Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 21
Текст из файла (страница 21)
На заднюю грань действует сила — с„4'Ыу, а на переднюю [т,„+ + (дт /дх) с1г1йхтУу Равнодействующая этих сил равна абдт,/дя)йхЫусЫ Аналогично получим равнодействующую сил, действующих на нижнюю и верхнюю грани, которая будет равна (,дтпл„(ду) Ихой~, $00 Таким образам, проекция на ось х поверхностной силы, отнесен=';иай к единице объема, (3.1.4) Диалогична получим проекции на другие координатные оси поверхностной силы, отнесенной к единице объема Ру —— дт „|Ьх+ др„„~ду+д~„дл; Р.=дт„/дх+ Ь„'ду+др„,д .
(3.1А') Касательные напряжения, действующие по ортогональным граням, равны между собак, т. е т, =т „т,„=т„. и т„„=т „. Эта можно доказать, если составить уравнения моментов действующих на частицу сил относительна осей, перпендикулярных граням и проходящих через центр параллелепипеда. Например, уравнение моментов сил относительно оси, перпендикулярнои передней и задней граням, будет следующим — т„йжИ (йу/2) — ~т„+(дт,.„/ду) йу] йхйл (йу/2)+ +с„фут(йх/2)+~к +(дк„„/дх) йх) йуйх(йх/2) =дМ„ где ЛМ, — момент инерционной силы при относительном движении элемента около этой аси; в уравнение не входят моменты от сил тяжести и нормальных составляющих поверхностных сил, так как считается, что равнодействующие этих сил проходят через центр параллелепипеда. Заметим, что инерционная сила по своей природе является объемной силой, пропорциональной элементарному объему т=Йхйуйх, и будет, следовательно, величиной третьего порядка малости.
Поэтому инерционный момент, полученный от умножения этой силы на бесконечна малое плечо, оказывается величиной четвертого порядка малости, вследствие чего им можно пренебречь. Отбрасывая в уравнении моментов другие малые величины четвертого порядка, получим равенство т „=т„. Аналогично можно доказать два других равенства касательных напряжений (т ., =т; т„, =.с,„). Б этих равенствах касательных напряжений, приложенных к двум взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через некоторую точку, и действующих в плоскости, нормальной к обеим площадкам, , заключается свойство взаимности касательных напряжений.
Таким „.-'-'Убразам, из шести касательных напряжений независимыми будут :: три. Г Для определения величин касательных напряжений воспользу- ~ емся гипотезой пропорциональности напряжений соответствующим ~-эКеформациям. Иллюстрацией применения этой гипотезы является ФРФормула Ньютона для напряжения трения, возникающего при дви'раении вязкой жидкости относительно твердой стенки Но этой фор.~~уле т =р(дР'„/дх), т. е напряжение пропорционально полускорои в»= (1/2) (д~„/дх) скашивания угла в направлении оси а, отку- М можно написать, что т =2ра,. Эта зависимость распространяммчкл оКЬ-1алрь.гп — Самолет своими руками?! %газ Суммируя (3 1.7) и учитывая выражение для В, получим р „+р„„+р =ЛЕЩ(т — 2).
(3.1.9) Определив из этого выражения сумму р»»+р,~ и подставив ее в (3.1.6), найдем «й У6 Е Р~~= — Ебх+ юи+1 си+1 и — 2 (3.1.10) Для последующих преобразований используем известную зависимость между модулем сдвига б, модулем продольной упругости Е и коэффициентом поперечной деформации, справедливую для упругих сред, включая сжимаемую жидкость: О =тЕ/~2 (и+ 1)~. (3.1.1 1) Внося эту зависимость в (3.1.10), получим й7 Р~.~=2~~6~+ ш — 2 (3.1.12) Введем обозначение =-МЗ)Ь +Р..+Р:)- (3.
1.13) Прибавив и вычтя величину а в правой части (3.1.12), будем иметь р„= +206 + — 6 — (Р „+Р„„+Р ). Используя (3.1.9) и (3,1.11), напишем р„=о+О 126„— (2/3) 6~. Аналогично получим выражения для р»„и р,.: р = +0~26» — (2/ЗЯ; р„=.+а Рв,— Р/3) а~. (3 1.14) (3,1 14') 103 м вчкл оКЬ-1алрь.гп — Самолет своими рукамит! Для невязкой жидкости (см. $1.1) было установлено, что давление р в любой точке потока одинаково для всех площадок, проходящих через эту точку, т. е.
с учетом принятых обозначений в рассматриваемом случае р =р»»=Р = — Р, следовательно, р= =( — 1/3)1Р +р„„+р„). Таким образом, прн исследовании движения вязкой жидкости давление можно определять как среднее арифметическое трех нормальных напряжений, соответствующих трем взаимно перпендикулярным площадкам, взятое с отрицательным знаком. В соответствии с этим а= — Р. В теории упругости устанавливаются следующие соотношения для касательных напряжений, действующих в твердом теле; ух=От»хв т»ю=Оу»~~ тмх=Фа.сг ~3 1.15) где Ъ* 'Ь*, у — углы сдвига соответственно в направлениях осей я, х, у.
Из сопоставления формул (3.1 15) с соответствующими соотношениями для вязкой жидкости (3.1,5) видно, что оии могут быть получены друг нз друга, если модуль сдвига 6 заменить динамическим коэффициентом вязкости 11, а углы сдвига ч — соответствующими значениями скоростей скашивания углов а. В соответствии с этой аналогией нрн замене 6 на р в формулах (3.114), (3 114') относительные удлинения О, К, 6. должны быть заменены соответствующими значениями скоростей линейной деформации О. = =дЪ' /дх, 6„= д1»„/ду, 6,=д1»,/дх, а относительнаи объемная деформация 8 — скоростью относительной объемной деформации е=д1»„/дх+дЬ» /ди+дЪ»,/дх =йч1».
После соответствуюшнх подстановок в (3.114), (3.1.14') получим: ( дУ» 2 р„„= — р+р (2 — ' — — 4Ы1» ° дх 3 ( дУг 2 р = — р+и. (2 — — — йч К~; УУ= ( дУ 2 р =-р+1(2 — — — а 1»' д» 3 Вторые члены и правой части выражений (3.1.16) определяют добавочные напряжения за счет вязкости.
Используя соотношения (3.1.4), (3.1.4'), 13:1.5) и 13.1 16), можно вычислить значения Р Рц и Р, Иапример, для Р„- иэ (3.1.4) получим Р = — — Р+ — [и [2 —" — — б1ч ь')]+ — [~а [ — ~+ )1+ + — 1в.1 — '+ — ~~= — — +ОЛЬГ + — - — <Ич У+ дл ~ ~ д» дх Д дх 3 дх где Л вЂ” оператор Лапласа: ~ = д~/дх2+ д~/ду~+ д~/да~. В частности, л Ь'» =дЧ,»,/дх~+ дЧ»»/ду'+ дЧ» /дз'. Аналогично можно найти соотношения для Р„и Р, Зависимости для напряжений поверхностных сил в жидкости были получены здесь путем обобщения закономерностей, связывающих напряжения и деформации в твердых телах, на случай жидкой среды, обладающей свойством упругости н вязкости. Эт11 же зависимости можно получить исходя из ряда гипотетических представлений о молекулярных силах, действующих в самой жидкости (см.
~2, 7Д. !04 вмяв оЫ>-1алрь.гп — Самолет своими рукамит1 . +Ь'.. +$/„4 ~ $l, ° =Х . +тли„+ д д1 д Д~„1 д, д~ дх У ду ' дх р дх дР ~> + — — йч Ь'+ — — 2 " — — йч У~+ 3 дх р дх дх 3 д1 дх ~ ду дх р ду ~3.1.17) 3 ду р ! ду 1, ду 3 д$'~ + У дЬ"~ + д$'~ 1 дЪ'~ 1 дР + д~ дх ду ' дг р дг + ч11У + — . — Фч К+ — ~ — ~2 — — о'1ч У~+ м д — 1 Г др. ~, д$' 2 3 дх р ~ дя ~ дг 3 + —,'. ( — ';„'+ —"," )+ ~ ~';„+ ",")].
где о= р/р — кинематический коэффициент вязкости. Дифференциальные уравнения (3.1 17) составляют теоретическую основу газодинамики вязкой сжимаемой среды и называются уравнениями Навье — Сток~а. В них принято, что динамический коэффициент вязкости р является функцией координат х, у, з, т, е. р=~~х, у, г). Предполагая, что 11.=-сопИ, уравнения Навье-Стокса можно написать в следующем виде: д1'к 1 ~Р ~ д =Х вЂ” †. — + чдУ,+ —. — 4Ь Ь', Л р дх ' 3 дх чьУ + дЫ' юИ р ду 3 ду 1З.1.18) сй1~ 1 др ч д ' =Л вЂ” .
— + длУ + — - — 41ч У. Н р д» 3 дя При исследовании газовых погоков можно не учитывать влияния массовых сил и, следовательно, принять Х= У=Я=О. В этом случае 105 ммчкл о$Ф-1алрь.гп — Сжаолет своими руками?1 Выписывая в развернутом виде проекции полного ускорения по правилу вычисления производной от сложной функции ~(х, у, х, 1), в которой, в свою очередь, х, у, а являются функциями времени 1, можно получить с учетом найденных выражений для Р„, Р„, Р, уравнения движения (ЗЛ.1) —: (3.1 3) в следующен форме где вектор массовых сил в декартовых координатах О=Хг+ К,А+ХА; градиент давления ртам р =(дрых) г — ' Я р'ду) г+(др,'да) А; векторы ~7=ЬЪ' г+ь|~ 1+~К,А; ~гад г11чТ1 =(д й1 ч Р/дх) г'+(дг11ч Г/ду) /+(д Жую/дя) й.
Если жидкость несжимаемая, то йч Г=О и, следовательно, ИГ/~й =- Π— (1/р) стад р+ дЛГ. (3, 1.21') При отсутствии массовых сил г =О, поэтому ФГ/лй = — (1/Р) афтаб р+~лР+(ч~'3] ~та4 дЬ Г. (3.1.21") Вектор полного ускорсния дГ/Н мажгго представить в следующем впде.
0Г/гй=- дГ/дР+ дгаг1 (1" 2) + го1Г ~; Г. (3.1.22) С учетом (3.1 22") и (3 1,22) уравнение движения напишем в форме дР 1 — 'У +цгай — +го$ГХ Г= — — угад р+ ДЬГ+ — стад г11чГ. Ф 2 з (3, 1.22) з з Итал — = дгад— 1г"2 ь'г . 1 а г.2д1 с~; (3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
