Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Таким образом, движение точки С можно рассматривать как Результат сложения трех видов движения: поступательного по траектории вместе с точкой А со скоростью Г (К„К», К,), вращения относительно нее с угловой скоростью м= ш„Ю+ш„/+о),А ~2.2.9) и деформацнонного движения. Этот вывод составляет содержание т е о р е м ы Г ел ь ы г ол ь ц а. Деформацнонное движение в свою очередь складывается из линейной деформации, характеризуемой коэффициентами 0~, 0», О, и угловой деформации, определяемой величинами е., а», е .
Линейная деформация ребер элемента обусловливает изменение его объема т=1хИУ,Ы», которое определяется Разностью И =Мха,й», — йхйуй», где ~х1 ~у~ ~»~ — длины ребер в момент времени 1+~И. Подставляя значения длин, найдем Ут оси+ г сУх И) Фу тг чуем) И -+6Фые) — Ебену/уе, Пр небрегая в этом выражении членами выше четвертого порядПренеб егая ка малости, получим Я=Я +6„+6;~дхдуЛ~И. 73 ммчкл оИ>-1алрь.гп — Самолет своими рукаиит1 Отсюда можно определить скорость изменения атн асительнога объем а, или скорость удельной объемной деформации 6= (Цт)ат/Л, равную в каждой точке потока сумме скоростей линейной деформации по любым трем взаимна перпендикулярным направлениям: 6=6„.+ 6„+6~, (2,2.
1О) Величина О называется также дивергенцией (расхажден и ем ) в е к то р а с к а рости в данной точке. <И~ ~~=6=~~„+6„+ я,, (2,2. 31) га1 Ь'=(га1 Ь'),.л+(га1 Ь')„у+(го1 Ь'),А, (2.2.12) составляющие которого равны соответствующим удвоенным значениям компонента вихря. ,! (гс4Г),=2 „, (го1 Г)~=2а„и (гоЩ,=2ю,. ф 2.3. БЕЗВЙМРЕВОЕ ДВНжЕИНЕ ЖИДКОСти Бо многих случаях при исследовании движения жидкости можно не учитывать вращения нз-ча пренебрежимо малых угловых скоростей частиц Такое движение называется беэвихревы м. Для безвнхреваго потока а=0 (или га~Р=0) и, следовательно, равны нулю компоненты вихря а„, шд, о,. В соответствии с этим из формул (2.2.3), (2,2.6) получаем: д$~„/ду=д1~„(дх, д$~ /ду=д$~ ~дг, д$~ /де=д$~,/дх.
(2.3 1) Эти равенства являются необходимым н достаточным условием того, чтобы дифференциальный трехчлен $'„~х+$'Ну+У,Из' был полным дифферейци алом некоторой функции, характеризующей поток жидкости так же, как компоненты скоростей 3~,, К„, К,. Обозначив эту функцию в виде ~р(х, у, я, 1) и рассматривая время ~ в качестве параметра, можно записать йр = Ъ'„ах+ У„йу+ Чфх. С другой стороны, этот же дифференциал Ы~=(д~1дх) ~ +(д~!ду) ~у+(дед..И . 1 мчтъкл оиЬ-1алрь.гп — Самолет своиин рукаынт1 Итак, была показана, чта движение жидкой частицы носит ~ сложный характер и является результатам сложения трех видав ,'~ движения: паступательнога, вращательного и деформационнаго. Поток, в катарам частицы испытывают вращение, называется вихревым, а составляющие угловон скорости вращения и„, а„, аь — компонентамн вихря.
Для характеристики вращения используется понятие о р о т а р е с к о р а с т и го1 К, выражаемом в виде гИ К=2н. Ротор скорости представляет собой вектор Как видно, величина скорости в каком-либо направлении определяется быстротой изменения потенциала ~р в том же направлении Если рассматривается направление з, то быстрота изменения потенциала равна частной производной по этому направлению д~р/дг Величину Йр/дз можно рассматривать как проекцию ня направление я некоторого вектора, называемого г р а д и е н т о и функции <р и совпадающего с направлением наиболее быстрого возрастания этой функции.
Очевидно, этот вектор равен вектору скорости Г. Обозначая градиент функции в виде дгаб~р, можем на- писать Ь'=афтаб ~р, (2.3.3) нли, что то же самое, У=рад у = (дгас1 у),г+ угад р)„/+ (угад у),й, (2.3.4) где коэффициенты в скобках в правой части представляют собой проекции вектора градиента скорости иа осн координат: (агадир] =Ь'„=дфдх, (фгадер)„= 1~„=дер,'ду, фгас$ф, =-Ъ' =дед». р.з.Б) Использование потенциальной функции существенно упрощает исследования движения жидкости, так как вместо определения трех неизвестных, какими являются составляющие скорости 3~, Ьд, ~~, достаточно найти одну неизвестную функцию <р н тем самым полностью Рассчитать поле скоростей.
вячел оКЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими рукамит1 Сравнивая два последних выражения, находим: $' =др/дх, $'„=ду/Ф, ~,=ду(М». (2Л.2) Функция ~р называется потенциалом скоростей или п итенциальной функцией, а безвихревой поток, характеризуемый этой функцией,— и о т е н ц и а л ь н ы и. Из соотношений (2.3.2) следует, что частная производная ат потенциала ~р по координате равна проекции скорости на соответствующую координатную ось. Зта свойство потенциальной функции сохраняется и для произвольного направления.
В частности, тангенциальная составляющая скорости в какой-либо точке на произвольной кривой з будет равна частной производной К,=д~р/дз, а нормальная составляющая 3~„=Ар/дп, где п — нормаль к дуге г в рассматриваемой точке. Для полярных координат г и 6 проекции вектора скорости Г некоторой тачки на направление полярного радиуса-вектора и нп направление, перпендикулярное этому радиусу-вектору, будут равны соответственно частным производным: Ъ',=д~р/дг н Ъ',=ду/дз=(1/г) ду/д6.
!1[,/ $2А. УРАВНЕНИЕ НЕРАЭРЫВНОСТН Общмй Внд уравнения нвразрывностн яъ Г Уравнение неразрывности движения в математической форме представляет собой закон сохранения массы — один нз наиболее общих законов физики. Зто уравнение принадлежит к числу основных уравнений аэродинамики, используемых для нахождения параметров, определяющих движение газообразной среды. Чтобы получить уравнение неразрывности, рассмотрим некотойый подвижный объем жидкости.
Этот объем, изменяющийся по времени, состоит из одних и тех же частиц. Масса т этого объема в соответствии с законам сохранения массы остается неизменной, поэтому можем написать, что р,рт=сопв1, где р,р — средняя плотность в пределах объема т. Следовательно, производная Й(р рт)/А=О илн, учитывая, чта плотность и объем величины переменные, (!/Р„,) фР,рЩ+ (1/т) (~И/1П) = О.
(!/р) (ир~аЦ+Яч Г=О, (2.4.1) в котором значение 11тп1(1/т) (~й/а7)1 заменено согласно (22.10) и —..о (2 2.11) дивергенцией скорости. Уравнение (241) представляет собой уравнение пер аз. рыв наст и. Оно получено в общем виде и поэтому может быть использовано для любой выбранной системы координат. ДЕНВРтааа ЕНСтЕЫВ НВЮРДННВт Рассмотрим уравнение неразрывности в декартовой системе координат. Для этой цели вычислим производную Нр (х, у, а, 1)/сй н осуществим в (2.41) замену йч Г в соответствии с (2.2 11). Б результате получим уравнение неразрывности в следующей форме: др,'д.'+ д (р1'„),'дх-~- д (р$' )/ду+д (р1' )/да' =О. (2.4.2) Вводя понятие о днвергенции вектора рР сИч(рГ)=д(р1' )/дх+д(рЪ~ )/ду+д(р1',),'да, 76 мм а л оКЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими руками71 Зта уравнение относится к произвольному конечному объему.
Чтобы получить соотношение, характеризующее движение жидкости в каждой точке, перейдем в последнем уравнении к пределу прп т-+О, чта будет означать стягивание этого объема к некоторой внутренней тачке Если выполняется условие, при котором движущаяся жидкость сплошь заполняет исследуемое пространство и, следовательно, пустоты или разрывы не образуются, та в данной точке платность будет вполне определенной величиной р и можно написать уравнение получим вместо (2.4.2) д;/д1+ сцч (рГ) = — О.
(2.4.3) сцъ (рГ)=0, (2.4.4') Для двухмерного течения уравнение неразрывности (2.4.5) д(рЬ'„),'дх+ дф~ )/ду=О. Для несжимаемого потока р=сопй, поэтому д1' 'дх+ Д~~„'ду+ДЬ' 'д~= — О, (2.4.6) илн 017 Г=О. (2.4.7) Для погенциальнога движения- уравнение неразрывности преобразуется с учетом (2 3.2) к следующему виду: ()! р) ф р/гд)+ Д4р/дхе+ Д-'~р/Дуя+ Д-'(р 'Д ~з = О, (2.4.8) Для несжимаемой жидкости р =сопэ1, поэтому д-'у/дхт+ д~у,'дуе 4-ДАр,'д~з =О. (2.4.8') Полученное уравнение называется у рави еи нем Л апла с а. Известно, что решением этого уравнения является гармоническаи функция. Следовательно, потенциал скоростей несжимаемого потока ~р представляет собой такую гармоническую функцию. Криволинейная систейаа координат Формулы преобразования. Некоторые задачи аэродинамики удобнее решать, кркмсняя крнволннейную ортогональную систему координат.
Такими снстечамн являются, в частности, цилиндрическая и сферическая системы координат. В цилиндрической системе координат положение некоторой точки Р в пространстве (рнс. 2.4.1) определяется углом 1. который образуют координатная плоскость и плоскость, проведенная через точку Р и ось координат Ох, и прямоугольнымя коардинатамн х и т в этой плоскости. Формулы неречода ат декартовой системы координат к цилиндрической имеют следующий ввд х = х.. у =- г соя у; а = г а1п у, В сферической системе координат положение точки Р (рис. 2.4.2) определнется угловыин координатами О (полярный угол) и ~ф (долгота), а также полярным радиусом г, Св з' между нрямоугольвымн н сферическими координатамн определяется Связь меж следующим образом: (2.4.9) х=гсоа6, у=гв)п Есоэф, а=гяпйопФ.
(2.4.1Ю) Соатветств ю не к т т уюп1не креобразоаання уравнений аэродинамики, полученных в р координатах, к тон нлн аной криволинейной ортогональной системе чгтгтгл о1св-1алрь.гп — Сжаолет своими рукаэгит1 Уравнение неразрывности (2.4 2) описывает неустановившееся течение Для установивщегося потока др/д1=0 и, следовательно, д(рЬ'„),'дх+д(рЬ' ]'ду+д(."Ь',) Д~=О, (2.4.4) можно осуществить двояким путем лнба путем прямой подстановки (2.4.9?, ' 124.10) в ати уравнения, либо применяя более общнй метод, основанный яа понятии обобщенных координатных кривых [71.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
