Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 22
Текст из файла (страница 22)
1.23) 2 2, Ь~ дд„ л-Т г угад р= (ятаг1 р)„г„=~ —.— Р г„; (3.1.24) Ь„ дд„ и 1 л мам л окЬ-1алрь.га — Самолет своими руками?1 Нрнвоиииейные иоордннаты Преобразуем уравнение (3,1.22'), используя понятие обобщенных криволинейных координат о„, рассмотренных в $ 2.4 Это позволит сравнительно просто осуществить переход к уравнениям движения, содержащим конкретную форму криволинейных ортогональных координат, подобно точу, как это было сделано с уравнением неразрывностп.
' Рассмотрим преобразование отдельных слагаемых, входящих в Р-1-22'). Для второго члена в левой части, а также первого и третьего членов в правой части напишем, принимая во внимание (2.4 18), след~ югпгге выражения. КгЫо1~Г= фга4 г1иР)„~,= †. г„. (3.1.25 А„ду„ а ! Ф~ Для преобразования векторного произведения го1 ГХГ необходимо найти форму записи вектора го$ Г в обобщенных координатах. С этой целью осуществим операцию вычисления ротации от обеих частей равенства (2.4.19) .
з го1 Г'=-~ ~Г,гол!„+ргали $~„М ~„1, (3. 1.26) где дгас1 1~„Х ~л —— АМ 1~„)~г,„— (угад М„) г~ (3.1.27) Здесь проекции вектора угад 3~„на соответствующие координатные направления определяются пз выражения (2.4.18), в катаром заменяется Ф иа Р„. Внося значения (3 1.27), а также выражения для го1 г, из (2.4 22) в (3.1.26), получим для ротора скорости 1 Г д(М'з) д(И"г) Ч - в 1 Гд("зй) д Из1"'.~)1 .
го( Г— 11+ г, -~- "Фз дЧ2 доз 1 Лл41 1 ддэ + 1 ~ д(йгУ2) д(й1Ь"~) ~ (3 1 2Й) Ь1Ь~ 1 ду~ Фа Теперь можно определить векторное произведение: з го$ $~;.Г Ь'=~~' (го1Ь' У У~„Р„, (3.1.2ц) ( Оу х 1') = —— ~/г~л г де 1' ) дИ~К) 1 ду, ду„, (3.1.3О) и=1, 2, 3 соответствуют индексы т=2, Напомним, что значениям 3, 1и1=3, 1,2, Левая часть ~ равнения нога ускорения ТГ =ИРАН, (31.22) представляет собой вектор пол- который можно записать в виде (3.1.31) где В'„ — проекция вектора ускорения на направление касательной к координатной линии д .
Очевидно, каждую величину ЯУ„можно рассматривать как сумму соответствующих проекций векторов д~7/д1, а также векторов (3.1.23) и (3.1.29) на указанные направлю- 168 ммчкл о$Ф-1алрЬ.гп — Сжаолет своими руками?1 где проекция этого вектора на касательную к соответствующей ко- ординатной кривой ния В соответствии с этим д~ "л 1да дКю 1д т д йл" л) дг ~~ дд„' «„Ь «Мт $1,' дй« д РгА'л) 1"т М«щ У« Ь,Л« (3.1.32) да,«дал д9л дд «Л„Лт д«Г« Для преобразования оператора Лапласа, записанного в виде вектора ЬК, воспользуемся тождеством 3 дГ=~ а|~а(,=раддЫ/ — гоаю«Г, 13.1.3З) л 1 гоС гоФ Г=- (гоФ гоФГ)„г„= «-1 ~ [ Фо1 )Л О!.йт(го11")т1 .
3 1,4) Ь Ь1~ дд дд~ л 1 где соогвстству«огцие.проекц«ии вектора гаг Г находятся из (3.1.28). Имея этп данные, можно рассмотреть преобразование уравнений движения примеиителвно к конкретным формам криволинейных ортогоиальных координат. Цилиндрические координаты. В соответствиаи с (2,4.$2), (2.41б) и (2.4.25) «т«=х, д,=г, д,=у, Ь1=1, й =-1, Ь„=г, 1 ~ «~ ~а~Я ~д«Ф а 3 Слсдоватсль1«о, Лг Лг дар 1l ®, л л л д~ дх дг г дУ,, д~1 фта«1 р]1 =др/дх. Далее находим (агаг1 г1Ь Г)1 =д йч Г/дх.
Имея в мея в ви«ду, что Йч ~' определяется формулой (2.4.2б), пмучим дд!чУ д ~ да дд 1 дУ~ У 1 дх дх 1, дх дг г ду г МЧКИ Л ОКЬ-1аЛрЬ.Г«« — С«««а1ОЛЕт СВОШ«И руК«««««ИЛ где ЛЪ'„есть проекции вектора по координатным линиям д Первый вектор в правой части (3.1.33) уже был вами определен и виде (3.1.25), а для вы 1ислспиа второго слсдует воспользоваться равенством (3.1.28). Применяя операцию ротации от обеих частсй этого равенства, получим Иэ (3.1,28) находим д~'г а~'х 1 а~'» т ~ГО$ 1'),= — ' — ", 1Г0$ Ь'),— — — à — ~ ах дг ' г ау ах Внося эти выражения в (3,1.34), получаем д[ — [ —" — г )~~ а~ д[г[ ~ — ~ Л ~го1 го1 Ц, =— г дг 1 а~~', а 1~т ж, аН „1 Н, Лг„ Далее, имея в виду, что (рта11йч К)1 —— Дйи Г/дх, получим в соот- ветствии с (3.1.33) ~~Г),=~дта11й~ Ь'), — ~гО1ГО1 Ь),= — + — »+ дх~ агЯ а'1"» ! 1 а~'» + —.— т —.— гт ау~ г дг Танич образом, уравнение движения в проекции на ось х цилиндрической системы координат будет следующим: х Лг» Й"» д х» т а~'х 1 Ф И дх аг г ау р дх д а~~ 1г уд$г + 3 ах ~3.1.35) г а1гг дъ' г т г+1 ° г +1 г+ г д1 ах дг г ау г а"'т д'т а'т 'т а1 т "'т ар 2 аВ' 1гт ч айч Р— — +у Л1г'т+ .
' — — + ~г а~ г2 ду г2 Зг ду (3. 1.35') В этих уравнениях введено обоэначенне а --;7 + — — -: г дг аг~ г2 аут + дх'-' 110 мм и л оЫ>-1алрЬ.гп — Самолет своими руками Аналогично получаем два других уравнения в проекциях на коор- динатные линии г н у. Дивергенция скорости определяется по формуле (2 4 26). Для осесимметричного течения уравнения движения упрощаются: — "+1г — + Ь; — "= — — — +чье'„+ — . Ж'„д~'» д$'„1 др ч д Нч Р д1 дх дг р дх 3 дх д~'г М'г 1 др ~~ д 6~~~9 — '+~г„— '+Ь,— '= — — — + ~Ы,+ — -— д~ дх дг р дг 3 дг (3.1.36) 1И1» Г=д1г„/дх+д1г,/дг+1г,/г, Ь =д6,'дх'+д",дг'+( 1/г) (д/дг).
В случае установившегося течения в уравнениях следует принять дМ )д~=д~~,)д1=д~т4д~ — О. А=г1 Чг=о Ь=Ф»»11=1. »»г=гь ~1Ъ=™ О ~г,=Ь „Ь;=~г,, 1гя=и,. По этим данным из (3.3.32) находим проекцию ускорения на на- правление координатной линии г' Проекция градиента давления фгас1 р), =др~дг. (Я.1.38) Далее с учетом выражения д,пя йъ Р (24.34) находим соотно- шение (ргас1 Юч Г), = дг д~1,г) 1 а(1, »аЩ 1 Л', + дг г 6»п 6 д6 г з»п 6 дф .
(ЗЛ.39) дг Это соотношение используем для определения по (3.1.33) проекции (Л~~~ вектора ЛР. Для этой цели также вычислим величину (го1 го1 $')», входящую в (3.1.33). Из (3,!.28) находим (той $7),= — ' г д ~1гвг1 дК, , (гсйГ),— г6»п 6 д,, д1г 6»п ба.,) дф дг дг д6 мяча оКЬ-1алрЬ.га — Самолет своими руками?» Сферические координаты. Сфе»р»ические координаты, параметры Ламэ н проекции вектора скорости на направления координатных линий связаны формулами (2.4.13), (2.4.17) и (2.4.33); а3и В (го( го( ггГг —— ВЫиВ др д(г 3333 ВКВ) дг < д д~ ъ',+г — — ' соаб+ дг дВ д~'В д'"'В дФ', +а1п 6 — +г —— дВ дгд6 д66 1 д61,» дсУВ .
д6»1„'1 — — ' — гяп Π— — з1п6 — ~ . 6$п В ~ дф~ дгдф дф 1 (3.1.4О) С учетом соотношений (3.1.39) н (3.!.40) находим (ЬЬ'),=фгаддЫР),— (го1то1Г),— ' + ', -,'+ » 1 д61~» »'6 зпР 6 дф~ г дг с1д В д1г 2 д3»6 2 д$" ~ 2 2с1я В » 1 йв г2 дВ г2 дВ Ф 61п В дф г~ » га (3.1.41) или д$Г 2Ь'В С1д В 2 д1г' , (3.1.41') д6 г6 г6 з!и В дф (л~'),= лъ', Ф где 4.- 33(И(И'Л ОКЬ-1аЛРЬ.ГП вЂ” СОМОЛЕт СВОШЗИ РУК33ВЗИ?! (3.1.42) С учетом соотношений (ЗЛ.37) —:(3,1.39) н (ЗЛ.41') находим ураниеиие движения в проекции на координатную линию г; дП~ + 1, дУ'» + 3'В дУг + ~~э д1г» 3'В+ 1'В д~ дг г дВ гзт В дф г 1 др ( 2 д$гц 2 д1г„, 21,»» 2ъ 3 с1~ В~( = — — - — +» Ь$~ — —. — — —.
1+ р дг ~ Ф дВ га ил В дф г6 ге / + — ' д, (3.1.43) с, Аналогично получаем два друтих уравнения: Л; Ю, 1/, д1/, 1/ф Л~, д1 + дг г д6 +га1п6 дф ~', — 1/г., с1К 6 1 др 2 аГ, + ' = — — - — + ~ ДЛ/'г+ — —— г гр д6 гг ' д6 "а 2соа6 Мгю ~ 1 дди 1Г . + —.—- гг афпг 6 гг а1пг 6 дф 3 г д6 дКр дВ' Ь' дУ1, К. М'1, д~ + ° дг + г д6+га1п6 дф $/'ф (У~+ Ь'~ е1д 6) 1 др г рг а)п 6 дф К» 2 д1, 2 6 д~'е гг афпг 6 гг агп 6 дф гг апР6 дф + ~ ддЬ1г З ап6 дф ~ 3.1.43') где оператор 1д lгд1 1д /.д11дг /гг 1 1 ~апо гг дг ~ дг ) гг а~п 6 д6 ~ д6,~ гг афпг 6 дфг ~3. ) А4) А'~ +~ ° А"г + ~'а дУг 1'г 1 др П ' дг г д6 г р дг 2 д1гг 2$, З'е ~10 6 ъ д д>чД гг д6 гг гг 3 дг дК К д1/' 1/ 1/' 1 д г +1г д1'г + 1/г 1/г + г1/г р дг г д6 г гр д6 ( ~-, 2 дУ'у 16 + У дй1н1г гг д6 гг апР 6 Зг д6 ~3,1.45) где 4= — — гг — )+ . — яп 6 —; ~3.1.46) 1 д д 1 1 д . д дг дг ) гга1п6 д6 д6 р 1 д у' гг) 1 д б', а1п 6) дг гамп 6 д6 <3.).47) ммчгл оИ>-1алрь.гп — Самолет своими руками?1 Для двухмерных пространственных тазовых течений, характеризующихся изменением параметров (скорости, давления, плотности и др.) в направлении только двух координатных линий, уравнения движения могут быть записаны в более простой форме: Уравнения двухмерного движения газа около криволинейной поверхности.
Для рассматриваемого случая крявали)нейные координаты, параметры Цамэ и компоненты скорости определены соответственно формулами (2.4.40), (2.4.42), (2.4,43). Примем дополнительное условие, что движение происходит вблизи степки и, следовательно, у СК В соответствии с этим % — х Чг=У 'Ь='д) ь.1=1 ~г=1 "з=г. Ъ'1 — — йх1Я= Ъ'„1~'г=1д'~, 1д', = О. Согласно этим данным составляющая ускорения Ф,=дЪ~~1й+Ъ~ (дМ /дх)+Чц~дЪ~ /ду), (3.1.48) а проекция градиента давления (3.1.49) фаад р), =дрых.
Кроме тога, (3.1.54) Аналогична, рассматривая координатную линию д „ получим; В~ =дЬ',/д8+Ъ'„(дЪ~ /дх)+ $'„(д$~ /ду); (3.1.55) фьа6 р)г=др~ду, (3.1.56) фгас1 йч1') д д1ч 17ду (3.1.57) (Ь1г')г =фгЫ сИ~ Г) — (га$ го1 71')г —— д)У„г! + д)Рдг)]] 1 д [ [ дУ~ дУ )] д 114 ммчгл о$Ф-1алрЬ.㻠— Сжаолет своими рукниитд огай сИч Г), = д сИч 1д'/дх, (3.1,5О) где дивергенция скорости определена соотношением (2.4.44). Следовательно, (дта11йчР),— ~ ~ ( "' + г ~ ) . (3.1.51) дх ~ г 1 дх ду При помощи (3.1.2В) вычислим проекции ротора скорости (га1 Г), дЬ'„/дх — дЬ'„/ду, (га1 Г)г=О. (3.1.52) Внося эти выражения в (ЗЛ,З4), получим (га1 го1 Ь'), = — - — [г ~ — — — ' . (3.1.53) — д Г Г дУ'у д1)' г д1)) ! ~ дх ду С учетам зависимостей (3.1.51) и (3.1 БЗ) )д)'),=)Дгадйт)'),— ~гайгай)'),= — ~ — [ — '+ ]]— — — д / 1 Г д(Ъ'„г) д(1))'рг) 1 дх ~ г ~ дх ду Используя полученные соотношения, можно записать: — +~' — +~'и — "= — — - — + М~) + М'» ~~'» ~р» 1 дР д1 д» ду р дх д~~Р 3 д» с дд!~д 3 ду (3.1.59) где (Л$') ~ и (ЛУ)р даны соответственно формулами (3,!.54) и (3.1.58) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
