Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 18
Текст из файла (страница 18)
О Р,4 49) дх дх ау Для случая у~Я можно написать приближенно др/д1-~- д ~рУ 1!дх+ д (рЪ'„)(ду=О. Я.4.50) Таким образом, для движения вблизи стенки уравнение неразрывности в криволинейных координатах будет по внешнему виду таким, как в декартовых координатах Для установившегося течения др/д1=О; тогда уравнение неразрывности д ~рЪ'„)/дх+ д рЪ'„1/ду = О. (2.4.50') Уравнения (2.4А8) и ~2,45О') можно объединить в адно, написав д (рЧ,г') 'дх+ д~рЪ'„г') ,'ду=О, ~2.4.48') ~ де в=О для двухмерного плоского течения и в=1 для двухмерного пространственного осеснмметричного потока, рассмотрим частный вид уравнения неразрывности для установившегося жидкого потока, предста.вляющего собой по форме с1руйку.
Масса жидкости в некотором фиксированном объеме, ограниченном поверхностью струйки и торцовыми плоскими сечениями, не меняется от времени вследствие того, что в каждой точке вынолняется условие др/дг=О, Поэтому масса жидкости, поступающая в единицу времени в объем через торцовое сечение площадью ~1 и равное р1$'~Б~, будет таким же, как и масса жидкости р~Уг52, вытекающая через противоположное сечение площадью Би ~рь ров плотности, Уь У~ — скорости соответственно в первом и втором сечениях струйки).
Таким образом, р~у~Б1=рг$~Фг. Так как это равенство можно отнести к любому сечению, то можно написать в общем виде рЪ'Б=сопй. ~2.4Л1) Это а о уравнение называется у р а в н е н и е м р а с ход а- вмяв оИ>-1алрь.гп — Самолет своими рукамит1 В ы. аъ|нкция токь Изучение безвихреваго течения газа упрощается, если свес~и ега к отысканию одной неизвестной потенциальной функции, полностью определяющей зта течение (см $2.3).
Г1окажеы, что для некоторых видов вихревого потока существует функция, также определяющая его кинем ат ические характеристики. Рассмотрим двухыерное (плоское или пространственное осесиыметричное) установившееся вихревое движение жидкости. Из уравнения неразрывности (2.4.32') можно установить, что существует некоторая функция ~у координат х, у, определяемая соотношениями: (2.5,1) д~,'дх = —,"у'1~„; дну= ру Ъ'„. Действительно, подставляя этн саагношения в (2.4.32'), получим д'ф(дудх) =д'КДдхду), т, е. тождество.
Внося (2.5.1) в уравнение линий тока У„фу= Ь'„фх, написанное в виде (2,5.й ру-.1~„дх — гу Р с1У=О, получим выражение (дф,'дх) с/х+ (дФ ду) Иу =О из котарога следует, что (2.5 2) представляет собой дифференциал функции ~ и, следовательно, Ю= О. (2Л.З) Интегрируя (2.5,3), найдем уравнение линий тока в виде (2 5,4) ;-(х, у) =сонэк. Функция ~, называемая ф у н к ц и е й т о к и, полностью определяет скорости вихревого потока в соответствии с соотношениями Ъ'„= (1/ру-') (дф,'ду), Ъ', = — (1/ру') (дфоп,'дх). (2.5.5) др,дх=(1~уу'? (др ау), д~,ду= — (1уРУ')(дФ дх).
(2,5,6) Полагая в (2.5.5) и (2.5.6) р=сопМ, получим соответствующие выражения для несжимаемого патока: ~' =(19')(д~ду), ~'„= — (1!у-)(дйдх); (2.5.7) ду/дх=(1/у') (дй'ду), д7'ду= — (1/у') (дУдх). (2.5.8) ммчкл ось-1алрь.гп — самолет своими рукаиит1 Бапомниы, чта для плоского потока в этих выражениях надо принять а= О, а ддя пространственного асесимметричнога течения а=1, у=г. Семейство линий тока потенциального патока можно также характеризовать функцией ~=сопз1, которая связана с потенциалом скоростей соотношениями Полагая в последних равенствах я=О, получим для несжимаемого плоского потока уравнения. д~,'дх=д~('ду, ду,'ду= — д',1дх, (2.5.9) Зная потенциал скоростей, можно исходя иэ этик уравнений определить с точностью до произвольной постоянной функцию тока, и наоборот В потенциальном потоке наряду с линиями тока можно провести семейство эквипотенциальных кривых (на плоскости) илн эквипотенциальных поверхностей (в осесимметричном потоке), определяемое уравнением ~у= сопМ.
Рассмотрим векторы афтаб р=(дфдх) «+(др,«ду) у и атас1" =(д~'дх) «- —,д~'ду) «, направления которых совпадают с направлениями нормалей соответственно к кривым ~=сопа$ и ф=сопа1 Скалярное произведение этих векторов ита«1 ч ~гад ф=(ду/дх) (дф/дх)+(ду,'ду) (д ~/ду). Учитывая формулы (2.3.2) и (2.5.5), можно установить, что это скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что линии тока будут ортогональнымн к эквипотенциальным линиям (на плоскости) нли эквипотенцнальным поверхностям (в осеснмметричном потоке). 6 1А.
ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ Вихревой линией называется некоторая кривая Б, построенная в данный момент времени в,потоке жидкости и обладающая тем свойством, что в каждой ее тачке вектор угловой скорости ш совпадает с направлением касательной. Построение вихревой линии ведется аналогично линии тока (см. рис.
2,1,1) с той разницей, что вместо векторов поступательной скорости берутся векторы угловой скорости вращения частиц «о (и~, шр и т. д.). В соответствии с этим определением векторное произведение ь Х«Ж= О, т. е. =«(ы„г~ы — ш ««у) — «(а„«~.е — ш Фх)+А (ш а'у — а Фх)=О. Отсюда, принимая во внимание, что, например, магг — н,««у=0 и т. д., получаем уравнение вихревой линии Йх)в„= йЯа„= йа~ш,. (2.6. Ц Проведя вихревые линии через точки элементарного контура с площадью сечения о, получим вихревую трубку. Произведение ьа называется интенсивностью .или напряжением вихревой трубки или вихря, ммчкл оЫ>-1алрь.гп — Самолет своими рукюрит1 Докажем, что интенсивность вихревой трубки есть величина по-,; стоянная для всех ее сечений.
С этой целью воспользуемся аналогией с течением несжимаемой жидкости, для которой, как было- показано, а1чь'=О Следствием этого является уравнение расхода для струйки У15~=$Щ= =УБ=сопМ. Рассмотрим вихревое движение н выражение для дивергенции вектора угловой скорости йч м = да„,'дх+ д»»(ду+ да„~да. Подставляя сюда вместо компонент св их значения из (2.2.3) и (2,2 6), получим прн условии, что вторые производные от $', $'„, У» являются непрерывными, выражение йча=0.
Используя аналогив:.-", с уравнением расхода УЗ=сапз1, получим уравнение для потока= вектора н вдаль вихревой трубки в виде 0)~я~ =Фут~=... =В5 =сопЧ. (2.6.2) -:- Это уравнение выражает теорему Гельмгольца о постоянстве вдаль- вихревой трубки ее интенсивности. Из этой теоремы вытекает свой-: ство вихревой трубки, заключающееся в том, что она н е м о ж е т,;.': в н е з а п н о о б о р в а т ь с я и л и з а к о н ч н т ь с я а с т р и е и..-" Последнее обусловлено тем, что прн площади сечения трубки1 а-~О угловая скорость вращения ~) стремилась бы в соответствии": с теоремой Гельмгольца к бесконечности, что физически нереально.:- ,! а ы.
цииаляция сиьрьсъ~ В Понятие о циркуияцмм оюросе Понятие о циркуляции скорости имеет большое значение в аэр~~ динамике и используется при исследовании обтекания летательны аппаратов н, в частности, прн определении подъемной силы, дей. ствующей на крыло. Рассмотрим в потоке жидкости некоторый фикс нрав аннй4 замкнутый контур К, в каждой точке которого известна скоростч' ~~, н вычислим интеграл по этому контуру: г= ~ ги~, (2.7,1 <1) где ГсБ — скалярное произведение двух векторов ) н сй. Вы ленная таким образом величина Г называется ц и р к у л я ц с к ар а ст и но з а м к н у т а м у конт у ру. Так как Г=Р„г+Ъ'д,~+1',А и дя=дх1+ду~+йхй, то Г= ~ $~„Фх+Ь'„сф+ Ь',И.а.
ск) 86 ммчкл оИ>-1алрь.гп — Самолет сво Учитывая также, что скалярное 1«роизвеление Г«Й=Г сов(ГБ)«Ь= =Ъ'~й, где Ъ',— проекция скорости на касательную, получим Г= ~ Ъ',«уз. Р,7.З) А Если контур совпадает с линией тока в виде окружности радиуса г, в каждой точке которой скорость $', одинакова по величине и направлению, то (2.7.4) Г= 2лгЪ;. Циркуляцию скорости в безвихревом потоке можно выразить через потенциал скоростей. Полагая, что $1„Их+ 31фу+ $1,Кг=йр, получим для незамкнутого контура Л Г= Др=р,— р„, (2.7.5) («? Теорема Стокса Рассмотрим элементарный контур 4ВСЮ (см.
Рис. 22,1) и вычислим ниркуляцию по этому контуру. Примем, что вдоль каждого Ребра скорости постоянны и равны следуялцим значениям; И~а д~'х 1~т1АВ), Ъг„+ — «~хГВС), 11„+ —" ду1СР), П 1АР). дх дд С п1тая положительным направление обхода контура против часовой стрелки «от осп х и сторону асп у), получим для циркуляпия 1~д«~х + 1~ а + ~х( ~1р ~Ъ х + ~ф '«х 1'ф9 дх ду или Н з = (дЪ'а/дх — д$1„ду) «1хМу. н соответствии с (2.2.3) величина в скобках ранна удвоенному значению составляющей угловой скорости 2«о, Следовательно, йГ, = 2чаИхдф. Аналогично мгжио доказать, что (2,7.б) Д]' — 2щ фуада,,К1 д = 2в~ф.ЫГ. В этих вы а т х выражениях произведения дифференииалои представляют "бои ди, ограниченные соответствующими элементарными контурами учетом чеиных результатов для площадки «1а, произвольным образом ориентированной а пространстве н ограниченной элементарным контуРОИ.
пиркуляш'я иг = 2вФФ, (2.7 7) 87 шзааь««'л.'-- тгт«игл оКЬ-1алрь.гп — Сжаолет своими рукнз«ит1 где «пл и «рп — значения потенциальной функции на концах контура, Для замкнутого контура «а,~ и «рн представляют собой значения ПОтЕНцИаЛа СКОрОСтЕй В тОЧКаХ А И В КОНтура, СОВМЕ?цЕНИЫХ друГ с другам. Если потенциальная функция является однозначной, то «рл =«рн и циркуляция скорости по замкнутому контуру равна нулю; неоднозначность потенциала скоростей («рл~«рп) определяет вели. чипу циркуляции, отличную от нуля.
где гак — составляющая угловой скорости по направлению нормали л к площадке йт. В соотнетствии с (2.7.7) циркуляция скорости по элементарному замкнутому контуру ранна удвоенной интенсивности вихря, расположенного внутри контура. Соотношение (27.7) может быть распространено на случай контура ь конечных размеров, ограничивающего некоторую поверхность Б, в каждой тачке нагорай изнестиа величина гв„Тогда циркуляция скорости по контуру Г = 2 твоа. (2.7.8) Формула (2.7.8) выражает теорему Стокса. циркуляция скорости па замкнутому контуру Ь равна удвоенному интегралу ат интенсивности вихрей, проходящих Рнс.
271. Однасвязная и трехснязиая области на плос- ности в — алносввзнвв область (à — цнрктляцня по контуру К). К б — трсксвкзввя область (à — нврьуляпвя па наружному ков К туру. гК н г — цвркулвцнц саптветствсвно по ввутрсвввч ~Ф ковтурвм К1 н К~) сквозь поверхность, ограниченную контурам Величина, определяемая этой формулой, называется также н а о р я ж е н и е и в и х р я и обозначается х = 2 ь~лФа. Ы (2,7,8') Если цвркуляцгно Г в (27.8) заменить па формуле (27.3), то получим зависимость. выражающую интеграл по к о нт у р у К через интеграл по и а- в е р х н а с ~ и 5, ограниченной этим контуром К т~я =2 ~~ Ф1 И (2.7.8 ) эууууул оКЬ-1алрЬ.гц — Сжаолет своими руками?! Прпнеденные зависимости относятся к аднасвязному контуру (рассматринаемая область гнраничивается адннч контурам, рис 2.7.1,а) Однако теорему .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
