Локк А.С. Управление снарядами (1957) (1242424), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Изображение и оригинал существенно различно зависят от своих переменных, В тех случаях, когда аргу- мент в написанном выражении не обозначен явно, верный смысл вытекает из контекста. Например, оператор — подразумевает О=О®; чг равенство Ое=рО;, где р=р(з), подразумевает, что в него входят изображения, т. е. Ое Ое(з), О;=6~(г). 6.7) нвкотогыв влжныв интвгго-диеэвввнцилльныз гвлвнвния 213 214 (гл. 6 МАТВМАТИЧВСКИй АППАРАТ Вернемся снова к равенствам (6.36). Согласно определению 1 ($ 6.1) передаточная функция есть !л (з) = — = — (з) = 00 (з) 00 00(з) 00 Те+1 ' (6.
37) 00 (з) = 0 (з) 00(з). (6.38) Здесь 00(з) есть изображение в смысле Лапласа выхода цепи (или ее отклика), а 0;(з) часто называют знситатизной функцией; она включает в себя изображение в смысле Лапласа управляющей функции О; (!) (т. е. входа) и начальные условия '). Изображение в смысле Лапласа самой управляющей функции О;(!) назовем улраеляющим изображением. Вдиничный скачок в качестве управляющей функции.
Здесь в соответствии с формулой (6.6) экситативная функция 1 Оа(з)= —, и поэтому изображение выхода есть 1 00 (3) 5 (ТБ+ !) ° (6. 39) Применяя метод разложения на простейшие, изложенный в 0 6.6, получим: 0,(з) да Ка 1 — Т !! ! з Те+1 з,Те+1 з 1 = — + — ' — — . (6. 40) Т Выполняя обратное преобразованне Лапласа, получаем: О (!)=1 — е (6.
41) а) Си., например, уравнение (б.4б). (Прим. перев.) где Т= ЙС, как и раньше. Поясним смысл введенного обозначения. Символ — (з) обозна- 00 0 чает теперь передаточную функцию, — (/еа) — частотную харанте- 00 в ристику. Передаточные характеристики (см. 0 6.1), т. е. и пере.даточная функция и частотная характеристика, представляют собой характеристики самой цепи или системы и не зависят от входа, т.
е. от того, что подается на вход цепи; это и оправдывает введение особого символа для их обозначения. Но, с другой стороны, 00 выход 00(з) = — '(з) ° 0.(з) зависит от входа и связанных с ним пав чальных условий. Из определения передаточной функции мы имеем: 6.7] нвкотогын влжныв интвгго-дичьвгвнцилльныв яглвниния 215 Это решение представлено на рис. 6.4; при г=0 бе=0, а затем асимптотически приближается к единице. Единичная линейная функция в качестве упра- 1 вляю щей.
Здесь в соответствии с формулой (6.7) Ог(г)= —,, и поэтому 1 60(8)= ая(Т +1) . (6. 42) Отсюда, пользуясь случаем 2 в Я 6.6, пишем: 1 Т, Тз 1 Т Т вЂ” — з — — + + лз з Та+1 зз з 1 Т (6.43) Обратное преобразование Лапласа дает: (6. 44) График 6з(Г) на рис. 6.5 показывает, что после того, как переходный процесс можно будет считать закончившимся, выход никогда не становится равным входу, а остается меньше его на величину Т. Р,1И рис. 6.4. Отклик фильтра нижних Рис.
бдь Отклик ДС-фильтра иижчастот на единичный скачок. них частот на возмущение в виде единичной линейной функции. Метод анализа, использованный з этих двух примерах, типичен для теории цепей вообше. Ниже приводится еще один пример решения дифференциального уравнения, связанного с теорией замкнутых контуров следящих систем. Типичное дифференциальное уравнение; связывающее сигнал ошибки е со входом Оо в случае позиционного (пропорционального) управления есть — я+ 2~ми — '+ низ(г) = з + 2".в„—, (6.45) ля.
(1) га,'(г) з язв, (г) . ие, (г) йгз и Йг В ига [гл. 6 216 млтвмлтичвский лпплелт где 5 носит название фактора затухания, а в„— собственной частоты. Применяя преобразование Лапласа, получаем: зае (з) — зе (О + ) — е (О+ ) + 2".в„[зе (з) — е (О+ ) [ + в„е (з) = = згВ» (з) — з8»(0+ ) — 8; (О+) + 2".в„[зВ; (з) — 8»(0+ )[, (6.46) 8»(г)=в,.г (г> О), В» (г) = е = 0 (г = 0 [ ), В (») е — в» (г — О+) (6. 47) Учитывая эти начальные условия, из (6.46) получаем: зге(з) — в + 2Св„зе(з)+ вне(з) = згВ»(з) — в»+ 2"вязВ (з). (6.48) Так как 8»(г) =в»(г), то 8(з) = —, и мы получаем: е (з) = еч (е + 2свп) з(зг+Кв„з+в'„) ' (6.49) Корни квадратного трехчлена в знаменателе будут: ,= — ~ „-[- „'[Г.
— 1, [ (6. 50) и поэтому в»(з+ 2Гвп) с (з — а»)(е — аа) (6.51) Теперь можно выполнить разложение на простейшие дроби, но следует заметить, что результат разложения зависит от значения ч. Если г > 1, то корни действительны и различны и процесс решения такой, как было указано в В 6.6, случай 1. Такая система называется передемпфироеанной или системой с затуханием выше критического. В случае ч = 1 система называется апериодической или системой с критическим затуханием; тогда а,=аг, и нужно действовать, как в случае 2, В 6.6. Если 0 < ч < 1, †систе называется демпфирозанной или системой с затуханием ниже критического; и, и аг — комплексные сопряженные числа. Этот случай не был рассмотрен в В 6:6; мы проделаем здесь соответствующие выкладки.
Введем для корней следующие обозначения: а, = — а+ /3, а = — а — /»3. (6. 52) где 2[е(г)[=е(з). Из (6,46) видно, что для решения необходимо задать входную функцию и начальные условия. Обычный вход, применяемый при испытаниях следящих систем, есть единичный скачок производной или единичная линейная функиия, определяемая следующим образом: 217 6.8[ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Тогда вместо (6.51) можно написать: аз (В + 2баа) аэ (В+. 2Саа) в (в + а — ф) (в + а + ) Р) р [(в + а)я + Рв[ Чтобы выполнить обратное преобразование Лапласа, пользуемся фопмулой 13 из таблицы 6.1. Получаем: 1 в(г) = — '' " + — '[(2(в„— и)1+ рв]' е-"'з!и (Э~+ ф), (6,54) Ро [1 го где 1 (ат+ чРг)Т ф = аГС(д.
— аГС16 гт — — ) . [2са„— а а Отсюда видно, что решение состоит из постоянного члена, описывающего установившееся состояние системы, и члена, выражающего затухающие колебания. Уравнение (6.53), конечно, могло бы быть решено и путем разложения на простейшие, но обычно удобнее пользоваться таблицами изображений и оригиналов, если нужныс функции там уже имеются.
Таким образом, получено полное решение проблемы регулирования, поставленной уравнением (6.45), причем для этой цели мы воспользовались изображением решения (6.49). Тип решения существенно зависит от величины С. Кроме того, разобранный здесь пример показывает, как применяется преобразование Лапласа, если не все начальные условия в нули. Мы видим, что вычисления выполняются без затруднений для обеих частей решения: первой части — переходного процесса, зависящего от начальных условий, и второй, зависящей только от экситативной функции.
Преобразование Лапласа имеет огромное преимущество по сравнению со всеми другими методами') и в случае любых начальных условий. 6.8. Преобразование Фурье В теории цепей и следящих систем часто бывает не нужно находить переходный процесс, соответствующий ненулевым начальным условиям. В этих случаях возможно применение преобразований фурье; оно приводит к частотной характеристике, определение которой дано в Э 6.1, а подробное рассмотрение в 9 6.9.
Преобразования Фурье определяются следующим образом: гсо У(Г)= — ~ г(/в)ед 'бо1, 1 (6.55) СО РЦог) = ~ Я)е е"там. (6 56) 1) См. пюски на стр. 202 н 203. (Прим. перев.) [гл. 6 218 млтвмлтичвский лпплвлт Некоторые авторы называют (6.56) прямым преобразованием Фурье, а (6.55) — обратным; однако чаще оба называются просто 1 преобразованиями Фурье. Отметим, что коэффициент — можно 2в приписать в формуле (6.56) вместо (6 55) или в обеих формулах 1 написать коэффициент =. г' 2в Чтобы у(г) имело изобразкение в .смысле Фурье, необходимо, чтобы было: ! /(!) ! а!! ( оо. Отсюда следует, что существует много функций, не имеющих изображения в смысле Фурье. В этом отношении преобразование Лапласа является значительно более широким.
Существуют таблицы изображений в смысле Фурье и их оригиналов, аналогичные тому, что выше приведено для преобразования Лапласа. По-видимому, наиболее полные из таких таблиц вычислены Кэмпбеллом и Фостером' ). 6.9. Частотная характеристика Функция веса Ув(!) была определена в 9 6.1, как отклик цепи на единичный импульс, приложенный к ней в момент ! = О. Для цепи, параметры которой не зависят от времени, отклик на единичный импульс, приложенный в момент ! = !ы будет Ув(! — !з). Поскольку мы рассматриваем только линейные цепи, на которые распространяется принцип суперпозиции, отклик на любой вход 04(!) может быть определен следующим образом.
Представим себе 0;(!) в виде ступенек высотой 0г(Г) и шириной Ж. Эти ступеньки могут рассматриваться как импульсы площадью 0; (!) Ж, приложенные в момент С Выход цепи в любой момент времени !о, происходящий от этого импульса, есть 0в(!)!У! ° Ув(!в — !). Полный отклик системы на вход 0в(!) есть сумма выходов от всех элементарных импульсов, т. е. в, 0, (1,) = ~ 0! (!) Д (1, — 1) !!. — СО Выбор пределов обусловлен тем, что должны быть учтены только импульсы, приложенные раньше Ге. Заменяя переменное ! на с =2 — ! и потом отбрасывая для краткости индекс у !о, из (6.57) получим: СО 0 (в) = Х Ов(! — т) Ув(с) с!с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
