Лысенко Л.Н. Наведение и навигация баллистических ракет (2007) (1242426), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Для основных характеристик движения полные отклонения (вариации) равны: Й~, = Й~,+ у„Й„; бт„= Ла, +х„б1,; бук = 2зук + ук б(к~ (4. 136) где М'„, Л2„2зу, — изохронные вариации в момент времени 1,. 4.8. Лннеарнзация уравнений движения ~(6 сг с ) = ~(6*+ бс1 с *+ бс ) = 1/ д д д 2 Ы1~~ с2~ ° ° сти)+ ~ ос1 + ос2 + + б~п х 4д~* д~я* " д~- "7 1/ д д д х7 (11*~42*,,6и)+ ~ — ог1+ — 612+ + огп) х 21 ~, д~ы д~~, дс„, х 7" (С1„,..., С„„) + й, (4.137) где С1, — расчетные (номинальные) значения определяющих параметров. Отклонение функции 7" ((1, ~2,..., г„), вызванное отклонениями параметров от расчетных значений бб1, оС2,..., оС„, будет о2 (ь1,ь2, 6~) = = ~ ф, + 8~„..., ~„.
+ Ь~„) — ~ (б„,..., б„,) . (4.138) 150 Математический смысл линеаризации состоит в том, что искомое отклонение элемента находится разложением соответствующей ему функции в ряд Тейлора по степеням отклонения элемента. Напомним формулу разложения в ряд Тейлора для функции многих аргументов А = ~(с1,с2,..., с„), поскольку к такого рода функциям относятся элементы траекторий ракет. Формула разложения имеет вид Первый член разложения (4.137) и второй (4.138) равны, имеют разные знаки и сократятся, поэтому общая формула для отклонения функции !' (с1, с2,..., с„) может быть получена в следующем виде: ЧЖ,6,".,с ) = 1/д д д = —, ~ — Ье1+ — Ьбз+... + — 5(„ дс1* М2~ Мп* )/д д д х 7" (с1„с2„..., ~„,)+ — ~ — Ьс1 + — 5(2 +... + — 5( ) х 2! ~, д(1* д(г* дс ° х 7" ((1., г,2......
~п,) + В. (4.139) Число членов разложения, учитываемое при расчетах, зависит от требуемой точности определения отклонения. Чаще всего прн решении практических задач баллистики учитывают только линейные члены разложения. В этом случае формула (4.139) примет вид Ч(с1 с2 " с ) = — 5(1+ — 5(2+... + Щ,. (4.!40) Найдем выражение для отклонения производной вида Ь (х — ~ . Щ'1 й /оС'1 1(С ИО Так как 5 | — ~ = — — (х — ), а ( = ~, + 5(, то получим ~ (1~ 11 ~д1). Ь вЂ” = — (с, + Ьс) — — = — 5~. (4.141) Таким образом, если мы имеем систему дифференциальных уравнений возмущенного движения, составленную из и уравнений вида д(~ = Л (С1 С2 1п) (4.142) ٠—" = 1п(6,42, .,Ы, 15! то на основании (4.!40) и (4.141) она легко приводится к системе уравнений в отклонениях ос1 = ос1 + бс2 + ..
+ Жл~ (4.143) бг = 66+ Ьсг+ .+ — ' Ьс . Если невозмущенное движение известно, т.е. элементы ~ы((), с2,(1), сз,(() и другие заданы, то будут известны в функции време/ал'1 ни и частные производные вида ~ — ), стоящие в системе (4.143) ), а6). при отклонениях элементов б~ь В этом случае (4.143) будет представлять собой систему линейных дифференциальных уравнений, в то время как исходные уравнения невозмущенного и возмущенного движений (4.142) линейными не являются. Используя изложенный подход, проведем линеаризацию системы дифференциальных уравнений, описывающих простой случай продольного движения ЛА на активном участке траектории.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений движения ЛА, считая, что тяга направлена по оси ракеты и приняв ХР = УР = О, т — = Рсоа а — Х, — Яв)п 0; Ж (е тà — = Рв)п а+ У, — Ясов 0; Ж 1, '=М,. й (4. 144) 152 При линеаризации не будем учитывать влияние на возмущенные характеристики движения изменения массы бт и момента инерции б1„т.е. будем считать, что масса и момент инерции для невозмущенного и возмущенного движений изменяются по времени одинаково: т (г) =- т~ (г) и 1г (г) = 1~ (г). Кроме того, пренебрежем влиянием отклонения высоты на аэродинамические характеристики и тягу. Для малых значений бу это влияние несущественно, поскольку функции Н (у), р(у), л(у) и а (у), через которые оно проявляется, изменяются медленно.
Поэтому можно записать АА дЪ" Л; 'з гп ~ — — — ) = Ь (Р сов а) — ЬХа — б Я гйп О), ~,(( а ) ( (О (О,') т ~ У вЂ” — К ') = б(Ргйп а)+ ЬУа — б((;)сов О), (4.145) й Ж Х,. = ~з ($'., а„) и Х, = ~з (Ъ; а), Уа, — ~2 (КА~ <х*) и Уа = ~2 (11 (х) ~ М,„= (з (Ъ'., а„) и М, = 7з (У, а), то, разлагая последние зависимости в ряд по формуле (4.137), полу- чим с учетом только линейных членов бХ =Х,— Х,.= ' ЬУ+ ' ба, ЬМ, = М, — Л1„= — ' ЬУ+ — ' ба. (4.146) Значок * показывает, что данная величина относится к невозмущенному движению в момент, соответствующий началу действия возмущения. Введем сокращенную запись частных производных — = А~ и перепишем формулы (4.146) в таком виде: ЬХ, = Х„' бу+Х;ба; бу = у,' бу+уаба; ЬМ, = Ма б)А+ М,'"ба.
153 При принятых упрощениях отклонения аэродинамических сил и моментов будут зависеть только от двух величин — отклонения скорости полета ЬУ и угла атаки ба. Если обозначить Подобным же образом найдем отклонения для членов, содержащих тягу Р, Ь(Рв1па) = Рсоа а.
Ьа; Ь(,Рсоа а) = — Рейна. ба. Считая вес ракеты Я на участке возмущения постоянным, получим ЬЯгйп О) = Ясов О, бе, Ь Ясов О) = — Явш О. бе. Для сй' ~Л'„д — — — = — ЬУ, Ж Ж о1 У вЂ” — 1.— '=1,— ЬЕ+ ЬУ вЂ” *+ Ь вЂ” Ье=«„— ЬЕ НО дК д дК г1 й г1г 'Й й й пг (без учета членов второго порядка малости), д го, Н' д ~1з д д' д„ Н' — — — — * = — ье ° ье= ье- ьа, ,Ц,112 ~,нз,н2,Ц2 а также, принимая, ввиду малости угла а„что гйп а, = а, и соя а„= 1, получим следующую систему линеаризованных уравнений: с~ ЬУ т = — Х" ЬУ вЂ” '1Ра. +Хо — Ясов О,) Ьа— ц~ а а -Ос ° е.
ье, 1ЬЕ 1ьа (4.147) = У1 ЬУ+ (Р+ У," — Яв1п О,) Ьа+ Яв1п О, Ьд; ~2 Ье М$IЬУ, Маьсг 112 г Л Эта система состоит из линейных однородных дифференциальных уравнений с коэффициентами, являющимися известными функциями времени. Результаты линеаризации более сложной системы приведены в работе 126). Для определения отклонений характеристик возмущенного движения от невозмущенного на основе второго подхода, необходимо в основную систему уравнений (например, (4.85) — (4.105)) добавить члены, учитывающие возмущающие факторы вида Х„; У,„; У„; Мя,', М„и найти параметры движения БР по возмущенной траектории. 154 2 -х. -8с е -8в1п Е; Е= ги Ъ' у = 1" в1п Е; х = Ъ'сов Е.
(4. 148) Обозначим праву часть первого уравнения через аг и раскроем входящие в нее величины. Примем, что с — функция только числа 155 Общая система нелинейных дифференциальных уравнений пространственного движения рассматриваемого класса ракет в результате ее линеаризации и упрощений распадается на две независимые системы линейных дифференциальных уравнений движения в отклонениях, причем одна из этих систем описывает продольное возмущенное движение ракеты, происходящее в вертикальной плоскости, а другая — боковое возмущенное движение.
Очевидно, что две независимые системы линейных уравнений могут быть решены значительно проще, чем единая исходная система из нелинейных дифференциальных уравнений и геометрических соотношений, особенно если будет использована ЭЦВМ. Однако ясно, что простота решения достигается в ущерб его точности. Следовательно, при использовании метода линеаризации уравнений движения, в основе которого лежит условие достаточной малости возмущений, необходимо знать, какова точность получаемых расчетом результатов или, иначе, какими пределами должны быть ограничены исследуемые возмущения, чтобы ошибки расчета по уравнениям в отклонениях не превосходили допустимых.
Исчерпывающий ответ на этот вопрос может быть получен путем сравнения результатов приближенного и точного решений, однако из-за уже отмеченной трудоемкости последнего такой метод оценки точное~и не имеет широкого применения. Поэтому часто используют менее строгие, но более простые косвенные или приближенные методы оценки погрешностей 126]. При получении приведенных выше линеаризованных уравнений основные действующие факторы — тяга, аэродинамические характеристики и другие — были представлены в обобщенном виде без анализа влияния факторов более низкого уровня, например, изменения единичного импульса тяги, плотности среды и т.
п. Учитывая сложность задачи, в качестве примера получим дифференциальные уравнения в отклонениях для активного участка траектории, используя в качестве рассматриваемой упрощенную систему уравнений М и не изменяется с высотой. Будем считать также, что для данной расчетной точки траектории изменение тяги не зависит от изменения высоты у: а~ =, ~(т~ 1, я — с, (М) — уа(п Е. (4.149) уг то — )т)1 ~ ~ 2 Последнее равенство может быть переписано в виде функциональной зависимости а1 = Л (Ъ; Е, у, 1,„, д, р, с,„(М), то, ~т1).
Обозначая правую часть второго уравнения через аа, запишем функциональную зависимость ав = 1з (1~, Е). Поступая подобным же образом, можем написать для третьего и четвертого уравнений ая —— 1з(К е) и а = ~4(К е). Используя формулу линеаризации (4.143), получим систему дифференциальных уравнений в отклоне- ниях — (й/) = от даь + — ь др дан даи дан дан — Ь) Ь Е+, Ьу+ Ь1„+ у ед дан дан дан р+ — Ьс,. + — Ьтс + Ь1т~; дс, * дтс д ~т~ дав дав — (ье) = — ь) + — ье; й дЪ' дЕ с( да„дав — (ьу) = — "ь + — "ье; Ж д$' де 4( да да, — (ь ) = — *ь + — *ье.
й д(' дЕ (4.150) да1 Я р$' ~ Мде . (М)1 доь до Р 1 а1 в = — = — усов Е; ат т„= — = — — ' дЕ ' " д1, тЕ,' да~ 1 гз д р а~ я — — — — — — — 5 — с,. (М) —; ду т 2 * ду' даь Х, 1 до Х 1 аЬя — — — — — — —, а4,. = — = —— др ги р' " дс,„т с,. (М)' (4.151) 156 Нахождение баллистических производных да,/д9 во многих случаях представляет хотя не сложную, но трудоемкую задачу. Для принятой нами системы найдем да 1, Р— Х„1 аь,„„= — =— дте т т даь 1 (Р 1т~1 (Р— Х,) аьй„~=, = —, ~ — +— д)т! )т! (т т тп дае ясов 0 дае тяп 0 ае" = ду.
= р,г ' аее= аО = аая, да„ аяз = — = яп 0; аяе = — = 1'сов О; а '" аО да,, да., а,1 = — ' = сов 0; аяе = — = — Ъ'яп О. д$' ' "' дО (4.! 51) После этого систему дифференциальных уравнений в отклонениях запишем в таком виде: г) дг — ( ЬЪ') = аг к ЬЪ" + аи е Ь 0+ агя Ьу+ +аз г„б1,д + аь с Ься„+ аь то Ьте + аз 1,„1 Ь )т(, Ж вЂ” ( Ь 0) = аеь ЬЪ'+ аее Ь О, Н аг — ( Ьу) = а„г ЬЪ' + аа е Ь О, И Й вЂ” (Ьх) = а г Ь)'+ а,е ЬО. (4.152) д дар дан дар даг дан — ( ЬЪ') = — Я" + — ЬО+ — Ьр+ — Ьс . + — Ьте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
