Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(4.3.1) 14 3.2) (4,3.3) Вместо уравнения (4.2.9) необходимо воспользоваться термодинамическим уравненйеч для энтропии недиссоциирующего совершенного газа'. ~~=й~~ — йр~рт. 6 — 707 ммчкл оКЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими рукамит1 Большой теоретический и практический интерес представляет задача о течении газа за скачком уплотнеиня в случае, если удельные теплоемкости (с„, с„) явлшотся постоянными величинами. Хотя такое течение считается частным (идеализированным) случаем движения газа, физико-химические свойства которого в большей или меньшей степени меняются прн переходе через скачок, тем не менее найденные результаты решения этой задачи дают возможность представить общую ка ч ест венную картину скачкообразного перехода. Получаемые при этом в явной форме зависимости, характеризующие изменение параметров газа прп переходе через скачок, могут использоваться также для приближенной кол и ч е ст в е н н о й о11енки этих параыстров, когда рассматривается более общий случай переменных теплоемкостей.
Наконед, рассматриваемая задача имеет и самостоятельное значенис, так как ее решение применимо непосредственно для определения параметров 1аза за скачком уплотнения, возникающим в потоке со сравнительно небольшими свсрхзвуковыии скоростяыи, при которых изменение удельных теплоемкостей в сжатом газе пренебрежимо мало. Этн скорости, определяемые для наиболее интенсивного — прямого— скачка уплотнения, соответствуют примерно числам М <3 —:4.
ф Имея в виду равенства сй=с НТ и НР=ИЯрТ)=црйТ+ррд~- получим „! СЫ: срг1 1л Г ЦЙ 1и Т - Кс~ 1и -1 Но с — Я=с и Я/с =(с — с ) с =А — 1. Следовательно, д'5 = с [Ы 1п Т вЂ” (й — 1) с~ 1и о[ Интегрируя это уравнение при А=сапь1, найдем Я=С 1п(Т/р' 1)+Сапэ1. (4.3.4) Заменив здесь Т значением из уравнения состояния Р=ЯрТ, найдем," Т/;.~1 =- РЦ1 К) и 1и [р/(р"~) [ ==1п (р/о~) — 1п/~.
Включая в правой части (4.3.4) в значение константы величину 1п Я, получим зависимость для энтропия в следующем вид . Я= с 1п(р/р~)+сопят. (4.3.о) Относя это уравнение к условиям до скачка и эа ним, а затем определяя разность энтропий, получим вместо (4.2.9) уравнение для ~ энтропии, используемое в теории косого скачка уплотнения, ~2 ~1 Со 1п [(Р2/Р1) (Р1/Р2)1 (4,3.6) ' С тачнастыа до постоянной энтропию эа скачком можно определять яо выражению ~.= .1 (Р/Р2)- (4,3.7) Уравнение состояния 14 2.7) в рассматриваемом случае постоянных теплаемкастей упрощается; р — р =~г(р Т вЂ” рД), (4.3.8) .
Что касается уравнений системы (4.2.2) —:(4.2.6), то ани сохраняются. о Фермуяы дм расчета нараметрюв газа за скачком уплотненная Для расчета плотности, давления и энтальпии необходимо воспользоваться соответственно формулами (4.2.13), 14.2.15) и (4.2.16),; а для анведеления температуры — уравнением (4.2.17'), в которой' следует принять рорт= н,р1. Т,/Т, =(1+ ИИ'.1 Ь71„Ц1 — ДГ„). (4.3.9) \: Ва всех этих выражениях неизвестной величиной является измене.-.'; ние относительной скорости ЬГ . Определим эту величину, предпо' лагая, что угол наклона скачка О, и число Маха набегающего п ка М> известны С этой целью воспользуемся уравнением (4.2.4,') разделив которое на р1У„1=р~У 1 получим Р2/(Р2~ м2) Р1/(Р1/~ л1) ~ л) ~ лЗ Ц~ ммчкл оКЬ-1алрь.гп — Сжаолет своими~фкаиит1 + ° л1а»лг(~ л1 а л2) — а' а1а»л2 (Р л1 — а' Л2)' 2« Исключая отсюда тривиальное решение Ь'„1 — У„г-— !1, соответствук щее случаю отсутствия скачка уплотнения, получим уравнение (4.3.10) « + 1 которое служит для определения скорости после скачка уплотнения.
Уравнение (4.3.!0) называется основным ур а в пением косого скачка уплотнения Иэ этого уравнения можно найти относительное изменение скорости ЛГ = ($~~! — $"„2) /$ „1. Для ЭТОГО ПрЕдСтаВИМ Ул1Ф'„2 В ВндЕ Уо1$" 2= !»г 1(1» 2/К,1) И ВОСПОЛЬ- эуемся соотношениями У ! — — У1 ип О,, Р,=У! соа 0 После соответствующих подстановок в (4.3ЛО) получим — 1 « — 1 афпг Ва (1 — д$/л) = — — — (1 — э! п26,), «+1 где Ь=У1/ю*. Заменяя Х1 по формуле (З.б.23) и производя преоб- раэования, найдем (4,3, 11) Введем обозначение (4.3.
12) ~ =И вЂ” 1)Л~+ 1) с Учетам которого формула (4.3.11) примет вид 1у (1 ц ~1 1/(~дг 1пг ц )11 (4.3. 11') 1!одставляя эту величину в (4.2.13), можно определить отношение плотностей. багга., гя 1(1 2+щи'в;пго ) (4.З.1З) 11ля определения отчошення давлений рг/р1 воспольэуемся формуЛОй (4.2.15). ПрнМЕМ В НЕй Я 1=Я1а1Н8„ВМЕСтО Л!»„ПОдетаВИМ соотношение (4.3Л!'), а величину А заменим в соответствии с $а !И. ммчкл оКЬ-1алрь.гп — Самолет своими рукниит! заменяя здесь рг/р2 и р1/р1 соответственно на а1 /А и пг'ф и испольэуя уравнение (3.6.2!) для скорости звука, найдем 1 Я+ 1 аг « — 1 гъ ! Я вЂ” ! аг « — 1 2~ — й '»2/ ~, П а1/ ~ Л1 ~ Л2- ЛКа ~ 2 ( ° .~ 2 ПОдетаВЛяя Пада аНаЧЕНИя $»2= 1»лг+ Ь'.
И Ь'1=К,1+ Ъ», И 2 2 2 2 2 2 умножая обе части равенства на В' 11»„2, после несложных преобразований получим «+1 . «-1 г а ($»л1 — Ь'лг) — — Г, (1»л1 — Ъ'лг)+ (4.3.12) значением й=(1т~)/(1 — ~)- (4.3.14)' В результате получим параметр Ы~.=(1т~) л11 з'" 9 (4.3.1,5) которым характеризуют и и т е н с и в н а с т ь с к а ч к а. Для этой цели используют также отношение (р~ — р~)/р, = лр/р~ — — (1+1) (Я1 мп~Ос — 1) (4.3.15') ' Прн помощи формулы (4.3.15') мо кно получить еще один параметр, характеризующий интенсивность скачка, а именно коэффициент . давления р~= (рг — р1)/дь где д~ — — [(1+6)/(1 — 6))р>Я12/2. Вычитаяиз левой и правой частей (4.315') по единице и относя полученное— выражение к величине дь найдем р.,— ~" (1 — Ц/ЙЦ (Я~ з1~Р 6, — 1).
(4.3. 15") Исключая нз уравиенчй (4.3.15) и (4.3ЛЗ) величину МР з1п'0~, най- " дем зависимость между отношениями давлений и плотностей —,~ уравнение Гюганио; Р2/Р1 ( РЗ Р$ ~)/( 1 ~,'2/Р1) (4.3. 13') .' Эта зависимость называется также ударной. адиа батай, ко-- торая в отличие от обычного уравнения адиабаты (изэнтропы) видар=Ар~ определяет изменение параметров при переходе через удар-.
ную волну. Этот процесс перехода сопровождается повышением энтропии, определяемым из уравнения (4,3 6). Таким образом, процесс прохождения газа через скачок уплот-,' нения является нензэнтропи чески м. В соответствии с изменением указанных параметров будет возрастать температура за'., скачком уплотнения. Ее величина вычисляется цо уравнению со-- стояния: > т ~ $(1+Цм~~яп29 — Ц(1 — в+ьм~~яп2 В 1 т, р, р, м1 а!П2 ес Особый внд перехода через скачок уплотнения, отличающийся от изэнтропическаго, проявляется в различном характеое измене=, ния параметров газа.
Из (4.3 15) н (4 3.16) следует, что при М,-~- давление и температура безгранично возрастают В то же время (4.3.13) вытекает, что при том же условии М> — э-оо плотность стр мнтся к некоторомупредельному значению, равном~ (рх/р1)м, =ф = Ц6. При 1=1,4 это дает значение 1/6=6. Из формулы р=-Лр" нд Т=Вр~ — ' (А н  — некоторые постоянные) следует, что в нзэнтрф иическом процессе безграничному увеличению давления соответс~ вует бесконечное возрастание плотности и температуры. Из срав~1$ иия можно сделать вывод, чта прн одинаковом изменении дввленФ при протекании ударного н нзэнтропического процессов первый Ф мм а л о$сЬ-1алрь.гп — Самолет сво них сопровождается более сильным разогревом газа, что и способствует некоторому снижению плотности.
Формула (4 3,16) определяет отношение квадратов скоростей звука в соответствии с зависимостью аг,Ъ~ = Тг/Т,. Используя эту зависимость, а также (4.2ЛЗ'), можно опрсделить число Мг за скачком уплотнения. Подставив в (4.2.ФЗ') выражение (4.2.21) для ЛГ„, найдем Кгг/~' =со" а.+(Р1/Рг1г -"пг 0 (4 3.18) Разделив друг на друга левые и правые части (43.18) и (4.3,17), получим зависимость для отношения квадратов чисел Маха: Иг/Я~=(Т,/Тг)1созгб,+(Р,/Рг)гоп'6,.~, [4 3.19) где Т1/Тг и р>/рг находятся соответственно из формул (4.3.16), (4.3.13).
В несколько ином виде формулу для расчета Яг можно получить при помощи уравнения импульсов (42.4"). Напишем это уравнение в такой форме: Р1 ~1 ( ~~ р~~ г61 + Ь 1~~ ~~(а у Рг ~ Р~ / Рг Учитывая, что Ар/р=~(1+о)/(1 — оф/р, и определяя рг1р1 по урав- нению Гюгонно (4.3.13'), получим ~(0г!Р!) 1+а г ° г 1+0 г В~Р1 — а 1+ — 1~1 ~~~'Ос =1+ — Ягя1п'А — ~с) ~ — а 1 — В Определим давление торможения для условий течения за скачком у«лотнсния. Рассматривая течения газа за скачком и до него взз«тропическими, можно написать термодинамические соотноше. ния: Рг/Рг =Ра/Ра МР~ =Ра/Рам где Ра н ра'.
ра и ра' — соответственно давление и плотность тормо- жения и областях потока до и после скачка. Из этих соотношений находим коэффициент восстановления давления в скачке- ~а=ро/Ра=(рг'Р )(Р,/Рг) (Р4Ра)- Ю ммчкл о$Ф-1алрь.гп — Сжаолет своими руками?1 После замены величины Я,г з1пг 8„найденной иэ (4 313), придем к соотношению )дг з;пг(~) ц (1 ь) (Р /Р, Ь)-'.
(4.3.19') Рассмотрим линию тока н две точки на ней, одна иэ которых Расположена до скачка, а другая — позади него (в общем случае иа некотором удалении ат фронта скачки) Пусть скорость в этих точках одинакова и равна К Как следует нз (3626), давления в рассматриваемых точках до скачка н позади него будут соответст- венно р<'~ — ро (1 — К~/К~~, ) И" н р1~~=р'(! — К~/Ъ~„„х) Угол наклона косого сначиа уппотненпи Параметры за касым скачком уплотнения определяются не талька числам ЛФь но и углом О, наклона скачка Его величину, определяемую тем же числом Я1 и углам отклонения потока Ро, можно вычислить, используя уравнение (4 2.!9).
Заменив в нем величину ЬГ значением из (4.2.2Ц, получим расчетную зависимость: Ф в,/й~(8. — з,Ф=р,~р,. 'Определяя р,/рт из (4.3!3), находим 1~» 111~~а га 1К(~с — ~с) 1 — В+ ЬМ~~ а1п~6, (4.3.25) ммчкл оКЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими рукамит1 Из выражения (3.6Л5) следует, что так как ро/ро — — ро/ро, то значения максимальной скорости одинаковы, т. е. 1яох1= $зпакг=Ушат. Таким образом, в обеих формулах для р1'1 и р1~1 величины в скобках одинаковы, Поэтому, в связи с тем что ро'<ро, давление перед скачкам р1'1 будет болыие, чем давление р1'1 позади него. В этом проявляются потери статического давления.
При выяснении физической природы этих потерь нельзя рассъ1атривать скачок как поверхность разрыва; следует учитывать, чта реальный процесс сжатия происходит в слое малой толщины порядка среднего пути свободного пробега молекул газа, Именно такой процесс перехода через скачок возможен, так как физически нереально наличие двух соприкасаю1цихся областей с конечной разностью температур, давлений н плотностей, что является лишь м а тематической абстракцией. Процесс перехода через скачок малой толщины характеризуется настолько большими градиентами скорости н температуры, что в областях сжатия станет весьма существенным влияние т р ен и я и т е и л а п р о в о д н о с т и. Отсюда следует, что необратимые потери кинетической энергии газа при переходе через скачок связаны с Работой сил трения, а также теплонроводностью.
Действие этих диссипативных снл, а также теплопередача внутри зоны сжатия вызывают у в ел и ч ен и е э н т р о и и и и обусловленное этим снижение статического давления в потоке за скачком па сравнению с нзэнтропнческим процессам сжатия. С другой стороны, эта зависимость позволяет найти угол Р, откло-' нения пстока за скачком во известному его наклону, На рис. 4 ЗЛ представлена графически связь между углами Нс и Р. для различных значений числа И>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
