Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пространственный источннн н стон Помимо плоских существуют п р о с т р а н с т в е н н ы е т о ч е чные источники (стоки). Поток от ннх задается следующими условиями: 4л Дз 4л йз 4л я~ где Х~= р' х'+ у~+а~; д — интенсивность источника (знак плюс~ илн стока (знак минус). Интенсивность источника (стока) равна всличине О, определяемой как секундный расход через поверхность гферы радиуса Я. Полная скорость Р=$ Ь' +1/ + Ь',=+ ф(4:тЯ') (2.9.13) и совпадает с направлением радиуса-вектора К. Поэтому потенциал скоростей зависит только от Я н, следовательно, можно написать д.р/дЩ=+ дК,ЫГЯ.
После интегрирования получим ср=+ д,'(4яй), (2.9.14, где знак минус относится к источнику, а знак плюс — к стоку. Днпойь Рассмотрим поток, комплексный потенциал которого 'й' (з) =- (М/2я) (1/а), (2.9 15) где М вЂ” некоторая постоянная величина. В соответствии с этим уравнением ~р+ гф = (М/2л) Я ге'6). Преобразуем правую часть этого равенства. Принимая во внимание, что 1 1 — (соз 6 — 1 51п б), ~е'~ г(еоь 6+ Ып 9) г получим Отсюда находим р+ сф = ( Ч/йл.г) (соз б — Е 51п б).
~р = (М/2л) (соз б,'г); б= — (Ж/2л)(51п %), у/(.кз+ у~) =СОпзт. мяча оКЬ-1алрв.га — Самолет своими руками?1 Полагая ф=сопз1 н учитывая, что г=~/'~Р+уз, =у/~х-"+у', получим уравнение семейства линий риваемого течения Р.9.16):;- (2.9.17) 1 а 51п 9=у/г= тока рассмат-,~ Семейство линий тока представляет собой бесчисленную совокупность окружностей, проходящих через начало координат и имеющих центры на оси у (рис 2,9.3, а). Чтобы представить физическую картину этого течения, рассмотрим поток, который получается в результате сложения течений от источника и стока одинаковой интенсивности, расположенных ни оси х из малом расстоянии и от начала координат (рис.
2.9.3, б). Для точки М(х, у) потенциал скоростей потока от источника, расположенного на расстоянии г„будет ~р„, = (ф2п) 1п г1, а от стока, расположенного на расстоянии гр от этой точки, ~рот= ( — 9/2п) 1п гь Чтобы определить суммарное течение от источника и стока, воспользуемся методом изложения несжимаемых потоков.
По этому Рис. 2.9.Э, К определению диполя: а — лияик така диполи; б — сксыи обркэаккиии диаали .ЕтОДУ патЕНЦИаЛ СКОРОСтЕй СУММаРНОГО ТЕЧЕНИЯ 1Р =~Ъ„+~Р,е. Действительно, в силу уравнения неразрывности (уравнения Лапласа), получающегося из (2.4,8'), О' Мист + Чсй ~ Д~ Мист+ 9ст) О дх~ ду~ дх2 дуе ТаК КаК фуиацин берио И 1р„удОВЛЕтВОРявт ураВНЕНИяМ ду„„!дхт+др„„!дуи=О и д'-~„/дх~+дЬр„/ду~=0, то д~~р/дх'+ д'1р/ду2 тождественно Равно нулю. Следовательно, суммаРкая Функция ~р удовлетворяет уравнению неразрывности. Суммарный потенциал от источника и стока ~р = (д/2л)! и (г,/г,).
Так как г,=~г~х ~,)~+уа ~Г~ р ~ з то 2 (-т — с)2 ~ у2 ' г2 2 1 (х — к)2+у2 1 Величин и мож еличину и можно выбрать такой, что второй член в скобках будет МаЛЫМ ПО СРаВНЕИИ1О С ЕДдиицЕй, ПримЕНяя фОРМуЛУ раЗЛОжЕНИЯ Н 95 тттгттл оКЬ-1алрь.гп — Самолет своими рукамит1 ряд для логарифма и пренебрегая членами второго и более высо- кого порядка малости, получим Ч х т= (х — ~)2 у2 Пусть источник и сток сбли каются (а -О) и одновременно с этим увеличиваются их мощности так, что произведение д.2е в пределе прн совмещении источника и стока стремится к некоторой конечной величине М. Образующийся при этом сложный поток называется диполем, величина М, характеризующая этот поток, — м оментам ди пол я, а ась х — ось ю ди и ол я.
Переходя к пределу в (2.9.19) для р гри е — э-О н ля-+-М, получим для дпполя вы- ражение Л 2 х2+ У2 2л г совпадающее с (29.1б). Таким образам, рассматриваемый поток, характеризующийся комплексным потенциалом (2.9.15), является диполем Эта же можно показать, если рассмотреть функцию тока такого совмещенного течения, которая будет совпадать с (2.9.17).
Нетрудно видеть, что формулы (29.1Ц и (2.9.17) можно представить также в виде: у= — . — (1п ~х~+у2) = — . — сов 6; (2.9.1б'1 2л дх 2л дг '-. '= — — - — (1и ф~х'+у"-)= — — — в1п 6, (2.9.17'1 М д Л~ д1 2л ду 2н дг Осуществляя дифференцирование (2.9.1б), определим составляющие скорости диполя: 1 дт 2л г~ г д9 2й Л (2.9.2О ) 3~ (à — е)2 1 х ~ (Г+ е)2+-х2 Для малых значений е (г + а)~+х~ д~+га + 2г~ и величина 1 *г~/(ха+ г-') ' 1 1 1 1'(гЕ )~+хг )т~2~-~2 1' ~1~2г\/~дг~ ~г) 9б ~х2+ г~ ммчкл оКЬ-1алрь.гп — Сжаолет своими рфниит1 Рассмотрим пространственный случай. Для течения, созданного источникам и стоком одинаковой интенсивности о, помещенными иваси Ог(г=~Гу~+я~) в точках г= — — е и г= +в, потенциальная функция в соответствии с (2 9.!4) будет После подстановки ее в (2920') получим у — — (д/4л) 2гвДх~+ г~)з~э.
Отсюда при переходе к пределу при в-+О, считая, что произведение ~-2а стремится к конечному пределу М, получим для течения, созданного диполем с моментом М, потенциал скоростей р= (М/4я) гДхх+ г') (2 9 21) или (2».9.21') Если источник и сток одинаковой интенсивности д расположены на оси Ох в точках х= — а и х= +е, то при а -0 потенциал течения от диполя (».9.21") 4щэкуияЮюнный потом 1вмкрЧ Рассмотрим течение, заданное комплексным потенциалом Ю (х) = — аю 1п х, (2.9.22) где и — некоторая постоянная величина. Перепишем это уравнение в виде у+Ц= — а1 1п (гг") = а (6 — с 1п г).
Отсюда находим: й7 )ффф3Я~Й'. л. ммчкл оКЬ-1алрь.гп — Сжаолет своими руквмит1 р=аб; (2.9.23) Ф= — а 1пг. (2 9.24) Из '(2.923) следует, что радиальная составляющая скоростн К=д4дг=0, а нормальная к радиусу составляющая У, распа производной от ~ по дуге я линии тока, т, е. д ~~дз=Яг) ЩдЦ= Ч, =а)г. ('» 9 2Д) Уравнение линий тока (траекторий) получим из условия ф= =сопз1, что дает в соответствии с (2,9,24) уравнение г=сопз$.
Это уравнение представляет собой семейство линий тока в виде кон- центрических окружностей, Вдоль ппх направление движения по- ложительное, ительное, если оно происходит против часовой стрелки (от оси плюс. х- к У); в зтом случае коэффициент а в (2.9.25) будет со знаком Такой поток. и кот Вдоль концепт ичес . в котором частицы перемещаются (циркулир~чот) ц рических окружностей, называется ц я р к у л " ц и о и н ы м и о т о к о и (рис, 2.9.4) . р и в рассматриваемом потоке Г=2лг(доз). Циркуляция ско ост ак как дфдз =а~г то Г = д»д — ~, о Г=2ла, откуда а=Г/(2я). Таким образом, 4 707 Ряс 29А.
Циркуляциониый поток (ннхръ) скоростей и функции тока. Комбинируя этн течения, можно при -ределенных условиях получить более сложные потенциальные токи, эквивалентные тем, которые возникают прн обтекании заданной формы. ОП- по- а тел = ф мам л окь-1алрь.гп — Самолет своими руками?! физический смысл постоянной а состоит в том, что ее величина определяется циркуляцией потока, которая, как было установлено, в свою очередь равна интенсивности вихря.
Поток, создаваемый вихрем, расположенным в начале координат, где $',=а/г-~-сю, называется также плоским вихревым источником или просто вихрем. Таким образом, в данном параграфе были рассмотрены простейшие случаи течения, для которых точно определены потенциалы ГЛАВА П1 ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА $ ЗЛ. УРАВНЕНИЯ ДЯИЗКЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТН К числу основных уравнений аэродинамики относятся уравнения движения, составля1ощие ее теоретический фундамент. Они связывают между собой такие параметры, определяющие движение, как скорость, нормальные н касательнме напряжения.
Решение уравнений движения позволяет определить этн неизвестные величины. Рассмотрим различные виды уравнений движения, применяемых при исследовании газовых течений ДЕИЯртовЫ КОЕрдННать1 Рассмотрим движение жидкой частицы в виде элементарного параллелепипеда с измерениями дх, ду, да, построенного около точки Л с координатами х, у, а. Составляющие скорости в этой точке обозначим Р, К~, Р' Движение жидкой частицы с массой рт (т= =~1хс~у~~ — элементарный объем) происходит под действием массовой н поверхностной сил Обозначим проекции массовой силы через Хрт, Урт, Урт, а проекции поверхностной силы — через Р„г, Рвт, Р,.с.
Значения Р Р . Р, представляют собой проекции вектора поверхностной силы, отнесенной к единице объема. Уравнение движения частицы в проекции на ось х будет иметь вид риЛ/ /1Й=Хрт-4-Р,т, откуда сК /М=Х-';Яр)Р,, ~3.1.1] где ~1~лЮ вЂ” полное ускорение в направлении оси х. Аналогично можно пОлучить еще два уравнения в проекциях на осн у и а; ЫЬ' /сМ= 1'+(1/р) Р; ~3.1.2) И /Я= Х+11'р) Р,. (3.1.3) Паверхностн ю вующне на грани эла р ую силу можно выразить через напряжения, действерхностных силах по с Р ни эл ментарного параллелепипеда, Различие в по- ЛаХ ПО СРаннЕНН1О С ИДЕаЛЬНОй ~НЕВЯЗКОй) СРЕДОЙ 4Ф 99 М ш вячел оиЬ-1алрь.гп — СамолЕт своими рукамит1 состоит в том, что на грани частицы будут действовать не только нормальные, но и касательные напряжения Каждая повевхностная сила, действующая на грань, будет иметь три проекции на координатные оси (рис. 3.1 1) На единицу поверхности леьой грани действует поверхностная сила, проекции которой обозначим через р„, т „ т .„.
Величина р„„ представляет собой нормальное напряжение, а т т „— касательные напряжения. Как видна, первый индекс указывает ось, перпендикулярную рассматриваемой грани, а второй — ось, на которую спроектировано данное напряжение. На заднюю грань, перпендикулярную оси я, действуют составляющие напряжения р,-„т,, т,„, на нпжнкно грань, перпендикулярную оси у, — составляющие р~,, т„, т~,.
При этом условимся считать нормальные напряжения положительнымн, если они направлены из выделенного элемента и, следо- Рас. 3.1.1. Поверхностные силы, действующие аа жидкую частицу ммчгл оиь-1алрь.гп — Самолет своими рукамит1 вательна, подвергают его всестороннему растяжению, как это показано на рис.
3.1.1 Касательные напряжения со знаком плюс будут в там случае, если для трех граней, пересекаюгцихся в исходной точке А, эти напряжения ориентированы по направлениям, противоположным положительным направлениям осей координат, а для других трех граней — в сторону полажительнога направления этих осей. С учетам этого рассмотрим проекции поверхностных сил на ось х. На левую грань действует сила от нормального напряжения — р„„с1ус1ж, а на правую 1р +(др /дх)Ых1ИуИх. Следовательно, равнодействующая этих сил равна (др„к/дх)тУхйу~й'. Составляющие сил от касательных напряжений, действующих на эти грани, будут равны нулю. Необходимо, однако, учесть касательные напряжения т,„и т„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
