Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Рассмотрим этот метод Элементарные длины дуг координатных кривых в окрестности точки Р в общем аиде можно записать в таком внле: пав = «ФД1> ла2 = ~Ь"4>2> лаз = «,ФЧ" ! «2.4.11) где Ч, (и=1, 2, 3) — криволинейные координаты; «ю — коэффициенты, называемые параметрамн Ламэ. Длн цилиндрических координат 12.4,!2) (2.а.13) >а1 = х> >на = г, уз = у, а для сферических 11=ге В=6, дз=Ф- Рис. 2.4.1. Элементарная частица жидко- Рнс. 2 4.2 Элементарная частица' стн в цилиндрической системе координат жидкости в сферической система>? координат Непосредственно нэ рнс 2 4.1 следует. что для цилиндри ческих координат па~ =ох, 41аа = аг> паз = гЯ.
(2.4.14)' ! Иэ рис. 24.2 можно определить длины дуг соответствующих координатных линий в сфери сесчой системе: 3Д >~а1 = ~1г, ~аз = гЛ, паз = г а1п яп>1 . (2.4.15) ~ Следовательно, дл» цилиндрических координат параметры Ламэ будут; «! = 1 > «я = 1 > «3 =- г> Р.4. 1б? Й а для сферических -„1 «1 = 1, «2 = г, «3 = г а|п й ~2.4. 17),," Рассмотрим некоторые выражения для векторных и скалярных величин в криволинейных координатах, которые нам будут необходимы для преобразова-' ния к этим координатам уравнения неразрывности. Градиент некоторой скаляр- ной функции Ф Дгас1 Ф = (дФ,д~)ю~) т1+ (дФ/дал) 1э + 1дФУдаз) ~з, где 1ь 1к 18 — единичные векторы по соответствующим координатным линиям;"„ Имен в виду формулы (2.4,11), получим 1 дФ 1 дФ, ! дФ игам Ф = — .
— 1, + —, — 1е + — . — 1з. (2.4.1ф «, д4>1 «| доз «з дУз ! тгтттгл оКЬ-1алрЬ.гп — Сжаолет своими 21 >-, 78 Для дальнейпнх преобразований воспользуемся сведениями из нурса математики, а котором изучается векторный анализ Найдем днвергенцню вектора скорости, представив его в ниде суммы составляющих по координатным ливням 3 Р РА + 11212+ 17313 = Ж КФ ° (2.4.19) » 1 Проведя операцию дивергенция для обеих частей этого равенства, получим 3 й1т Р =;«~ (К, й Ь 1» + 1„огай КД. а-1 (2.4,20) Для определения йв 1„воспользуемся извсстныи соотношением венторното анализа йЬ 1» й1у (1» Х 1~) 1уго1 1 1 ~го1 11 (2.4.21) где и принимает последовательно значения и=1, 2, 3, которыч соответствуют значсння т=2, 3, 1 и 1=3, 1, 2. В саню очередь в это соотношение входят подлежащие определению векторы го$1 нли го11~, для которых введем общее обозначение го$1 .
Привлекая (2.4.18) м используя общие методы преобразования векторных величин, можно найти l1 ~Ь» . 1 дн» а~и,' д, а„'д4 (2.4.22) Теперь внесем (2.422) в 124.21). Естественно, что про такой подстановке надо предварительно произвести замены индекса л у го1~ ня ж и 1, а также асугцестаить соответствующую расстановку пндсксов в правой части 12 4.22). В результате получим да 1 дй1 ~ й1ч 1 — — — - — +— а» ялз Ж» ~~ д9» (2.4.23) Теперь можно подставить этн значения н (24.20) Учитывая, что в этой формулс н соответствии с (24,18) 1»цвай К, = (1/Л„) (дК~lдд»), найдем следующее выражсиие длн дпвергенции. йлР— 1 1д(~'1Я2ЬЗ) д0'2лФ~) д(ЕЖ~1)1 + + (2 4.24) Ь1Ь2йа 1 дФ д~2 доз Имси это выражение, можно рассмотреть преобразование уравнения неразрывности 12.4.1) к 1>наличным формам кринолинсйных ортогональным координа ~. И 1; д1г.г Ж дх дг г ду ' г (2.4.26) чгтгтгл оКЬ-1алрЬ.гп — Сжаолет своими руками?1 Цилиндрические коордииаты.
В цилиндрических координатах параметры Ламэ даются выражениями (24.16), а значения д„ (и= 1, 2, 3) — соотношениями (2.4.12) Составдянпцие скорости но осям цилиндрических координат; ~'~=-~' =Их/~й, ~' =Ъ',=Иг~гй, Г,=Ъ',=г(а'у/гй). (2.4.25) С Учетоы этого дивергенция скорости (2.4.24) Для преобразования к цилиндрическим координатам производной ~рай, входящей в уравнение неразрывности (241), воспользуемся формулой преобразования — = — + + . + —. —, (2.4-2У) дУ дУ д~ Фд, дУ И4г дУ М д~ д4'~ д1 доз М д~з Ж в которой Цх, у, з, 1) — некоторая функция декартовых координат и времени.
Получаем дР др а'» др йг дР ~Х'у дР— + — + — — + —.—— а дг а д» И дг Л ду = — + 1' — + 1'. — + —. —. дР др дР 1гт дР (2,4.28) г Внося значения для йч 1г и Ир/~9 в уравнение (2,4.1), находим + ~) )+ ~) )+ ~) 1)+) — О (2429) д1 д» дг г ду г Это уравнение можно написать в несколько иной форме: + + + — О (2430) дм д» дг г ду Для частного случая установившегося движения д (РгЪ13 д ЬЮт) ~ д СРг4гт) д» дг г ду (2.4.31) Для потенциального движения в уравнение неразрывности можно внести замены: Ь'„=дфдх, Ь',=дфдг, 1'т=(1/г) (дфду).
(2.4.25') Если одновременно движение газа осеснмметричное, как, например, прн обтекании под нулевым углом атаки тела вращения, то параметры потока не зависят от угловой координаты у н, следовательно, уравнение неразрывности будет иметь более простой вид: д (ргМ )дх+д(ргЬ',)~дг= О. (2,4.32) Уравнения (2.4.5) и (2.4,32) можно объединить в одна, написав д( ру'Ч„) 'дх+ д(ру*Ч„)~ду = О, (2.4.32') ммчгл о$Ф-1а.ч)ь.гв — Сжаолет своими рукниит1 где для двухмернога плоского течения а=0, а для двухмерного осесимметричного потока а=1, у=г. Сферические координаты. Воспользовавшись соотношением (2.4.24), имея в виду формулы (2,4.13) для сферических координат, а также зависимости (2.417) для параметров Лама и выражения $0 для составляющих скорости: можно написать для дивергенции скорости д(1т г2) 1 д($тд ап 6) 1 дЪ', сИ'к Г= — - + ° + ° .
~2 4.34) т~ дг г Б1п 6 д6 гзщ6 дф Полную производную для плотности Ир/сИ в соответствии с 12.4,27) представим следующим образом: Ир др др Иг др Н др Фф — = — + —.— + — - + Н д1 дг ~й д6 М дф П др др и, др 1т, др — +1т, — + —. — + ~, — . ~2.4.35) д1 дт т д6 г Б1п 6 дф Внося значения (1иГ иэ (2.4.34) и производной арф~ из (2.4.35) в 12.4.1) и группируя члены, будем иметь др 1 д(рЪ' т~) 1 д(рУ а)п 6) 1 д(рот„) ~ а + .
+ . ' + . " 0.12.436) М д~ г~ дг тз!п6 д6 гв1п6 дф Для установившегося движения частная производная др/д(= О. Следовательно, 1 а(р1тгт2) 1 д(р11~ вп 6) 1 д(рК ) В частном случае несжимаемой жидкости (р=сопЫ) а (у,г2) 1 д (1т, Ып 6) 1 а1т,„ + . 'Р О. (2.4,ЗЗ) г дг и!и 6 д6 ' я1п 6 дф Для преобразования уравнения неразрывности в случае потенцнального движения следует произвести замены $/,= —, $'0= —.—, $г.= др 1 др 1 ар дт г д6 т я'и 6 дф Уравнение неразрывности движения газа вдоль криволинейной повврзиоети Рассмотрим частный вид уравнения неразрывности в криволинейных ортогональных координатах, которое применяется при исследовании обтекания криволинейной стенки.
Ось х в этой системе коо оординат совпадает с контуром стенки, а ось у — с нормалью к этой стенке в рассматриваемой точке Координаты точки Р на плоскост скости (рнс. 2.4,3) равны соответственно длине к, отсчитываеней, Пе мой вдоль стенки, и расстоянию у, определяемом по нормали к . Предположим, что стенка является поверхностью вращения, .у ммчгл оиь-1алрь.гп — Сжаолет своими рукописи обтекаемой асесимметричныы потоком газа. К ивал ордииатами точки Р будут ривалинеинымв ко- (2.4.40) ф =х, да=у, да=-'д. Э лементарные длины дуг координатных линий: Ыз~=~1+(УЯЦЫх, сЬ2= Ууе ~йа=Ыу, (2.4.41) где г — радиальная координата точки Р, отсчитываемая по нормали к оси поверхности вращения; Р— радиус кривизны поверхности в рассматриваемом сечении. Следовательчо, параметры Ламк Ь~ — 1-ЦуЯ), й1 =1, ла=г. (2.4.42) Теперь воспользуемся: формулой (2.4.24) для дЖ У, в которой составляющие скорости 1г1=Ьг =Изб=~1+ + (уЯЦ ХсУх!са 1/2 $г~ =ау(сй, Ъ' = О.
(2.4АЗ) В результате подстановки получаем — ) ( д(У,г), ) (1 + у Я)г ~ дх . ° Рис. 2.4 3 К выводу уравнения кераврыввости в криволинейиых координатах + 1 " ~ и )) ~ . (2А.4 Вычислим полную производную для плотности. П д~ дх И ду ~й д8 (2.4.45) .
5 ,.! Внося выражения (2А.44) и (2А.45) в (2.4.1), после несложных 4 преобразований получим уравнение неразрывности в следующем ' виде; — (1+УЯ)+ ~~ ') + 1~ ~ " ) "~ — О. 24,46 ~ д~ При исследовании движения газа около стенки с малой кривиэ-.$ най или в тонком слое, прилегающем к поверхности (например а-~ ) Я мам л ось-1а.врь.гп — Самолет своими рмк.ями?1 "..е- пограничном слое), координата у~Я. Следовательно, можно принять, что (д2,'д.') г+ д (ргЪ'„) 'дх 4- д(ргЪ'„),'ду = О.
(2.4.47) Полученное уравнение такое же по форме, как и для поверхности с прямолинейной образующей. В случ~е установившегося движения д (рг Ъ'„) 'дх+ д ~ ргЪ'„),'ду = О. ~2А.4Я При двухмерном движении около криволинейной стенки (цилиндрической поверхности) уравнение неразрывности будет иметь следующий вид: ~и ~ ~+ ~~~~)+ ~ ИЮ +~ ~ ~ ~1 + Су/ЛВ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
