоте дискретизации. Следовательно, перед цифровой фильтрацией сигнала необходимо осуществигь предваригельное увеличение частоты дискретизации исходного сигнала в нужное число раз 7..
Эзу операцию осуществляет экспаидер частоты дискретизации (ЭЧД). Условное изображение ЭЧД, осуществляющего предварительное увеличение частоты дискретизации в целое число раз 7, показано иа рис. 7.4. Входным сигналом ЭЧД является дискретный сигнал с интервалом дискретизации Т' (частотой дискретизации (,'), описываемый решетчазой функцией х(згТ'), «=О, 1, 2, ... Сигнал х(»Т') преобразуется ио алгоритму х — Т' прн гг=О, 7., 27, х (пТ)= О ири лругих и. (7.2) Таким образом формируегся выходной дискретный сигнал с интервалом дискретизации Т= Т77., в 2, раз меньшим исходного (частозой дискретизации 7»=17'7", в 7 раз больпгей исходной), описываемый решетчатой функцией х (пТ)=х (пТ'~7.), п=О, 1, '7, ... Из (7.2) видно, что последовательность х (пТ) получается из иослеловательности х(»Т') путем ввода 7 - ! нулевого отсчета между каждой парой отсчетов исходной последовательности.
На рис. 7.5 показаны последовагельности х(иТ') н х '(пТ) на входе и выходе ЭЧД ири увеличении частоты дискретизации в 7.=3. Перейдем теперь к вопросу о спектральных изменениях сигнала и ЭЧД. Запишем вначале выражения для з-преобразований х(иг) иг' и'Т»Т) пг Рис. 7 4 Рис. 7.5 ии Заказ 3574 ! г/е' Л [г'(е' Л Рис. 7.6 (7.3«) входной и выходной последовательностей: Х(г')= ',«х(тТ')(г') ', (7.3') «=О где г'=ехр(/вТ'), Х'(г)=,'( х'(иТ)г а=О где г=ехр(/вТ). ь Поскольку Т'=/.Т, очевидно, что г'=г . Преобразуем теперь (7 Зд), учтя, что х' (и Т) = О при и Ф О, 7.
22....: Х'(г)= ,'( х'Я.Т)г "'. (7 4 Едо ес ь, что 1.Т= Т', а г~=г' и, следовательно Если учесть, что г "=(г') ', то, сравнив (7.4) с (7.3'), получим Х'(г) = Х(г'). (7.5 Это означает, что г-преобразования входного и выходног сигналов ЭЧД тождественны. Соотношение для спектров входного и выходного сигнало ЭЧД можно получить из (7.5), если подставить г'=ехр(/вТ')— ж е/вы И г е/х Х (е/ит) Х(е/ихт) (7.6' или Х (Е/2«и) — Х(Е/2«си) (7.6« где ж=са/в,=вТ/(2л) — нормированная частота. Таким образом, выходной сигнал ЭЧД х'(иТ), форм руемый из входного сигнала х(РТ') по алгоритму (7.2), им же спектр что и входной сигнал.
На рис. 7.6 услов показаны модули спектров входного и выходного сигна лов ЭЧ при 7.=3. ' (62 Обратите внимание: спектр выходного сигнала периодичен со «старой» частотной дискретизацией в„'=2л/Т', а не с новой, увеличенной частотой в„= Т.в„' = 2л/Т, как это обычно имеет место для сигналов, интервал дискретизации которых равен Т. 7.4. УРАВНЕНИЯ И ПРИНЦИП РАБОТЫ ПРОСТЕЙШЕЙ СИСТЕМЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ (7.7) а) и«даа йв г и' « е 2 (/ггг/ йг йк б) Рис. 7.7 / и Простейшая схема повышения частоты дискретизации (интерполяции) дискретного сигнала в целое число раз (с целочисленным коэффициентом Т.) показана на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
