Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Однако, как показывают теоретические и экспериментальные исследования, толщина скачка весьма мала и имеет порядок длины свободного пробега молекул. Поэтому Орн изучении скачка в идеальной среде можно пренебречь этой толщиной и представить скачок в виде геометрической поверхности разрыва для параметров газа, полагая, что изменение этих параметров происходит м гновеино. Задача о скачке унлатнения заключается в определении неизвестных параметров газа за ним по заданным параметрам, характеризующим движение газа перед скачком.
Для косого скачка уплотнения, возникающего в диссоциирующем и ионизирующем газе, неизвестных параметров девять: давление рр, платность рь температура Ть скорость $~р, энтальпия 6, энтропия Б~ скорость звука а2, средний молекулярный вес роро угол наклона скачка 9, (или угол отклонения патока Д~).
Следовательно, необходимо составить систему из девяти уравнений. Известными в этих уравнениях будут параметры до скачка уплотнения: давление рь плотность рь скорость 1l~ и т д. Вместо скорости ~'р после скачка можно определить ее составляющие по нормали $' э и по касательной к скачку $~,~.
При этом число необходимых уравнений увеличится до десяти Эта система уравнений будет включать основные уравнения газодинамики (движения, неразрывности, энергии и состояния), ряд кннематнческих соотношений для скоростей, а также термодинамических зависимостей, характеризующих свойства газа. Рассмотрим каждое уравнение этой системы. На рис, 4.2.1, где показаны треугольники скоростей потока до скачка (параметры с индексам «$») и после него (параметры с индексом «2»), можно определить следующие соотношения для указанных составляющих: иую поверхность скачка в единицу времени: Рй!' л! = Ра~ юае (4.2.3)' здесь нормальная составляющая скорости до скачка Р„!= $~! э!и 6 (рис.
4 2.)). Воспользуемся уравнением движения, записанным в форме урав нения количества движения для условий перехода через скачок Яииия скачка уялохиивя Рис, 4.2.!. Схема косого скачка уплотнения уплотнения, Это уравнение, которое и будет третьим уравнением системы, получим, приравняв импульсу сил давления изменение количества движения жидкости, протекающей за единицу времени через единичную поверхность скачка в направлении нормали к этой поверхности: 2 2 Р!Ка! Ра~ а2=Р2 Р! (4 2.4) Имея в виду равенство (4.2.3), это уравнение напишем в виде РУ.,($'.! — $l,.) =Ра — Р! ° (4.2.4') Уравнение (4.2.4) можно представить также в форме Р!+ Р!!' а! = Ра+ Рх"'~а- (4.2.4") В такой форме уравнение выражает закон сохранения импульса при переходе через скачок уплотнения Если рассматривать изменение количества движения в направлении касательчой к поверхности скачка, то, учитывая, что градиент давления в этом направлении равен нулю, получим следующую зависимость.
Р1$ ~ 1У ! Р2$~ ау 2 — О откуда, в связи с тем что р! $l„! — — ра$~„х, мяча о$Ф-1алрь.гп — Сжаолет своими рукниит! $~-! = 1~-ь (4.2.5) „ ! Это четвертое уравнение системы, которое указывает на то, что ': касательные составляющие скорости при переходе через скачок ие, меняются. Из рис. 4.2Л видно, что !;!=1~! соз О„следовательно, (4.2.5') (4.2.6) Комбинируя уравнения состояния для условий до и после скачка, получим соотношение Рг Р, ЙгогТг Й1 о,Т1 нлн, учитывая, что Р=й/11,р, Рг Р1 =Ко (РгТгй~ца р Р ~Л~суь)- (4.2. У) Четыре уравнения рассматриваемой системы, позволяющие определять энтальпию, энтропию, средний молекулярный вес и скорость звука в днссоциирующем газе, представим в виде общих зависимостей этих параметров от давления и температуры: ег — Л(РгФ Тг)~ с =Л(Р Тг)~ Р~рг =~ц (Рг| Тг)у ~1г У4 (Рг ° "1 г) Эти функции аналитически не выражаются в явном виде и определяются путем экспериментальных исследований или при помощи довольно сложных расчетов, основанных на решении соответствую- 1цИХ тЕрМОдниаМИЧЕСкИХ ураВНЕНнй.
ЗаВНСИМОСтИ дЛя ухаааНИЫХ функций обычно строятся в виде графиков, а их значения табулируются в специальчых таблицах термодинамических функций воздуха при высоких температурах (см. 16, 18, 19]). Выразим основные параметры за ударной валкой через атносптельное изменение нормальных составляющих скорости, т. е. через величину (4.2,12) (4.2.13) (4.2.14) 157 ъкячкл оИ>-1алрь.гп — Сжаолет своими рукями71 (4.2.5) можно написать в форме У,г=Ь', соэ6,=$' ~/1~6,.
Уравнение сохранения энергии напишем в таком виде: 11+ ~'1Д =Юг+ $"г/2. Прн условии, что г г г г г г У Уат+У-.ь УЯ=К г+У и У =В . это уравнение мажет быть несколько преобразовано: 1~+ Ь'п1/2=юг+ У а~2 дГ.=ьь'„1ь'„, =(~ ., — У. )Л~.- Из (4.2 3) находим отношение плотностей: 1Л1 ьР ) а Из (4 2.4') — отношение давлений Рг~Р~ = 1+(РРл1/А) Ь1'а- (4.2.8) (4.2.9) (4.2.10) (4.2.1 1) Относительное изменение скорости АУ„ определяется в соответствии с (4,2.13) безразыериой плотностью: ~Г.=1 — М2- Из этого следует, что отношения давлении, температур и энтальпий, а также угол отклонения ~,, могуч быть представлены как функции относительной плотности рг/рь Кроме того, вместо величин Ъ' 1 и М ~ в формулы можно ввести соответственно значения р' 1= =" т а~п Оо и Мв1=Мд а1п 6с.
Таким образом, решение задачи о косам скачке уплотнения при известном угле его наклона О, сводится к отысканию отношения плотностей р2/рь или, что то же самое, к определению функции ЛУ . Определение этой функции ведется с помощью соотношений 14.2.16) и (4.2.17'), каждое из которых можно переписать в виде квадратного уравнения относительно АУ . Из первого квадратного уравнения найдем (4.2.22) (4.2.23) н из второго д+фГ у д где Д,М„', — 1 1 Т2 .р1 А=, 8= —.— — 1 .
(4.2.24) 2й1И„~ й1ИЛ1 1 Рср2 2 ' в Т Решение этого уравнения дает фа д~ р а1'ои + 1 а М ~с Д1,2 с 2 „Р 4 (1 ~~ )~ 1 Р (4.2,25) Одно из решений (знак плюс перед корнем) определяет большее значение угла О„реализуемое в отсоединенном криволинейном ~качке уплотнения, другое (зиак минус) — меньшую величину, реализуемую в присоединенном скачке с более слабой интенсивностью.
вмяв оИ>-1алрь.гп — Самолет своими рукамит1 Знаки перед квадратиыыи корнями — минус в (4.2.22) и плюс в (4.2.23) — выбраны из условия, что за скачком скорость всегда меньше, чем да него, и, следовательно, должно быть ЬР ~1. При этом знак плюс в (4.2.23) учитывает также, что физически реальным из двух значений ЬГ„(1 будет большее. Уравнения (4.2.22) и (4.2.23) решаются методом последовательных приближений. Задача о косом скачке может решаться при условии задания угла р,. При этом расчет угла О, ведется при помощи соотношения (4.2.20), в соответствии с которым 1а Вс Ит„ 1 1К~6,— —. —" — + — 0 !В Рс 1 — аЬ'л 1 — Йл Для удобства расчетов можно заранее вычислить углы 8, по заданным величинам Д,, составить соответствующую таблицу или построить график.
Тогда с их помощью для какого-либо значения Л»', которому соответствуют ранее вычисленные величины отношений р~!р», р~!р» и др., можно по одному из известных углов, О, или ро, найти другой. Вычисление скорости ~l» и числа М» набегающего потока, при которых реализуются параметры в скачке с заданныыи значениями угла Оо (или р,), а также Р„» (или М»), ведется прн помощи фор- мул У, = Ь'„»/з»п 6„М, =М,»/з»п 6,. Прямей скачек уимтнания Формулы для расчета прямого скачка могут быть получены нз приведенных выше соотношений для косого скачка, если принять О,=л/2 и р,=О. И соответствии с этим скорость $~ »- — $'», а число М„» —— Мь Такны образом, в приведенных выше соотношениях при переходе к прямому скачку уплотнения следует формально отбросить индексы «и».
Тогда основные зависимости примут следующий вид: р !р,=1+~,М ~Р; Цг»= 1+(1"1/2) (ЬГ/г,) (2 — ЬУ); т;!т, = (1+~,М'Ю)(1 — ~Р) (р„,/р.„,); 1~"а!1~'» = 1 — ЬЪ' (2 — Ь"'), (4.2.27) (4.2.28) (4.2.29) (4.2.3О) где изменение относительной скорости ~Г= ~»у/к, =-(у, — у,),Ф', определяется при помощи соотношений (4.2.22) —: (4.2,24): (4.2.31) Ы~= $ — $ 1 — 2(~,— ~',)/Г1, (4.2.32) ' ьГ=А+7 А' — В, (4.2.33) в которых 2Ф»И» Й»И~~ ~ 1 РсР2 »»чтил оИ»-1алрЬ.г»» — Самолет своими руками Связь ЛГ с относительной плотностью определяется формулой ь~'=1 — р»!р.- (4.2.35) .
Таковы общие соотношения для скачков уплотнения Теперь ~ проанализируем при помощи этих соотношений характер движения .' и рассмотрим ыетоды расчета параметров газа за скачками уплот- . 16О нения в случае постоянных тепл осы костей, а затем остановимся подробнее на практических способах вычисления анало- 1ИЧнЫХ Параыстрпв дЛя диССОциируЮщгй СрсдЫ, т. Е В бОЛЕЕ ОбщЕЫ случае переменных теплое м костей. й ад. КОСОИ СКЛЧОК МПИОтНИННЯ В ПютОКИ ГЬМ с постоянными типлоимкостямы Снетема уравненмй Рассматриваемый далее метод расчета косого скачка уплотне.
пня основан на применении системы уравнений, которая является :агтныы случаем системы (4.2.2) —:(4.2 11). Если при переходе через скачок уплотнения теплоемкости не меняются, то следует также принять, что средний ыолекулярный вес остается постоянным, а скорость звука и энтальпня зависят только от температуры, В соответствии с этны уравнения (4.2.8), 14.2.1О) и (4.2.11) примут следующий вид, 1,=С Т~; р,,= р „„=р, = сопИ; ~т2 — ~Ж~ 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
