Локк А.С. Управление снарядами (1957) (1242424), страница 53
Текст из файла (страница 53)
7 268 твогия слвдящих систем жения, (7.! 6) — = а+Д з« о откуда в/ у"пг [ ьт / = з ь — = агс!д —, зг а' (7.17) (7.18) где ! — 1 означает модуль, а г — †фа этого комплексного числа '). з« ~з« з,[ /в, Применяя децибел в качестве единицы усиления, мы можем написать: ~ а~ 20!о[ о) (7. 19) т) Обозначению Гл соответствует в нашей литературе агя л (аргумент комплексного числа). (Приап перев.) Пользуясь уравнением (7.14), можно сразу дать следующее грубое описание амплитудной и фазовой логарифмических характеристик. 1. Наклон асиптотического отрезка в области низких частот определяется членом с низшей (по абсолютной величине) степенью. Наличие постоянного члена показывает, что наклон равен нулю.
2. Наклон асимптотического отрезка в области высоких частот определяется членом высшей (по абсолютной величине) степени. Этот член содержит з-з, что указывает на наклон — 2. 3. Аснмптотические отрезки (или их продолжения) пересекают линию 0 дб на частотах, определяемых каждым из соответствующих членов, рассматриваемым отдельно; при этом частоты находятся из равенства — '= 1. В формуле (7.14) постоянный член есть единица, так о, что низкочастотная часть асимптотической характеристики проходит через 1, т. е. совпадает с линией 0 дб. Член второго порядка после 2 г подстановки а =у««дает ! = К вЂ”; так что прямая с наклоном — 2 ив пересекает линию 0 дб при ю= юг р'К.
4. фаза равна 90', умноженным на наклон амплитудной характеристики, причем отрицательный наклон соответствует отставанию по фазе. Для формулы (7.11) фаза равна нулю при нулевой частоте и достигает — 180' на высоких частотах; ее среднее значение есть — 90' на средней геометрической частоте. Ам плит удная и фа зов а я характеристики. Амплитудную и фазовую характеристики можно получить из выра составленного для †, если положить: э« зт ' 7.31 пвгвый основной тип слвдящвй системы 269 Для установившегося решения полагаем д= (ы, и передаточная функция (7 14) переходит в частотную характеристику -"= (' )'+ ~" +1 . (7.20) ч Заменяя е на безразмерную частоту гч = †, получим: Оч зг = П' д)+'К1 .
(7. 21) Модуль этого числа, выраженный в децибелах, будет: — = — 10!д~Р~ — +Ра( — — — ) — + 1~, (7.22) а фаза будет: / — '= — агс(д[ (7.23) На рис. 7.3 показаны амплитудная и фазовая характеристики замкнутого контура при трех значениях коэффициента усиления. Форму амплитудной характеристики можно легко себе представить, если воспользоваться тем, что она всегда касается той части асимптотической характеристики незамкнутого контура, которая имеет наклон — 1 (т.
е. — 20 дб на декаду). Отсюда следует, что если, например, коэффициент усиления равен 1О, то при резонансе, имеющем место на частоте в=-ю,ф' 10, выход будет в у' 10 ж 3,1 раза больше входа. Вообще желательна характеристика, обладающая минимальным резонансным пиком вместе с подходящей эффективной полосой. Пра проектировании часто стараются достигнуть К = 1. Приравнивая нулю коэффициент при гча в (7.22), получаем, что условие отсут- 1 стеня резонансного пика есть К ( — . Запасы устойчивости по модулю и фазе. Запасы устойчивости по модулю и фазе определяются из характеристик разомкнутого контура.
Запас устойчивости по модулю, выраженный в децибелах, есть число децибел, отсчитанное от усилении, равного единице, при частоте, соответствующей фазе в 180'. Для системы, к которой относится рис. 7.3, запас устойчивости бесконечно велик, так как характеристика с наклоном — 2 достигает фазы 180 при бесконечно большой частоте. Чтобы получить запас по фазе, нужно вычесть из 180' величину фазы, соответствующую усилению, равному единице. Для системы, к которой относится рис. 7.3, запас устойчивости по фазе равен приблизительно 66' при К= —, 62' при К=1 и 39' при К=2. 270 (гл. 7 твотия слвдящих систвм .Переходный процесс при единичном скачке на входе. Как уже было сказано во введении к настоящей главе, частотный метод очень удобен при проектировании следящих систем.
Яг 9йе .,а~ -/уу дгуу ддг яд г г Рис. т,а. Первый основной гин следящей системы. Частотные характеристики замкнутого контура для трех значе- ний коэффициента усиления. Тем не менее, необходимо производить проверку путем исследования переходных процессов.
Для этого мы прежде всего найдем изображение в смысле Лапласа йт(з) входа Ог(Г), заданного в виде функции времени (7.24) 2 (бт(Г)) = йг(з) пегвый основной тип слвдящвй систвмы 271 7.3! Изображение выхода системы получим в виде (8) = 0~ (8) 0 ° (8). (7.26) Оригинал выхода, т. е. выход, как функцию времени получим при помощи обратного преобразования Лапласа 2 '(02(8)) = 0о(Г).
(7.26) В качестве входного возмущения мы выберем единичный скачок, считая от наяального нулевого положения: 0; (г) = и (г). (7.27) Используя приемы, изложенные в главе 6 (формула (6.6)), мы получим 02 (8) = 2 [02 (1)] = 2 (и (2)) = — . (7. 28) Для первого основного типа следящей системы — дано уравнением ео 0, (7.14). Поэтому, если на вход подан единичный скачок, то при нулевых начальных условиях мы будем иметь: Кш 2 0о(8) = (82 + + К 2) ао а2 02 (Г) = 1+ — ' е,г ' е,г аг — ая аг — аз (7.3!) причем а, = — '(1+ 1Г! — 4К), 2( (7.32) (7. 33) Критическое (апериодическое) затухание соответствует К = —, 1 4 ' 1 т.
е. шо= — ш2. Обычно применяется безразмерный козффипиенл2 4 затухания (, который определяется как отношение существующего в системе коэффициента затухания к критическому, т. е. к такому, когда система становится апериодической. Чтобы упростить отыскание оригинала при помощи обыкновенных таблиц, мы применим к (7.29) метод разложения на простейшие дроби. Получим: 1+ ао 8 (аг — ао) (8+ а2) (а — ао) (8+ а ) (7.30) где 8+а, и 8+а2 означают множители, на которые разлагаетея квадратный трехчлен в знаменателе формулы (7.29).
Из таблицы изображений в смысле Лапласа и их оригиналов мы найдем: [гл. 7 272 твогия слвдяших систем Дифференциальное уравнение для отклика системы чаще всего пишут в форме или в другой форме — относительно ошибки з, получаемой заменой 0е на е при помощи формулы е= 0,— 0з. Параметр в„есть собственная частота системы, причем в„ = "1«гв в = в у' К. Безразшг 1 иерный коэффициент затухания определяется формулой ч= 2из 2 г«К 1 В случае передемпфированной системы К ( — и из(7.31) мы полу- 4 чаем: 0 (1) =! — е з [ ! 1 + р 1 — 4К) е 2 (1 — 4К) — (1 — 71 — 4К)е з 1' (7.35) Выход системы, определяемый формулой (7.35), состоит из постоян- 1 ного и двух экспоненциальных членов.
В случае, если К ) — (т. е. " ( 1), появляются комплексные величины, и решение необходимо записать в форме, отличающейся от (7.35). Решение будет состоять нз постоянного члена и члена с затухающими колебаниями: —,г 0 (!)=1 — е ' з[п(р'4К вЂ” 1 — '+а!с!И74К вЂ” 1). (7.36) На рис.
7.4 представлены графики переходного процесса для тех же грех значений усиления, которые были использованы при построении частотных характеристик. Величину К = 1 часто принимают как компромисс между требованиями малого времени переходного процесса ') и малого заброса и запаздывания. Заброса не суше- 1 ствует вовсе при К ( — ~в то время как резонансного пика не 11 существует при К ( — 71. В установившемся режиме ошибка следящей системы равна нулю.
Для сравнения напомним, что простой односекционный !«С-фильтр нижних частот при входе в виде единичного скачка дает на выходе простую экспоненту, обращенную выпуклостью кверху. В этом случае касательная в начальной точке пересекает прямую конечного состояния в момент, когда выход ") Время переходного процесса здесь следует понимать в физическом 'смысле вотличие от математического. См. Т К а 1ег О. Л. апд В говп В. О., ВегтоглесЛап!ат Апа!уз!з, 1зг Ед., М«Отав-Н!!! ВооК Со., 1пс., Хев УогК.
1933, р. 90. [См. также «Терминология управления, регулирования и авточатики азиадзигателейм Изв. АН СССР, 1954, Термин 37. (Приве перез.)! 7.31 пвгвый основной тип следящий систвмы 273 системы равен 1 — —, или 63,2/е конечного значения; этот момент о е ' определяет постоянную времени фильтра. В случае системы второго порядка, рассматриваемой здесь, для описания переходного процесса лучше пользоваться величинами, изображенными на рис. 7.5.
Найдем точку перегиба кривой; пусть ей соответствует момент 12. Проведем касательную в точке перегиба. Пересечение касательной с осью абсцисс определяет параметр тоо, который мы назовем запаздыванием бу 4 Х е 7 мое Рнс. 7кй Переходный процесс следящей системы первого основного типа для входа в виде единичного схачка прн трех значениях козф- фИЦНЕНта УСИЛЕНИЯ а„ = оок )ГК.
системы. Пересечение той же касательной с линией конечного значения выхода определяет параметр тд, который мы назовем временем срабатывания. За время срабатывания выход системы достигает Йе1о его окончательного значения. Чтобы сравнивать переходные процессы между собой, их можно характеризовать тремя параметрами: тр, тд и Ие~з. Такой способ сравнения более приемлем, чем простое распространение понятия постоянной времени на более сложные системы.
Выражение для ошибки в установившемся реж и ме. Требования к эффективной полосе системы, состоящие в том, чтобы максимальная ошибка системы не превосходила заранее 1Я Зкк. 2222. А. С. Локк (гл. 7 мощи 274 тзогия слвдяших систвм ! (7.3) заданной, могут быть связаны с произвольным входом при по приближенного выражения ошибки в установившемся режиме, выведенного выше (при р = — 1) из уравнения (7.3), которое мы здесь н повторяем: З ° Р ' Используя выражение Р, полученное для следящих систем первого типа в виде (7.12), из (7.3) получим: а 1 За еа.
К вЂ” °вЂ” 8 8+Шс (7. 38) Ке К~~ Если применить к уравнению (7.38) операторное соотношение М 9 Рис. 7,5. Величины, удобные для описания пере- ходного процесса системы второго порядка. из таблицы 6.2 (гл. 6) и положить все начальные значения равными нулю, мы получим: () = — '+ — ",. (7. 39) Ке Ке~а При помощи уравнения (7.39) мы можем построить график функции времени еа(0.
Исходным при этом построении может служить 275 7.3] пвввый основной тип- олвдящвй системы график входа О!(1), так как во миогих случаях достаточно даже графического дифференцирования для того, чтобы получить 0» и б;. Если задать некоторый определенный график входа, то можно сравнить между собой различные следящие системы и сделать среди них выбор путем сравнения графиков ошибок. Если для вывода выражения ошибки применить более точный метод и воспользоваться более точным равенством (7.!О), то вместо (7.39) мы получим: е(1) = — '+ — !(1 — — ) — — ',(2 — — )+ ! / 1 + — ~3 — — — К) —...
(7.40) Кащ4'1 К Для большого усиления (К ~ 1) выражение (7.40) хорошо апроксимируется формулой (7.39). При коэффициенте усиления, меньшем единицы (К ч. 1), мы в действительности имеем не усиление, а ослабление, и формулу (7.40) применять нельзя, потому что ряд в правой части не сходится. Изложенное подчеркивает трудности, которые возникают в том случае, если полоса частот передаваемой информации превосходит эффективную полосу следящей системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
