Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Стокса можно раснрастрапять и па многоснязные контуры (область ограничивается одним наружныи и несколькими внутренними контурами). При этом (2.7 Я") применяется при условии, что наружный контур соединяется с ниутренннми вспоиагзтельиымн лнннямн (разреза вв) тал, чтобы получилась ачносвяэная область. Тогда двойной интеграл в (2 7.8") распространяется на заштрихо- ~ ванную область (рнс. 2 7.1, б), а контурный интеграл берется для полученной 4 односнязной области, т. е. по наружному контуру, вдоль всех разрезов, а также па всем внутренним контурам В соответствии с этим и согласно формуле- (2 7.6"), а так ке рис 27.1, б, где показана трсхсвязная область, получим откуда циркуляции во контуру К рассматриваемой области Гк= 1к, К'К к.
К 2 ~~"*КК р) Респростряняя эту Формулу нл случай л наутренних контурои, найдем Г =~ т .К2~~ „.Гк. (Я Снорестн, мидуцмруенне внхрями ~т~=~Г~4.т) ~ Х фаз), (2.7.9) где à — циркуляция скорости. С выводом формулы (2.7.9) можно ознакомиться по книге 123]. Так как модуль векторного произведения ~ гХОЦ =гии айй, где и — угол между направлением элемента вихря и радиусом-вектором г, та величина нндуцированной в точке А скорости Ии = ~Гу4дт) ~яп ада/г~). ! 2.7. 10) Г1 имени р меним формулу Био — Савара для вычисления скорости, нндуцнрованной участкам прямолинейного вихря ~рис.
2.7.3). Так 69 тгтгтгл оКЬ-1алрь.гп — Самолет своими руками Возникающие вихри вызывают в окружающем пространстве, занятом жидкостью или газом, дополнительные скорости. Этот эффскт аналогичен электромагнитному влиянию нроводпика, по которому течет электрический ток. В соответствии с такой аналогией скорости, вызываемые вихрем, называются и иду цирован- Й Ш ными Укаэанная электромаг- 0 нитная аналогия находит свое выражение в том, чта для определения индуцираванной вихрем скорости применяется формула Био — Рнс 2.72 Скеил вихревого иоэхейпяия Савара, подобная той, которая выражает известный зэкон электромагнитной индукции Рассмотрим криволинейный вихрь произвольной формы ~рис. 2.72), Вектор скорости Иа, нндуцированной элементом вихря дЕ в точке А, полажение которой определяется радиусом-вектором г, совйадает по направлению с векторным произведением гХЫ, т, е.
вектор Йа перпендикулярен плоскости, содержащей векторы г и ИЕ Значение Ии определяется при помощи формулы Био — Сааара, которая и 1векторной записи имеет следующий вид: г = Ь/яп а, дА = Ма/ЯЫ а = Ма/з! па а, то и= — В1п сна=- (сов а, — сова,). (2.7.11) 4ггй 4ггй ас Для вихря, оба конца которого уходят в бесконечность (бесконечный вихрь), а~— - О, аг=гг, следовательно, ир = ГД2лй). (2 7.12) Рис, 2.7,3.
Схема влияния прямолинейного вихря на частицу жидкости, расположен- ную и точке Л Для вихря, у которого один конец уходит в бесконечность, а другов берет начало в .гочке А (полубесконечный вихрь), а1 —— О, аа = гт/2. Поэтому и = ГД4лЯ). (2.7. 13) Й Если в жидкости расположены два или несколько вихрей, то~ они взаимодействуют друг с другом, вследствие чего вихревая си-'-.; стема будет находиться в движении. Скорости этого движения оп-.1 ределяются прн помощи формулы Бно — Савара.
Возьмем в каче- стве примера два бесконечных а) вихря с одинаковой ннтеисивно-" Чг — стью и направлением вращения (рис, 2,74,а). Этн вихри сообщают друг другу равные по величине н противоположные по направ-. лению скорости Уа= — Г/(2яЦ, ю) Р~- †-Г/(271Ь), в результате чего, оба вихря будут вращаться около '- 6 оси, проходящей через середину:, расстояния между вихрями. Если1 У из двух вихрей один будет иметьг интенсивность, обратную по знаку„: Рис 2 7.4. Взаимодействие вихрей (рис.
2.7,4„б), то нндуцнроваиные'1 и — ввврв с ьдвввкьвык ввправлпнвпм сКОрОстн будут ОдииакОВы по Иа-'~ вращеввв. б — ввпрввлевве врвщеввп ввс- ЙВЛенИЮ н СледователЬНО, СИ' рпй прьтнвьпьльжвьь пр Ф с имли о$Ф-1алрь.гп — Сжаолет своими рукивгит! стема вихрей будет перемещаться поступательно со скоростью 1'= =Г/(2лй) в направлении, перпендикулярном прямой, соединяющей вихри. ф 2.6. КОМПЛЕКСНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ Движение безвнхревого несжимаемого потока можно полностью определить, если известна потенциальная функция йр или функция тока ф связь между которыми дается уравнениями (2.5.9), известными в теории функций комплексного переменного как уравнения Коши — Римана Эти уравнения выражают необходимые н достаточные условия того, что комбинация из двух функций ~+ф является аналитической функцией комплексного переменного =х-+~у, т.
е дифференцируемой во всех точках некоторой области. Бведем обозначение для атой функции: 'ввт (Л) =9+ М1'. (2Я. 1) сорб — ~ ьн16=е — ", получим дГ/д'а = 1/е — и (2.8.4) % ЗЭ ХАУАКтЕРНЫЕ ВИДЫ НОтОКОВ Ж$ЩИОСтИ Рассмот им ха ййх геометрнческ ю к рим характерные виды потоков несжимаемой жидкости в яия дЛя,комплексии и р кую картину (азродннамическнй спектр), выражех потенциалов, а также соответствующих потенциальных функций н функций тока. Чй "$ НШййй 'и:>чав. муара л оййЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими рукшйитй Функция К(я), которая будет определена, если функции от двух действительных переменных ~р=~р(х, у) и ф= ф(х, у) удовлетворяют дифференциальным уравнениям (2.5 9), называется к о и и л е к сн ы м по те н цн а л ом, Если вспомним, что значения функций к(х, у) нли ф(х, у) позволяют однозначно определить поле скоростей в движущейся жидкости, то, следовательно, всякий двухмерный плоский поток может быть задан комплексным потенциалом.
Отсюда задачу о расчете такого потока можно свестн к нахождению функции К(г) Вычислим производную по комплексному переменному ~ от функции 1й'(а): йЛГфа = ду,'дх+ ~ (д у,'дх). (2Я.2) Так как ду/дл=Ь', д~рдс= — 1у'„, то ИВ'/й~~ = Ь' — й~ . 12.8.З) Это выражение называется ком пл екс н о й с к о р о с т ь ю, моЛуль которой дает величину самой скорости 1у1усус~~~= ест' + От = = 1/.
Очевидно, действительный вектор скорости У=$'~+Ю является зеркальным отображением относительно оси х вектора комплексной скорости. Обозначим через О угол между вектором дК/дя и осью х и определим скорости 1~„=$'созО и ~„=Уяп6. Используя формулу Эйлера Плоскоперапнельный поток Пусть дви'кение жидкости задана комплексным потенциалом $5" ~л) = Ь' 1соз б — 1 51п 6) л, где У и Π— некоторые величины, настоянные для данных условий. В соответствии с 12 8 1) ср+1ф= Ь'1с05 б — К Яп 9) (х+ юу), откуда находим потенциал скоростей и функцию тока: 12.9.5) иэ которого видно, что линии тока представляют собой параллельные прямые, наклоненные к оси х под углам О (рис. 2.9 1), Так как составляюпц1е скорости $' и $'» положительные, то направление потока будет таки и, как показано на рис.
2.9.1. Этот поток называется поступательным ил ос кап араллельным потоком. В частном случае, когда поток параллелен оси х (О=О, $' =У, У»=О), комплексный потенциал (2.9.6) Ппоекнй точечный источник м сток Рассмотрим комплексный потенциал В'~а)=ф2п) 1пя, (2.9.7) где Π— некоторая постоянная величина. Это уравнение перепишем н виде в+ гф= (д/2я) 1и ~ге'») = (д/.'Ъ) (1п г+ гб), где г — расстояние до тачки с координатами х, у (полярный ради- ус). Π— полярный угол м»г»гл о$Ф-1алрь.га — Сжаолет своими руками?1 у = Ь' (х саз б+ у а1п б); (2.9.2) Ф= К(у соэб — хяп б). 12.9.3) Из выражений для ~р или ф следует, что рассматриваемый поток плоскни и установившийся, так как время в ннх явно не входит. В таком потоке линии тока и траектории совпадают.
Из (2,9.2) можно найти составляющие скорости потока. дфдх=1/„.=Ь'соэб, дну= Ь'»=Р яп а, ду/дл=$~,=О. (2.9.4) Здесь У вЂ” полная скорость патока, а Π— угол между ее направлением и осью х Приравнивая функцию тока ф (2.9.3) постоянной и вкл1ачая в нее Ъ', получим уравнение у соя б — х мп б=сопИ, Из полученного уравнения следует, что р= — (ф2л) 1пг=~ф2к) 1п ~ х~-~-у~; Ф=Ь2 ~) ~- Ф.9,8) (2.9.91 Из (2-9-8) находим, что радиальная составляющая скорости (по направлению радиуса г) ду/дг = $~, =-дЯ2:тг), Р.9. 1О) а составляющая по нормали к этому радиусу 1г =О. Таким образом, получили поток, линии тока (траектории) которого представляют собой семейства прямых, проходящих через начало Рис. 2.9.1.
Поступательный пласка- пирнллельиый поток Рис. 2 9.2. Плоский точечный источник координат (зто жс следует из уравнения линни тока ф=сопМ). Такой радиальный поток, идущий от начала координат, называется плоским точечным источ ником (рнс.292). Расход жидкости через контур радиуса г будет равен 2дг$~,=9. Бнося сюда значение Ъ', нз (2.9.10), найдем Ц=д Следовательно, постоянная д определяется расходом жидкости из источника. Эта величина д называется м о щн ость ю илн и н т е н с и в н о с т ь ю исто ч ни ка. Наряду с источником существует впд двнженпя жидкости, называемый плоским точечным стоком Ь,омплексный потенциал стока 1гг (а) — (фея) 1п х. ~2.9.11) 93 имли оКЬ-1алрь.га — Сжаолет своими руками?1 Знак мин с указывает, происходить к цент у азывает, что в отличие от источника движение б ет удет ностью, илн интенсивно ц тру. ток, как и источник, характеризуется мошт нсивностью, д (расходом в единицу времени).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
