Локк А.С. Управление снарядами (1957) (1242424), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Полинам будет лучше всего интерполировать исходные данные, если принять за Ьэу и Ьэу их средние = хе+ ~7г, (6. 129) откуда г = — „(х — хе); теперь у(х) можно выразить через разности. 1 П р и м е р 2. Найти интерполяционный полинам для данных, приведенных в следующей таблице и имеющих вероятную ошибку в -+-0,02. (гл.
6 246 МАТВМАТИЧВСКИй АППАРАТ значения: У~= 0,25 и озг = О.' Тогда из (6.128) для Г = 0 и Г = 0,2г мы получим: ,Г (Г) = 1+ 5Г ( — 0,30) + 2 ° 51 ° (бг — !) ° 0,25 = 3,121а — 2,12(+ 1 На рис. 6.19 показан график Я), проходящий через первую точку и вблизи следующих трех. Если бы вместо осредненных были исполь.- зованы точные значения ба и Ь', то кривая проходила бы точно через первые четыре точки.
й6 Р л йг ае йл ал 468 Рнс. 6.19. Исходные данные н интерполяционная парабола по способу конечных разностей. Формула Грегори — Ньютона (6.128) может быть использована для построения интерполяционного полинома производной от табличной функции. Это можно сделать двумя путями: 1) сначала найти интерполяционную формулу для исходных данных, затем ее дифференцировать; 2) прямо использовать интерполяционные формулы для производных. Эти последние получаются из (6.128) дифференцированием по г. Так, для первой производной получаем: ь лу(хе+га), 2г — 1де, Зга — бг+2 дэ (6.130) 6. 151 247 двл метода интегполиговлния Так как хо и Ь постоянны, а х=хо+гл, то из (6.130) получаем ау (х) лля у = следующее выражение: йх лу'(х) = Ьуо+ 2 о уо+ 31 ц~уо+..., (6.131) где х — хо Г= Ь В случае, если данные, подлежащие интерполяции, приведены не через одинаковые интервалы, изложенный здесь метод обыкновенных конечных разностей становится непригодным.
Для этого случая вводится понятие разделенных разностей. Таблица разделенных разностей составляется аналогично таблице обыкновенных разностей, как показано ниже. В этой таблице символ ,г~ применен для обозначения разделенной а3 Ш1 разности, а индексы (хо, х1) указывают, какие значения х использованы при вычислении разности. формула Ньютона для разделенных разностей имеет вид у=,у(х) =уз+(х — хо)„~ь у,+(х — х,)(х — х,) кД", ' у,+...
а„х, оь х~ Фв (6.1 32) Эта формула применяется совершенно так же, как и (6.128). [ [гл. 6 млтвмлтичзский ьппаглт 248 П р и ме р 3. Построить таблицу разделенных разностей и интерполяционный полипом для следующих данных: 1,0 0,1 1,3 2,0 5,281 ' 7,717 ( ь* 2,810 0,1 5,281 1,910 !,ООО 1,О 0,400 2,390 1,000 1,3 7,717 2,300 4,590 2,0 Уравнение (6.132) дает: Д!) = 5 + (С вЂ” О) (2, 810) + (1 — О) (! — О, 1) ( — О, 900) + +(! — О) (1 — О, 1) (! — 1,0) (1,000) = = 5+2,8101 — 0,900Р+0,090!+!з — 1,100!в+ 0,100!. Поэтому 7 (С) = !в — 2?в + 3! + 5, 6.16. Краткие сведения из теории вероятностей Теория вероятностей играет большую роль при изучении поведения управляемых снарядов.
Часто можно слышать такие вопросы: какова вероятность поражения? Каково рассеивание снарядов относительно управляющего луча? Как влияет ошибка при старте на вероятность встречи? Такие вопросы можно обсуждать только с человеком, имеющим хотя бы некоторое понятие об основных положениях теории вероятности. Задачей настоящего параграфа является изложить самое необходимое с этой точки зрения').
(Применение теории вероятностей к исследованию операций будет изложено в одном из последующих томов этой серии.) Основные понятия теории вероятностей. Рассматривая сначала переменное, которое может принимать только дискрет- в) Более подробно см. Ке п не у, Ма!ьешайсз о! 8!апзнсз, Раг! 1 (1947); Кеппеу апд Кеер!пи, Мащешапсв о! 5!апвпсз, Раг! 1! (1951); О.
1гап !Чоз!гапб Со., 1пс., !Ч. т. 6. 16] кглткиз сввдвния из твогии вивоятноствй 249 ные значения, введем два основных понятия. Пусть переменное х принимает значение х„ х„ ..., хк. Тогда средним значением х называется величина У ! х = — чэ„хо (6.! 33) Очевидно, что значения яеременного как-то распределены около его среднего значения. Мерой их отклонения от среднего значения является величина (6. 134) называемая стандартным (нли средним квадратичным) отклонением.
Квадрат этой величины называется дисперсией. Можно заметить, что дисперсия является моментом второго порядка, как в механике в момент инерции. Классическое определение вероятности а рг!ог! состоит в следующем: Если существует только и несовместимых и равновозможных способов заставить произойти или не произойти некоторое событие, причем т из этих способов производят событие, то вероятность события есть р = — . Под несовместимыми событиями понимают следующие.
Вели некоторый способ или обстановка вызывают появление некоторого события, то тот же способ или та же обстановка не могут вызвать появление другого события. События называются равновозможными, если у нас нет основания ожидать, что какое-нибудь событие будет появляться предпочтительнее другого. Согласно определению вероятность есть число, заключающееся между нулем и единицей. Если р = О, то событие невозможно; если р = 1, то оно достоверно.
События называются независимыми, если появление одного ие влияет на вероятность появления другого. Мы приведем некоторые основные теоремы без доказательств. Доказательства сравнительно просты и требуют простого применения правил логики к только что введенным понятиям. Теорема 15. Тео рема сложения вероятностей. Если. события х„хг, ..., х„несовместимы и имеют вероятности р„ р„..., р„соответственно, то вероятность появления какого. угодно иэ этих событий равна сумме вероятностей всех событий, т.
е. ~ро «=г Те о рема 16. Те о рема п р о изведения вероятностей. Если события х,, х„..., х„независимы и имеют вероятности 250 МАТВМАТИЧВСКИй АППАРАТ (гл. 6 р,, р, ..., р„соответственно, то вероятность появления всех этих событий вместе равна произведению их вероятностей йро е г Теорема 17. Би но ми ал ьный закон. Если р есть вероятность появления события, а о= 1 — р есть вероятность отсутствия этого события, то вероятность Р появления события точно т раз из п случаев дается (т+1)-м членом разложений бинома (о+ р)еч и' Р— . родю-ФВ.
т1 (и — т)! Последующие примеры поясняют применение этих теорем. П ример 1. При одном бросании игральной кости вероятность того, что выпадет или 1, или 5, по теореме 15 есть 1 1 1 6+б 3' Пример 2. Какова вероятность того, что при одном бросании пары костей выпадет 77 Число 7 может быть получено следующими несовместимыми и равновозможными способами: (1+ 6), (2+ 5), (3+4) (4+3), (5+2), (6+1). Поэтому по теореме 16 вероятность появления какой угодно из этих шести комбинаций равна ~ — ) ~ — ) = —, потому что числа, выпадающие на каждой кости, являются собитиями независимыми. Следовательно, по теореме 15 искомая вероятность есть Р= ~ р =6.— = —.
1 1 36 б' Для сравнения отметим, что вероятность выпадения двух единиц 1 есть Пример 3. В коробке имеется 4 черных и 7 белых шаров. Вынимаем два каких-нибудь шара. Какова вероятность того, что один из вынутых шаров черный, а другой белый7 Решение требует применения теорем 15 и 16. Существуют дзе несовместимые возможности: 1) первым вынут черный шар, 2) первым вынут белый шар. Для случая 1), так как всего имеется 7 ша- 4 ров, вероятность вынуть черный шар равна — ' после этого оста- и) лось 10 шаров, и вероятность вынуть белый шар равна —. Поэтому 7 ГО ' вероятность появления этих двух событий вместе равна — ° — = —.
Й !О 110' Для случая 2) вероятность вынуть сначала белый шар есть —, 7 11' 4 вероятность затем вынуть черный п»ар —, вероятность обоих этих 10' 7 4 28 событий вместе — — = †. Поэтому ответ будет: 11 10 !10 ' 28 28 56 1 — -»- — = — се»вЂ” 110+110 110 2 ' П р и и е р 4.
Найти вероятность того, что при 8 бросаниях монеты точно три раза выпадет герб. 1 Применяем теорему 17. Здесь л = 8, з»= 3, р= »7= —, 2' Пример 6. Опыт показал, что из 12 выстрелов некоторым. управляемым снарядом только 7 заканчиваются поражеиием. Если производится только 3 выстрела один за другим, какова вероятность пораженияу Поражение последует, если хотя бы один из снарядов попадет 7 в цель. Вероятность одного попадания равна — . 12' Имеются три несовместимые возможности: (1) Первый снаряд попал: р,= —.
7 5 7 35 (2) Первый ие попал, второй попал: р = — — = —, а = 12 ' 12 — 144 . (3) Первый и второй ие попали, а третий попал: 5 5 7 175 "-з — 12 ' 12 ' 12 — 1728 Вероятиость поражения равна — + — + — = — 0,93. 7 85 175 1603 Г2 144 1728 1728 Если имеется М дискретных значений переменного, причем из иих уд значений хы,уя значений х„... и У„значений х„, то среднее значение переменного и дисперсия определяются следующим образом: л~~~ ~у»х» и 1 кч — т 7»х», ~~~ у» (6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
