Лысенко Л.Н. Наведение и навигация баллистических ракет (2007) (1242426), страница 23
Текст из файла (страница 23)
С другой стороны, особенности их применения на ГЧ требуют отдельного обсуждения 142). 4.3. Векторно-матричные представлении уравнений движении ракет как тел переменной массы Под моделью понимают схематизацию реального процесса движения. В математической модели движения уточняется схема ЛА, определяются параметры среды, в которой движется аппарат, силы и моменты, действующие на ЛА. Конкретный вид математической модели зависит от допущений, положенных в основу модели, выбранной системы координат и системы действующих сил.
120 т хь(1) = ~~ срьз(1)ад (к = 1,2,...,п), з=! (4.62) где <рь (1) — произвольно выбираемая линейно независимая систе- 3 ма функций; а — постоянные коэффициенты — это формальная модель. При произвольном предполагаемом действии возмущающего фактора модель называется факторной. 121 При расчете различных моделей движения ЛА может быть аппроксимирован материальной точкой, твердым телом или схематизированным упругим телом.
Уравнения движения ЛА, записанные в любых координатах, в общем случае являются нелинейными дифференциальными. Порядок системы дифференциальных уравнений, описывающей движение материальной системы с конечным числом степеней свободы, будет равен удвоенному количеству степеней свободы. Нелинейные модели используют для прямых и проектных баллистических расчетов, линейные л!одели — для исследования систем управления, определения ошибок и характеристик точности стрельбы.
Нелинейные модели движения могут быть преобразованы в линейные методом линеаризации, основанным на принципе малых отклонений. Если уравнения, описывающие движение ЛА, не интегрируются в конечном виде, они относятся к группе так называемых дифференциальныхмоделей. Интегрируемые в конечном видедифференциальные уравнения составляют группу аналитических, или конечных моделей. К последним относят дифференциальные уравнения, описывающие движение материальной точки без учета сопротивления среды (параболическая и эллиптическая теории) (29, 32).
Все перечисленные модели движения могут быть отнесены к определенным, если известны (или заданы) все действующие факторы и внешние условия. Случайные составляющие, дающие основание отнести соответствующую модель к числу стохастических моделей, должны быть заданы в виде случайных функций или чисел, причем с известными характеристиками распределения их вероятностей.
Движение при наличии априорной неопределенности в условиях применения предполагает использование неопределенной модели. В подобных случаях движение рассматривается при представлении модели в виде выбранного формального разложения типа Пзае — ~~~ е' г + ~ ~ рз. (4.63) г=1 1=1 Скорость и ускорение центра масс ракеты в абсолютном движении соответственно ~г, = ~7, + ~Ге; а, = а, + а„+ 2( оз х ~г„), (4.64) где го — вектор угловой скорости вращения корпуса ракеты относительно неподвижной системы координат (с началом, совпадающим с центром масс).
Из последнего равенства определим а, и подставим в (4.63). Тогда уравнение движения центра масс системы (корпус — топливо— газы), записанное в векторной форме, получим в ~аком виде: и т гпае =',г к'1+ ~~1 Гр + та, + 2т( го х 'Ч,). (4.65) г=1 5=1 (22 Указанные модели нельзя считать взаимно независимыми и строго разграниченными.
В зависимости от назначения баллистических исследований движения реальные ЛА в разных условиях могут описываться разными дифференциальными и конечными уравнениями, содержащими детерминированные и стохастические факторы. Подобные комплексные модели относят к группе смешанных (колгбинированных) моделей (! 4]. Прн составлении моделей, предназначенных для исследования движения центра масс БР, следует иметь в виду следующее: силы, действующие на ракету, приложены к ее корпусу; вместе с тем центр масс всей системы (корпус — топливо — газы) перемещается относительно корпуса за счет расхода рабочего тела (выгорания топлива и истечения газов).
Обозначим скорость и ускорение центра масс системы в абсолютном движении через Ъ', н а . Движение корпуса н жесткосвязанных с ннм частей (т. е. и той точки тела, с которой в данный момент времени совпадает центр масс) относительно неподвижной системы координат будет переносным. Скорость и ускорение центра масс корпуса в переносном движении обозначим через тГе и ае = гЖ,ггпу. Скорость и ускорение центра масс системы (корпус — топливо — газы) относительно корпуса ракеты обозначим через зг, и а,. Из механики тел переменной массы известно, что произведение массы тела на переносное ускорение центра масс равно равнодействующей всех внешник и реактивных сил, действующих на тело, т. е.
У ракет с двигателями на жидком н твердом топливе отделяющиеся массы получают относительную скорость еще в камере сгорания двигателя до момента выхода частицы за плоскость наружного сечения сопла, т. е. до потери связи с основной массой ракеты. Кроме того, у ракет на жидком топливе горючее и окислитель перемещаются в процессе работы двигателя внутри корпуса ракеты.
При взаимодействии движущихся потоков с корпусом, колеблющимся в поперечном направлении, возникает кориолисова сила Г„,р. Запишем уравнение движения центра масс ракеты с учетом этой силы: п гп гпаа = ~~> Рт + ~~> $'р) + Укор + тОт + 2т( оз х 'Ч„). (4.66) ~=1 з=1 Добавим в последнее уравнение слагаемое, учитывающее нестационарность движения масс внутри ЛА. Пусть количество движения топлива и газов, перемещающихся внутри корпуса, в момент времени 1 Равно Ц„р, а в момент вРемени 1+ й Равно с)вч, + бЦвч,. Очевидно, за промежуток времени г)г изменение количества движения подвижных масс равно бцмр и уравнение движения запишется в более полной форме: и п~ та, = ~Г,+ 2 Рш+Р р+та,+2т( ш х ~г,)+ ~.
(4.67) а'г Составляющую Й~„р/Ж принято называть вариационной силой. Уравнение (4.67) соответствует принципу затвердевапия [59). В соответствии с принципом затвердевания уравнение движения тела переменного состава можно записать в виде уравнения движения тел постоянного состава, имеющего мгновенно зафиксированную (затвердевшую) массу. В число снл, действующих на тело, включаются внешние, реактивные, кориолисовы и вариационные.
Вариационные силы и моменты отражают нестационарность движения масс внутри корпуса ЛА. Однако в большинстве случаев процесс перемещения рабочего тела внутри ракеты можно принимать за квазистационарный и не учитывать вариационные силы ввиду малости. Кориолисовы силы, действующие на активном участке траектории и обусловленные движением масс внутри корпуса ракеты и ее колебаниями, на движение центра масс почти не оказывают влияния. Кориолисовы силы, появляющиеся при рассмотрении относительного движения 123 ракеты в связанной с Землей системе координат, действующие на всей траектории, оказывают заметное влияние на ее полет только при движении со скоростями, превышающими 2000...3000мlс и будут учтены нами ниже.
В инерциальной системе координат уравнения движения центра масс ЛА записываются в виде П 7П тп — = ~Г;+ ~Е (4.68) г=1 П т где ~~ Р, и ~~1 Ррз — векторы суммы внешних и реактивных сил. г=1 7=1 Уравнение движения центра масс ЛА относительно подвижной связанной с Землей системы координат имеет вид Пттаа = ~~ Рг + ~г Ррг' + ( гтивпер) + ( тннкпр) (4.69) г=1 7=1 где ( — пткв„ер) и ( †таг) — переносная и кориолисова силы инерции, определяемые вращением Земли.
Для прямоугольной системы координат с началом в условном центре Земли при направлении вектора угловой скорости ее вращения й по оси Ото получим дй Опер — — Х Г + вквь Х ( квьк Х Г) . сй (4.70) Если принять й = сопи, то переносное ускорение Опер = $2 Х ( $2 Х Г) (4,71) а кориолисово ускорение, определяемое вращением Земли, а„,р —— 2( й х 'Ч), (4.72) * В дальнейшем индексе 1 заменяется на индекс соответствующей выбранной системы координат. 124 где "К вЂ” относительная скорость ЛА.
Очень часто возникает необходимость представления уравнений движения центра масс в подвижной системе координат ОХ1 у)к'1*, связанной с ракетой. Воспользуемся правилом перехода от непо- движной системы координат к подвижной; Л~, )Чм т — ' = т — '+ трез х ~1,!~ = ~> Г, + ~Бр., (4.73) !=! з=! !Т~а! где — — производная вектора скорости центра масс ракеты в по!з'! движной системе координат. Для земных систем координат !ГЧ вЂ” ~ ! + ~~! ~ р1 птапер такор !4.74) а'! г=! з=! Если оз — угловая скорость вращения осей подвижной системы ко- ординат относительно осей, связанных с Землей, то а у' д" 11 — = — + азха', ~Й !зт (4.75) где Ы*~!!Ж вЂ” локальная производная. Тогда векторное уравнение движения центра масс ЛА с учетом влияния вращения Земли будет иметь вид /Н* тг т ~ + аз х 11~ = 2 Р,+~ Рр, — та„„р — та„р.
(4.76) !, )! ~=! !=! Для любой прямоугольной системы координат ОХ!У!Е!, начало которой совмещено с центром масс ЛА, на основании (4.73) можно написать три скалярных уравнения движения центра масс; 'у',у + о!у, Ъч — оз„1 и (4.77) 1 у! + юи рг! озх~ 1 и ~риз 5=1 $"„+ оз.,Г„, — озу!$'., 125 п ~ 'К.п + п ~м! ю=! в Г,п и=! т '~ '.Ер.,у у=! т ~ ~Ругу у=! где р' „)гм, $'„— проекции вектора скорости центра масс ракеты на оси связанной с ним началом системы координат; в„„оэ„„в„— проекции вектора угловой скорости вращения связанной (1-й) системы координат относительно системы координат, также движущейся с ракетой, у которой направление осей неизменно в пространстве и совпадает с направлением осей неподвижной системы координат, п и ги Ш на выбранные 1-е оси координат; ~~ Гг,1, ~~ Ем1, ~~1 1г,э, ~ ~1Рр„1, г=1 г=1 1=1 г=1 ги Г „м, ~ Грвз — проекции действующих на ЛА внешних и ре- Е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
