Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Таким образом, получены различные формы уравнений движения вязкой жидкости. Это сделано по той причине, что, как показывает опыт, в одних случаях при исследовании закономерностей взаимодействия газовых потоков с обтекаемыми телами удобно пользоваться одной формой уравнения, а в других — другой В последующих главах будет рассмотрен анализ конкретных видов движения жидкости с использованием соответствующих наиболее выгодных форм уравнений. Я И. УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ДЯЭФУЗИИ ГАЗА ©л„— — — РЩдс~'да), где с; — концентрация ~-го компонента; Р; — коэффициент диффу- ммчкл оЫ>-1алрь.гп — Самолет своими рукаиит1 Уравнение диффузии Исследование движения диссоцнирующей вязкой среды может быть связано с учетом влияния на это движение диффузии газа.
Это находит свое выражение, в частности, в том, что диффузия учитывается при выводе уравнения энергии — одного из основных уравнений газодинамики. Д и ф ф у з н е й называется процесс выравнивания концентрации вследствие молекулярного переноса вещества, Это термодинамически необратимый процесс, являющийся одним из источников потери механической энергии движущейся газовой среды.
Уравнение диффузии представляет собой уравнение переноса ~-го компонента газовой смеси (это уравнение будет уравнением неразрывности для того же компонента). Для упрощения исследования можно принять, что интенсивность термодиффузнн и бароднффузии пренебрежимо мала, и диффузионный поток ~-го компонента в некотором направлении а определять по уравнению зии, определяющий диффузионный поток при наличии градиента концентрации. Для смеси компочентов газа необходимо принимать во внимание коэффициенты бинарной диффузии, соответствующие каждой паре компонентов, например атомов и молекул кислорода или атомов и молекул азота воздуха При приближенных расчетах можно исходить из некоторого значения коэффициента бинарной диффузии Ю, одного и того же для каждой пары компонентов, С учетом этого Я;л = — рЛ(дс,/дл) Рассматривая направления х, у и г, по которым происходит диффузия, можно написать: 9(д, = — рЩдс,,'дх), Ясд„= — рБ (дс„'др), (~, л, = — рЩдс;,'дх] (3.2.2 нли в векторной форме фд= — рБ ргали с,- Диффузия вещества происходит в область с пониженной кон центрацией, следовательно, дс;/дп имеет отрицательный знак.
Так как в правой части (3.2.3) поставлец У,. минус, то величина 1',1;д будет нолог жнтельной. Теперь рассмотрим вывод уравне У, ния диффузии, приняв, что движеии~ дх является установившимся я 11роисходит относительно цилиндрической системь х координат При этом будем рассматри вать поток пространственным, симмет рнчным относительно осп х, т. е. таким в котором составл яю1цая скорост1 и„= о. Выделим элементарный объем газ; в виде кольца толщиной й н длиной Рис.
3.2,1. Элеиентарнан 1а- нх (рнс. 3,2.1), построенного около точ сгица гааа а осасниматран- ки Р, координаты которой х и Г, а Оонаи пространстванном ло- ставляющие скорости 1' и $',. Примем что диффузионный поток веществ; происходит только в радиальном на правлении. Следовательно, поток 1-г~ компонента через внутреннюю поверхность элемента т„=2:тгрУ,) Хс4х+91а 2лгох, где с; и 1~1л — соответственно концентрация 1 диффузионный поток ~'-го компонента, рассчитанный на единиц~ площади. Через внешнюю поверхность поток 1-го компавентз 01 1Лг1 т + ~' Шг=т,+»'~~"~2лЫгЫх-»- — '~ 2ЫлЫ. дг 11б ммчкл оИ>-1алрь.гп — Самолет своими руками21 Следовательно, приток компонента в рассматриваемый объем равев [д(рВ~,гс,-)/дг~ 2зи~лМх+ [д Я,дг)/дг12яйгбх. Пренебрегая диффузионным потоком вещества вдоль оси х, найдем, что расход газа через левую площадку элемента, нормальную к этой аси, будет т =рЬ' с,2яМ'г, а через правую т + (дт„/дх) ах=и„+ [д (р~/„гсЯдх~ 2ш1Ых.
Таким образом, приток компонента в объем равен [д (рЪ'„гс,)/дх~ 'ЛЫгдх. Так как количество газа в объеме не должно измениться, та обший приток компонента будет равен его расходу за счет химпческих реакций Если обозначить через ($Г „„), скорость образования ~'-го компонента в единипе объема вследствие химических реакций ~кГ/(л'.сек)~, то расход компонента в элементарном объеме будет (~Г „„);2ИЫП~Х. СЛЕдааатЕлЬНО, баЛаНС МаССЫ 1-га каМПОНЕНта В- рассматриваемом объеме запишется следующим образом: д ([Ю га,'~)дх+д ~р~,гс,)(/дг = — д Щ;дг),'дг+ (%;„„Ьг. [3.2,4) Эта уравнение называется уравнением диффузии в цилиндрических координатах.
Аналогично можно получить уравнение диффузии для плоского течения, которое происходит относительно декартовых координат х н у: д ( р$~ с,)/дх+ д (рУ„с,)/ду =- — д4;д/ду+ (%',„„)„(3.2. 5) где 9;д находится из (3.2.3). Если рассматривается бинарная смесь атомов и молекул, то ~ с,= с,+с„,= 1 и, следовательно, Яхд= †(~мд. Значение (%',„„) определяется для данной реакции в диссоциирующем газе по формуле химической кинетики (4,9 7') Уравнение энергин -Уравнение энергии входит наряду с уравнениями состояния, движения и неразрывности в систему основных дифференциальных уравнений, в результате решения которых полностью определяется движение газа.
Рассмотрим систему декартовых прямоугольных координат н составим уравнение энергии для частицы жидкости в виде элементарного параллелепипеда, Это уравнение выражает закон сохранения энергии, в соответствии с которым изменение за время сИ полной энергии, состоящей из кинетической и внутренней энергий частицы, равно работе приложенных к частице внешних сил плюс приток тепла извне.
Кинетическая энергия частицы объемом т =~х~у~а Равни (рЪ/~2)т, а ее внутренняя энергия б'рт (О внутренняя энерг"я амчкл оиЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими рукамит1 единицы массы газа). Следовательно, изменение полной энерги~ аа время Й можно записать в виде —,~~ — +иУ) ~] ~~ — Р~ — „, ( — тУ)~~. Работа внешних массовых (объемных) сил при перемещении частицы за время сМ может быть представлена в виде скалярногс произведения бК, умноженного иа массу частицы рт и время Ю.
Вектор массовой силы 6=Х~+ У!+Ей, следовательно, ~дР) рай=~х~г'„+ )ъ'„+ хь;) р йй. Вычислим работу поверхностных сил. Вначале рассмотрим работу, выполненную за время й силами ат напряжений, действующих на правую и левую грани. Работа сил, действующих на левую грань„равна скалярному произведению и У, умноженному на площадь с~усЬ и время ~й, В скалярном произведении вектор поверхностных сил о =р „с+ С „,~+ С й. Работа поверхностных сил, действующих на правую грань, равна Учитывая, что силы для левой и правой граней направлены в противоположные стороны, следует принять различной по знаку работу этих сил, например положительной для правой и отрицательной для левой грани, В соответствии с этим работа всех поверхностных сил, прилаженных к левай и правой граням, ~'~ ~ ай=~ — (р „1Г +т дГ„+т„,)г,)]Ы~, ~31.6) дх ~ дх Аналогично получим выражения для работы поверхностных сил, действующих на ннжнкпа и верхнюю, а также на заднюю н переднюю грани: 1д йуГ)/др1т~~ и 1д 1а Р)/дл1 тп'~.
Имея в виду, что векторы поверхностных сил, действующих на ниж- нюю и заднюю грани„равны соответственно: а„— т~„с+ руд+ 'с„~й, о,,= т ю+ т,„1+р~~й, получим следующие выражения для работ: Фй=~ — (т У +~,„Г„+ р„Е,)] ~й. ~3.2.6') дю ~дя мчали л о$сЬ-1алрь.гп — Самолет своими рукаиит1 Энергию, падюдимую к частице газа за счет диффузии, можно выразить следующим образом. %~ гъ чд„= д юл 6~ Фдад= ~м!люб чд,= ~~~ош~ Е Я где ~, — обобщенная эитальпия компонента газовой смеси, Следовательно, Юдд, даду ) Ф~а» ~д~ ~,'1, '~'+~~~~~г, "+ дх ду дг дх . дд +~~~~~~,— ~ ай=< — ~~~~~ ~',йю0~д ий. дг Я Р Внося сюда значение Д;д из (3.2,3), получим (дед„)дх+дд „)дд+ддд(дл) тЖ=~~~~~1, й ч ~рТ) угад с) Ш1.
~329) Ю Кроме энергии, падвадимой к частице путем теплаправоднасти " ниЧ)фузии, к ией наступит также тепло ат излучения, равное етй (е — тепловой поток от излучения в единицу времени для единицы объема). ]39 мчав л о$сЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими рукаиит1 8 выражениях (3.2.6), (3.2.6') и (3 2.6") напряжения определяются соответственна зависимостями (3.1.5) и (ЗЛ. $6). Приток тепла к частице происходит благодаря теплапроводнасти, диффузии и излучению. Пусть д„д~сЬ (где д„— удельный тепловой поток) представляет собой тепловой поток за счет теплоправоднасти или диффузии, падводимый к частице через левую грань в единицу времени. За время й к частице будет подаедеи тепловой поток д„фунай.
Тепловой поток через правую грань равен — ~д + + (дд*/дх) ~Ь1Ыудай. Количество тепла, подвадимого к частице через обе грани, составит — (дд/дх)Ы1 Аналогичные выражения могут быть получены для граней, перпендикулярных асям у н г. Б результате полный тепловой поток, падвадимый к частице, будет равен — (дд,/дх+ йу„/ду+дд,/дг) аУ. Если рассматривается подвод тепла за счет теплоправадностн, та удельные тепловые потоки, равные потокам тепла па соответствующим координатным направлениям через единицу площади в еди,ницу времени, могут быть выражены па закону Фурье: ~тх= ~(дТ/д~) ~ту= — "(дТ/ду)1 ~та= ЦдТ~дл).
(3.'.У) С учетом этага — (дд /дх+ Аут„/дд+дот./д~) ай= й~ Р ата~ Т) т й, (З.2.8) дай Т =[дТ/дх) й+ (дТ/дуц'+(дТ/дг) М. Произведем соответствующую замену в (3.2ЛЗ) и вычтем полученное уравнение из 13.2.12). Учитывая, что энтальпня г=0+р/р, получим т=Ф+" ([( — ":)'+(;;"У1-т(" "+ (+ +йч(1дгадТ(+~~~'(,йт(рРдтадс)+к. (32.(4) Прн отсутствии диффузионной теплопередачи и излучения запишем уравнение энергии в виде р — = Р + 2р $~( — ") +( — ") ~ — — афпг Р)'+41,'~+ +Фъ'Р угад Т). 13.2.15) При малых скоростях движения газа, когда работа сил трения невелика, можно пренебречь диссипативными членами. Кроме того, при этом мала также работа снл давления фр/сарж О).
В данном случае вместо (3.2.15) будем имегь ЙТ/Ю=Ярс ) дйг вагаб Т). ~3.2.16) Величина Х/~рс„)=а, называемая коэффициентам темпер атурапр оводности, характеризует интенсивность молекулярного перекоса тепла. Щ ЗЛ, СИстША 3НВННМНЯ ГАВОДМНАМИНИ. ньчьльныа н гвьничныа жловия Исследование движения газообразной среды, т е. определение в каждой точке пространства параметров, характеризующих это движение, состоит в решении соответствующих уравнений, которые связывают между собой этн параметры Все эти уравнения являются независимыми и составляют с и с т е м у у р а в н е н и й г азади н а ми ки.
Число независимых уравнений системы определяется количеством отыскиваемых неизвестных параметров газа. Рассмотрим движение идеального сжимаемого газа. Если скорости потока невелики, то можно пренебречь изменением удельных теплоемкостей от температуры и не учитывать излучения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
