Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Согласно экспериментальным данным частицы газа как бы прилипают к поверхности и, следовательно, скорость Иа НЕЙ равна НУЛЮ. На ВНЕШНЕЙ ГраНИцЕ СКараСтЬ будЕ1~ таКОй, Каи в свободном 1невязком) патоке, а напряжение трения равна нулю. С учетом сказанного уравнение (3 4.2) напишем в следующем виде: д рай(р/д~+ цгиа (Ь'2/2)= — цгада — втаб Р. Заменив производную д вагаб ~р/д1 величиной ртам (д~р/д1), получим вагаб (ду/Ф)+ ятаб ($1'/2) = — угад ~У вЂ” угад Р. (3.4.3) Переходя от зависимости для градиентов к соотнощению между соответствующими скалярными функцнямн, найдем др/д1+ М2/2+Р+Б=С (ф), =~ дФр.
(3.4.4) (3.4.5) к где ммчй л оКЬ-1алрь.гп — Самолет своими рукаыи7! Уравнение (3.4.4) называется уравнением нлн ннтегр алом Л а г р а н ж а. Правая часть (3.4.4) представляет собой . функцию„которая з а в и с и т от в р е и е н н, на не зависит от ко-, ординат, т. е. является одинаковой для любой точки р потенциального потока. Члены в левой части (3.4.4) имеют простой физический смысл: $~92 — кинетическая энергия; Р= = ~ ~р/р — потенциальная энергии от давлении для единицы массы; С вЂ” потенциальная энергия положения частиц жидкости, отнесенная к их массе. Чтобы выяснить физический смысл первого, члена, воспользуемся зависимостью для потенциальной функции д~р/да= Р' где К, — проекция вектора скорости на некоторое на- . правление з.
Функцию ~р можем определить из условия р= ~ Ь',Из ло (где зо н я — коордлнаты соответственно фиксированной и произвольной точек). Пронавоннан др(й=~(др',!дт)Шн. Локальное до ускорение д$',/д1 можно рассматривать как проекцию инерционной силы, обусловленной наличием местного ускорения и отнесенной к единице массы, а произведение (д$',/д1)Из — как работу этой силы на участке дз. В соответствии с этим производная д~р/д1 равна работе инерционной силы на участке между точками зо н з н может рассматриваться как энергия единицы массы, обусловленная изменением во времени в данной точке скорости и связанного с ним давления. С учетом сказанного выражение в левой части (3.4.4) представляет собой полную энергию единицы массы газа.
Таким образом, уравнение Лагранжа устанавливает тот факт, что в потенциальном потоке полная энергия единицы массы в д анны й м о м е н т времени есть величина, одинаковая для всех точек потока Для несжимаемой жидкости, движение которой происходит пад действием снл давления н веса, интеграл (344) примет внд д~/а+~'/2+~/ай+и=С Д. (3.4.6) :, ясли, в частности, ось у направлена вертикально вверх, то У=щ и др~д~+М)Ь+ р)р+цу=С Я. (3.4.б'~ Большое практическое значение имеет частный случай установившегося потенциального течения, для которого Йр/дг=О, а функция С(8) =сопэ1, т.
е. ие зависит ат времени. В этом случае уравнение (3.44) приводятся к виду (/2/2+~Ир/р+(/=СОпг(. ~3.4.7) Этот частный вид уравнения Лагранжа называется у р а в н е н не м Э й л е р а. Оно выражает закономерность, в соответствии с которой прн потенциальном установившемся движении газа п ол и а я энергия единицы массы является величиной постоянной для всех точек потока Таким образом, константна в уравнении Эйлера будет не только одинаковой для всей области потока, но в отличие от функции Сф интеграла Лагранжа не зависящей от времени. Уравнение Эйлера для несжимаемой жидкости (р=сопз1) будет по форме таким, как (3.4.7), с той разницей, чта вместо ~ др/р и него войдет отношение фр.
Рассмотрим более общий случай н е п о т е н ц и а л ь н о г о с т ационарного движения газа, Уравнение этого движения имеет внд ~гМ ~Ь"/2)+ го$Г Х 1г" = — ргали Р— ~гад 1У, (3.4.8] или афтаб ((/'/2+~ Шр/р+С//= — го( (7 ~ Ь'. ~3 4.8') Правая часть ~3.4.8') равна нулю, если векторы го1 Р и Р парал- лельны, т. е. при условии, что вихревая линия н линии тока совпа- дают. В этом случае м/в/в л оИ>-1алрь.гп — Самолет своими рукамит1 Это ~равнение впервые получил И. С Грамека. Иостояииая С~ будЕт ОдНОй И тай ж Е дЛ я ВСЕЙ Об Ла Стн, ГдЕ ВЫ11аЛ- няется условие совпадения вихревых линий и лнн в Й '1 о ка.
Такие области, для изучения которых применяется уравнение Громека, возникают, например, при обтекании крыльев конечного размаха. Это обтекание характеризуется образованием вихрей, практически совпадающих вблизи крыла по направлению с ливнями тока. Однако подобные области не всегда имеются в потоке Обычна течение характеризуется наличием вихревых линий и линий тока, не сов и ада ющих друг с другом.
При этом семейства вихревых линий дается уравнением (2.6.1), а семейство 5 — 707 129 линий така (траекторий) — уравнением (2.1.6). Рассматриваемое течение описывается уравнением ~3 4.8') Возьмем вектор дуги в виде и8=сЫ+иу~+ИЫ, принадлежащей линии тока нли вихревой линни, н определим скалярное произведение: Левая часть в этом уравнении представляет собой полный диффе- ренциал трехчлена в круглых скобках. Следовательно, Ш(Г /2+) ШрФ+~У)= — — дв(гоЮХ Р). (34.10) Векторное произведение го$17ХК представляет собой вектор, перпендикулярный векторам го$ Р и Г.
Скалярное произведение этого вектора н вектора Йз будет равна нулю в двух случаях: когда век- . тор аг совпадает с н апр а в лен я ем л н н нн тока 1тр аектории) или когда этот вектор совпадает с н а п р а в л е н и е м в н х р я В этих двух случаях действительно решение уравнения движения Г92+) др)р+~1=С„ 13.4. 11)- з у мм и л оКЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими рукамит1 где константа Са будет различной в зависимости от тога, к а ка я рассматривается траектория нли вихревая ли- * н ни. Соотношение (3.4.11) называется у р а в н е н и е и Б е р н у л л н. Очевидно, для различных вихревых линий, проходящих через точки, расположенные на двиной линии тока, константа будет такой же, как для линии тока.
Точно так же одинаковые константы будут для семейства линий тока (траекторий) и вихря, через точки которого проходит линия тока. Следует отчетлива уяснить различие рассмотренных уравнений Громека н Бернулли. Оба они выведены для вихревого ~непотенциальиого) течения, однако первое уравнение отражает факт посто-- янства полной энергии единицы массы газа во всей обл аст и, ' где ви.хревые линии и линии тока совпадают, а второе уравнение устанавливает закономерность, в соответствии с которой постоянство этой энергии имеет место вдоль данной линни тока нли в и х р е в ой л и н и н.
В соответствии с этим в уравнении Громека константа будет одинаковой для всей рассматриваемой области потока, а в уравнении Бернулли она относится к данной линни тока .'- илн вихревой ликии. Естественко, в общем случае абе константы, С~ и С2, неодинаковы. Из сказанного также вытекает различие, с'- одной стороны, между этими уравнениями и, с другой стороны,:.
уравнениями Лагранжа и Эйлера, относящимися соответственно е неустановившемуся и установившемуся безвнх-'-' р е в о му (потенциальном у) об те к а н и ю, а также между каждым из рассмотренных уравнений. При исследовании течения жидкосгн или газа наиболее широко применяется уравнение Бернулли, отнссенное к условиям иа линия~ тока (траекториях). Известно, что константа С2 этого уравнения 13.4.11) определяется для каждой рассматриваемой линни тока, ~.слп же ~становившееся течение вдобавок безвихревое (потенциальное), то уравнение Бернулли совпадает с уравнением Эйлера и, следовательно, константна будет одинаковой для всех линий тока, т. с.
для всей области потока Рассмотрим некоторые конкретные формы уравнения Бернулли. Для несжимаемой жидкости и при условии, что функция 0=ду, это ~ р а анен не запишется в фор ме (3.4.12) При исследовании движения газа можно пренебречь влияннсм асса. Следовательно, в уравнении (3.4.11) и других интегралах следует принять 0=0. В частности, вместо (3.4.12) напишем (3.4.13) Рассмотрим дви кение идеального сжимаемого газа, В таком газе отсутствуют процессы передачи тепла, обусловленные свойством вязкости (теплопроводность, диффузия). Приняв также, что газ не излучает энергию, будем иметь дело с адиабатическим (изэптропическим) движением газа. Из уравнения энергии (3.2.14) слсдует, что для такого невязкого газа при отсутствии излучения (а= О) имеет место равенство (3.3.1).
Следовательно, интеграл Бернулли 13 4.14) РЕЮ+ ~ 13.4. 151 Следовательно, Ф'-', Ф Р вЂ” + — С, 2 А †! Р 13 4. 16) или уг КТ =С. 2 А — 1 13.4. 16') Уравнение Бернулл~ для идеального сжимаемого газа является теоретической основой исследований закономерностей изэнтропиче- ских течений газообразной среды.
Р ммчкл оИ>-1алрь.гп — Самолет своими руками В такой форме интеграл Бернулли представляет собой уравнение энергии для иээптропического течения Согласно этому уравнению сумма кинетической энергии н энтальпии частицы газа является величиной постоянной Полагая ~=с„Т=с,р/(рР), а с~ — с;=Р и ~г=с,/с,-, найдем $3.$.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
