Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В этом случае газовое течение представляет собой термодинамически= изолированную систему н будет являться адиабатическим. Неизве-- стными величинами для рассматриваемого течения будут три составляющие скорости У~ Ъ'„, Ъ' а также давлениер, плотность р и температура Т. Следовательно, система уравнений газодинамики должна включать шесть независимых уравнений. К их числу отно сятся уравнения движения, неразрывности, состояния и энергии, ко торые принято называть оси овны ми у р а в н е н и я м и г а з о динамики. Прежде чем написать эту систему уравнений, рассмотрим отдельно уравнение энергии.
В соответствии с предположением о. 122 Ф а в(а(а л оКЬ-1алрь.гп — Самолет своими рукаыит1 адиабатнчности течения уравнение энергии (3.2Л4) преобразуем к виду Ж= Ыр/р. (3.3. Ц Если принять во внимание, что Ж=срйТ и учесть выражения и†— с =Я и р=йрТ, из которых можно найти то (3Л.1) приводятся к виду ~р/р = а фр/р). Отсюда получим (3,3.21 дР ~1 „1 дР дх И р ду дР ФР , — +рйчР=О; дх ' П (3.3.4) р= — рУ, р — = — + е. Яо Н ЮР р, ~й юИ 123 врврил оиь-1алрь.гп — Самолет своими рукамитр где А — некоторая постоянная величина, характерная для данных условий течения газа. Как известно, уравнение (33.2) называется уравнением адиабагы (изэнтропы).
Таким образом, в рассматриваемом случае уравнение энергии совпадает с уравнением адиабаты Имея в таком виде уравнение энергии, напишем все уравнения системы. о 1' х 1 дР ~11~У 1 дР Л р дх П р ду — — Р, — ~+рдИР =0 (3.3.3) Л р дх' И 1 р=рррт, у=Ар~. Рассмотрим теперь систему уравнений для более общего случая движения невязкого газа с большими скоростями, при которых удельные теплоемкости изменяются от температуры и в газе могут происходить диссоциация и ионизация. Прн этом для общности сохраним возможность излучения энергии разогретым газом.
Тогда термодинамический процесс в газовом потоке не будет аднабатическим В соответствии с этим в правой части уравнения энергии (3.2 14) останется величина в„определяющая излучаемый тепловой ноток. Далее отметим, что уравнение состояния необходимо принять в форме (1.5.8), учитывающей изменение среднего молекулярного веса брср от температуры и давления. В соответствии со сказанным, а также учитывая, что уравнения движения и неразрывности по форме не изменяются, напишем основные уравнения системы в следующем виде: Нетрудно заметить» что в данной системе донолиигельно к указанным выше шести неизвестным величинам (К, К„, $', р, р, Т) прибавилесь еще три, а именно: эитальпия ~, средний молекулярный вес газа п.о~ и тепловой поток от излучения е.
Наряду с этими величинами при исследовании течения газа необходимо определять также энтропию 5 и скорость звука а, Тогда общее число дополнительно отыскиваемых неизвестных параметров, характеризующих газовый поток, будет равно пяти. Поэтому к системе основных уравнений необходимо добавить столько же независимых соотношений для дополнительных неизвестных.
Эти соотношения можно записать в виде общих зависимостей, определяющих неизвестные величины лак функции давления и температуры: ю'= 1',(р, т); (3.3.5) У2(р» (3.3.6) ~ =УзЬ. Т)' (3.3.7) з=ЛМ ~)' (3.3.8) У5 (р» У ). (3.3.9) Нахождение этих функций является предметом специальных разделав физики и термодинамики.
Решение уравнений (3.3.4) —: (3.3.9) определяет параметры движения невязкога диссоциирующего и ионизирующего газа с учетом эффекта излучения. Изучением такого движ~ния занимается а э р а- динамика излучающего газа. В заключение рассмотрим еще более общий случай течения, характеризующийся действием сил вязкости и теплопередачей. Примем при этом, что в газе происходят химические реакции.
Тогда основные уравнения системы запишутся следующим образом (для сокращения записи будем рассматривать плоское двухмерное те- чение): 2 д + - — (роя); 3 ду 2 д + — — ( )' 3 дх — +~ сИ7 Ь'= — О; р= — рT; ~р Йо » —, = — +21» Я ' ) +( — ") ) — — )й» )')»+4- )+ +дЬ РК»»б))+~»; й»)»»»егад с,)+». в)в в л оЫ)-1алрь.гп — Самолет своими рукава» Эту систему необходимо дополнить зависимостями (3.3.5) —: (3.3.9), а также общими соотношениями для коэффициента теплопроводнасти ~=У,1Р, т)- (3,3.1 1) динамического коэффициента вязкости р=~ ~~ ~) и ~дельных теплаемкостей 13.3.
12) мм а л ось-1алрь.гп — Самолет своими рукаиит1 с,— ЛФ т), с.=МИ П- 13.3. 13) Лве последние величины не входят явно в уравнения 13.3.10), тем не менее они используются при их решении, поскольку в ходе исследования течения газа определяются его термодинамические характеристики. Так как в уравнении энергии учитывается еще диффузионная теплопередача, то дополнительно иадо включить уравнение диффузии (3.2.5). Одновременно следует принять во внимание, что входящая в уравнения энергии и диффузии концентрация с; является функцией давления и температуры и может быть записана в ниде общей зависимости с, =„~1о (р, Т). 13.3.14) Приведенная система уравнений, включающая основные уравнения газодинамики и соответствующее количество (по числу отыскиваемых неизвестных величин) дополнительных соотношений, рассматривается в аэродинамике вязкого газа и позволяет, в принципе, найти распределение нормальных и касательных напряжений, а также аэродинамические тепловые патоки от разогретого газа к обтекаемой стенке.
В конкретных случаях, для которых возможна определенная схематизация процесса обтекания, приведенная система упрощается, что облегчает решение дифференциальных уравнений. В ходе этого решения возникает необходимость привлечения зависимостей дополнительно к тем, которые были приведены, используемых для определения характерных параметров движения. В их числе, например, зависимости для определения удельных теплаемкастей и степени диссоциации по давлению и температуре, формулы для расчета напряжения трения по скорости и др. Решение системы газодинамических уравнений, описывающей обтекание заданной поверхности, должна удовлетворять определенным начальным и граничным условиям этого обтекания Н а ч а л ь н ы е у с л о в и я определяются значениями параметров газа для некоторого момента времени и имеют смысл, очевидно, для неустановившегося движения Г р а н и ч н ы е у с л о в и я накладываются на решение задачи как аб установившемся, так и неустановившемся движении и должны выполняться в ка ждый момент врем ен и этого движения.
По этому условию решение должно быть таким, чтобы параметры, определяемые им, равнялись бы на границе, разделяющей Р рад Р— О. Принимая ва внимание, чта агади= . — з,т —. — 1г+ —. — 1з, (3.3.15) 1 дг 1 1 дР' . 1 дР' Ь1 дд1 Ьз дун Ьз д~з условие безотрывного обтекания напишем в виде ь| дд1 ьз дд2 Ьз доз [З.3. 16> Для декартовых координат стад Р = 1дР/дх) ю, + [дР/ду) ю, + (дР(дх) юз.
Следовательно, для 13.3.16) получйм 1'„[дГ(дх)+ 1'у [дГ/ду)+ 1', [дГ/дз) =О. В случае двухмерного плоского течения Ъ~у дР/д» 1' дГ'(ду Если уравнение поверхности задана в цилиндрических координатах, то дР . дГ ., 1 дГ . Ггад Р = — 11+ — 12+ — - — 1з, д»1 дг 2 г ду" следовательно, условие безатрывнаго обтекания будет — Ь „+ — 1~,+ —. — 1~,=О. дГ' дР 1 дР дх дг г д7 В частном случае, когда обтекается поверхность вращения, полу чим равенство 126 ммчкл оКЬ-1алрЬ.га — Сжаолет своими руками возмущенную и невазмущенную области течения, значениям неваз мущенных параметров Второе граничное условие определяется характером течения газа на обтекаемой поверхности.
Если газ невязкии и не проникает сквозь такую поверхность, та течение характеризуется безотрывнастью В соответствии с этим условием б ез о т р ы в н а г о обтекания в каждой точке поверхности составляющая скорасти, нормальная к ней, равна нулю, а вектор полной скорости совпадает с направлением касательной к поверхности.
Известна, что вектор птах Е[Е(дь оз, дз) =Π— уравнение обтекаемой поверхности, ди дз, дз обобщенные криволинейные координаты[ совпадает по направлению с нормалью к поверхности. Тогда прн соблюдении условия безатрывного обтекания скалярное произведение этого вектора и вектора скорости Г будет равно нулю. Следовательно, в математической форме условие безатрывного обтекания можно представить таким образам: (3.3.18 ) (дР/дх) Ь' +(дР/дг) Ь;= О, из которога найдем условие для отношения скоростей: (3,3.19) $ Э.4. ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЯ ЖИДКОСТИ Дифференциальные уравнения, написанные для общего случая движения газа, в конечном виде не интегрируются.
Интегралы этих уравнений можно получить лишь для частнога случая течения идеального (невязкаго) газа, Уравнение движения идеального газа записывается в векторной форме следующим образом: д71/дМ+ягаг1 (1 "/2)+ га1 1' Х Р= — (1'р) дгаг1 р, (3 4,1) Эта уравнение можно получить из векторного соотношения (3.1.22), в катаром члены в правой части, учитывающие влияние вязкости, следует принять равными нулю В записанной форме (3.4.1) уравнение движения впервые было получено русским ученым проф. И. С. Громека. С учетом массовых сил уравнение Громека принимает следующий вид: д1'/д1+ ягаг1 ($г'2/2)+ АР Х Р=б -(1ф ргали р.
(3.4.2) Предположим, что н е у с т а н о в и в ш е е с я течение будет и от е н ц и а л ь н ы м и, следовательно, го1 р'=О, Ч = дга11 щ Кроме тога, примем, что массовые силы имеют потенциал К поэтому вектор Г = — огай О, где цгада=(дУ/дх) 1+(дп/ду) /+(д~У/да) й. Если среда обладает свойством баротропностн, характеризуюшимся однозначной зависимостью между давле11нем и плотностью (это "меет место, например, в случае адиабатического течения, для которого Р=Ар~), то отношение Нр/р равно дифференциалу неко~арой функции Р и, следовательно, ( 1/р) дгаг1 р=ятаг1 Р. вмяв оКЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими рукамит1 Можно сформулировать и другие граничные условия, которые определяются для каждой конкретной задачи, причем граничные условия для вязкого газа отличаются от условий для идеальной среды. В частности, ари исследовании движения вязкого газа в пограничном слое решения соответствующих уравнений должны удовлетворять условиям на поверхности и на внешней границе пограничного слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
