Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е в задании поля скоростей, онределяемых вектором Р= $' Г+ 1'„(+ Мг, где 1, ~, й — единичные векторы по осям координат, а У'„=»Ь/~й, Ь'„=Иуйй, Р,=Ох/1й — составляющие вектора скорости, записываемые в виде уравнений: шутся в следующем виде: у Х+У а1„Л, и ах х ~ 1, л дЪ' дЪ', ду дт дЪ'д ~, - дЪ'у дд дг ю ~2.1.5) Соотношения (2.1.5) для ускорений соответствуют течению, характеризующемуся изменением скорости в данной точке от времени и, следовательно, неравенством д$'/д1ФО.
Такое течение жидкости называется неустановившимся ~нест а ц ион а рн ы м). Поток жидкости, в котором скорость и другие параметры в данной точке не зависят от времени ~дК(д1 =О), называется у с т а н о в н вшимся (стационарным). Линии тока и траектории частиц В данный момент времени в потоке можно провести линию, обладающую таким свойством, что каждая частица жидкости, нахо- Рис 2.1.1 Построение линии тока ~а) и трубки така (б): 1 — лик иы тома: Р- кантур дяшаяся на ней, имеет скорость, совпадающую по направлению с касательной к этой линии, Эта линия называется л н н и е й т о к а. Чтобы получить линию тока, надо поступить следующим образом.
Возьмем в потоке в момент времени 1=1р некоторую точку А ~рис. 2.11, а) и выразим скорость частицы в этой точке вектоРом Г» Затем выберем точку А~, соседнюю с точкой А~ и находящуюся на векторе Г, Пусть в момент 1=1о вектор скорости в этой точке равен Гг. Рассмотрим далее точку Аз на векторе Ге, скорость а которой определяется в тот же момент времени вектором г'з, и т. д. Н Результате такого построения получим ломаную линию, состоящую из отрезков векторов скорости.
уменьшая до нуля эти отрезки н одновременно увеличивая их число до бесконечности, получим в пределе линию, которая является огибающей для всего семейства векторов скорости. Это н будет линия тока. Очевидно, каждому моменту времени будет соответствовать своя линия тока вч мчтъкл о$сЬ-1алрь.гп — Самолет своими рукамит1 Для получения уравнения линии тока воспользуемся свойством.
в соответствии с которым в каждой точке этой линии должна иметь место совпадение направлений вектора скорости Р и вектора сВ= =4Ы+~Ху1+~1Н, где с~х, Ыу, Ж вЂ” проекции элемента дуги ~1ь линии тока Следовательно, векторное произведение ~ЫХ$'=О, т. е 1 й дх и'у д~ 1'„1~ $1, = к (1 ',4у — 1" а.г) — у (Ь' дх — Ъ~ 4а) + в 2.1. АНАЛИЗ ДВИЖеНИЯ ЖИДНОЙ ЧАСТИЦЫ В отличие ат твердого тела, движение которого определяется поступательным перемещением вместе с центрам масс и вращением вокруг мгновенной оси, проходящей через этот центр, движение жидкой частицы характвризуется, кроме того, наличием деформ а ц и о н н а го д в и ж е н и я, изменяющего форму частицы.
Рассмотрим жидкую частицу в виде элементарного параллелепипеда со сторонами Их, 4у, ца и проанализируем движение грани АВАР (рис 2.2.1), Так как координаты вершин грани различны, 70 ммчкл о$сЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими руками71 +д(Ь „их — 1~„лу) =О. Отсюда, поскольку, например, 1'сну — Рфг=О и т. д., получаем систему дифференциальных уравнений ~" г е,~ ~ " Их $~ ду!Г =4я!$1 . (2. 1.6) Таким образам, решение задачи аб определении линий така сводится к интегрированию системы уравнений (2.1.6). Каждый пз интегралов этих уравнений Е~ (х, у, в, С1) =О н Г~ (х, у, г, С~) =О представляет семейство поверхностей, зависящих от одного из параметров, С~ нли С,, а пересечение этих поверхностей дает ссмейство линий тока Б отличпе от линии тока, построение которой производится в фиксированный момент времени, понятие о т р вектор и н связано с некоторым промежутком времени, в течение которого частица проходит определенный путь Из этага следует, что линия тока и траектории, являющаяся следам движения одной и той же частицы, совпадают в тстаповивюемсв течении.
Есаи дввжепис жаддпсдд нестацнонарное, та линия тока и траектория нс совпадают. В аэродинамике рассматриваются понятия о трубке така и струйке жидкости или газа Если через тачки элементарного замкиутнога контура (рис. 2.1.1, б) провести линии така, то ани образуют поверхность, которая называется поверхностью трубки тока; часть жидкости, ограниченная этой поверхностью, и будет трубкой така.
Если через точки элементарного замкнутого контура провести траектории, то образуется поверхность, которая ограничивает часть жидкости, называемую струйкой. Трубка тока и струйка газа, проведенные через точки одного и того же замкнутого контура в установившемся патоке, совпадают -о скорости, определяемые в некоторый момент времени 1=1а, такие будут различными- ;/у,» Р~ ~ "~» у Ф Ъ'„, =«' (х, у?, Ъ'„„=!'„(х-~ ~х, у?; ~ у4 — ~ у(х» у)» Ъуа — — Ъ у(х+0х, у). ~".,=~".(х+~х, у+~у), ~,.=~.(х, у~ Ку?; 1 с — — ~'„(х+~х, у+ Ь), Ъ'„о — — ~'„(х, у+~у?, (2.2.
Ц де х, у — координаты точки А. Разложим выражения для скоростей в ряды Тейлора, оставляя «них только величины первого порядка малости, т. е. члены, со,ержащие йх, Иу, Из в степени не выше первой. Принимая, что 1 -очке А скорости Р'.~= К, и 3г'„.~= Ку, получим: ~ в=Ь' +(д«'„/дх) Их+..., Ъ' О=Ь' +(дЬ'„/ду?~1у+ ...; ~„в =Ь'„+(дну/дх?Их+..., «' = «'у+ (д$'у/ду? Иу+ ...; ~„~ = Ъ'„+ (юг'„/дз~) Ф~+ (д« '„/ду) 0у+ ...; '., =Ъ'у+ (дЪ'у/дхИх+(дЪ'у/дуИу+-" (2 22) Из этих выражений следует, что, например, в точке В состав.яющая скорости по оси х отличается от ее значения в точке А ~~х/4 ц а У„/й ..~ х 0 М Рнс 2 2 2, Углоаяя дефорыация жид- кой «агтицы »ис 2.2.1 Схсча движения жидкой !аСгицы ~а величину (др'„/дх)сЬ. Это означает, что точка В, участвуя в по- тупатЕЛьНОМ ПЕрЕМЕщЕНИИ СО СКОРОСТЬЮ Р' В НанраВЛЕНИИ ОСИ Х овместно с точкой А, одновременно движется относительно нее в.
'ом же направлении со скоростью (д~„/дх)Фх. В результате про~сходит линейная деформации отрезка АВ, Скорость этой деформации О =д$'/дх. В направлении оси у точка В перемещается со скоростью 1у месте с точкой А и одновременно движется относительно нее с »инейной скоростью (д~„/дх)Нх, определяемой угловой скоростью «ращения отрезка АВ. Рассматривая точку П, можно по аналогии с точкой В опредеить, что относительная линейная скорость этой точки в направ:ении оси у Равна (дК„/ду)Ну и, следовательно, скорость линейной 71 «увядал оиЬ-1алрь.гп — Самолет своими руками деформации отрезка АЮ будет О„=дК„!ду, Угловая скорость вращения отрезка относительна точки А равна — д$' /ду (знак минус учитывает, чта тачка Ю вращается относительно точки А в сторону, противоположную вращению точки В).
В результате вращения отрезков АП н АВ происходит скашнванне угла ПАВ (рис, 22.2), т. е. возникает угловая деформация частицы Одновременно может произойти поворот биссектрисы ЛМ угла ОАВ, в результате чего возникает некоторый угол Ир между ним и биссектрисой АУ ско. шеннога угла Ю'АВ' Таким образам, частица будет дополнительно вращаться Угол поворота биссектрисы (рис, 22.2) с1,1=~ — т, где у=0,5~я!2 — фа +~Уа,Ц; с=я!4 — Ыа.
Углы йхг и Йаь показанные на рис. 2.2.2, соответственна равны (диац!дх) й и (дЪ~„!ду)сИ. Следовательно, ~13 = 0,5 фа — ди,) = 0,5 (д$~„!дх — дЬ'„.!ду) ~И. Отсюда можно найти угловую скорость ~ф~й вращения жидкой частицы относительно осн а. Обозначая ее о, можно написать а = лЧ!а7 =0,5 (дЬ'„'дх — д У„,'ду).
(2,2 3] Если рассмотреть движение ребра Ай относительна отрезка АВ, то, очевидно, угловая скорость этого ребра 2я,=д~~ дх+д~„.'ду. (2.2 4) Величина е,=0,5 ,'д~'„'дх+ дЪ'„,'ду) (2.2.4') называется полускоростью скаш ива ння прямого угла ПАВ, Распространим все наши рассуждения на пространственное те-, чение и рассмотрим точку С, принадлежащую частице в виде эле- . ментарного параллелепипеда с длинами ребер Ых, йу, Иг. Скорость . в этой тачке в момент времени ~=~о является функцией координат х+ах, у+Фу, ~+сЬ Представляя компоненты скорости в видс ряда,. Тэйлора, в котором сохранены члены толька первого порядка ма- ~ ласти, получим: .
= Ь'„. + (дЬ'„,'дх) Их+ (дЬ'„'ду) сну —,'-(дЬ'„,'дг) й'а'; = Ъ~„~- (дЬ' 'дх) Фх+ (дЬ'„.'ду) сну+ (дГ„!дз) а'~, (2.2.5) М"„=М,+(д~ ,';д ) а +(дм.",ду) ау ~(дМ„д )~ . Введем обозначения, аналогичные обозначениям, принятым при ° анализе движения плоской частицы. Примем, что 6,=д$',/дя. Эта величина определяет скорость линейной деформации пространст-. венной частицы в направлении оси ~ Введем далее обозначения: е)„= 0,5 (дЬ' !ду — дГ„/де) и = 0,5 (дУ„.!дю — дЬ','дх). (2.2.6) / гг амчкл оКЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими рукамит1 Значения о„и ш» представляют собой составляющие угловой скорости частицы соответственно по осям х и у.
Компоненты угловой скорости частицы а„„ь», ю, считаются положительными при вращении соответственно от оси х к осн у, от оси у к оси» и от оси» к оси х. ~3 соответствии с этим знаки производных дК»/дх, д3~,/ду, д»'„(д» будут совпадать со знакаыи угловой скорости, а знаки производных д»'„/ду, дед», д»,/дх будут противоположны знакам угловой скорости. По аналогии с (2.24') запншеы выражения: е,=О,Б~ДУ,/ду+дЪ;,Уд»), е,=О,5(дУ,./д»+дЪ~, дх), ~2.2.7) которые равны полускоростяы скашивания двух прямых углов параллелепипеда соответственно в плоскостях УО» и хО» Путем несложных преобразований можно убедиться в тоы, что дУ,/ду=е.,+М дУх/д = „+» дУ,,~дх= .+ .' дУ»/д»=ех ехъ дУа/дх=е» вЂ” е~»з дУл!ду=Ъ ет- С учетом этих выражений составляющие скорости в точке С можно записать в следующем виде: У„= — У +6 ах+е 4»+е,ду+е,ф» — а,4у; У»с — — У»+6ФУ +е,4Х+=„й'»+ Ш,Ь вЂ” „дз; (2.2.8) У - = У +6 4»+ е„~у+ е 4х+м о'у — ш„дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
