Локк А.С. Управление снарядами (1957) (1242424), страница 42
Текст из файла (страница 42)
К линейным цепям применим так называемый при~цип суперпозиции, который состоит в следующем: если на вход линейной цепи приложено несколько отдельных возмущений, то на выходе системы появится сумма выходов, соответствующих каждому из этих отдельных возмущений. Поскольку значительная часть теории следящих систем состоит в исследовании линейных цепей, нам необходимо ввести основные понятия теории цепей. Рассмотрим некоторую цепь в виде четырехполюсника, показанного на рис. 6.1.
Классический метод исследования состоит в применении обыкновенного линейного интегро-дифференциального уравнения, связывающего вход с выходом: а„— „„+а„, йг„', +... +аойв(г1+ 1 Во(гуйг= г 1в1(г11, (6.11 г1 Прекрасное изложение вопроса об электрических моделях см.
ТЬ а1е г Оеогйе Л. апг! В го чг и коЬегГ О., Вегтолтесьап!зяг Апз!уз!з, МсОгавг-Нй! Воох Со., 1пс., Хечг Уогх, !953, свар. 3. [гл. 6 млтвмлтичвский лпплглт 202 где все коэффициенты суть не зависящие от времени параметры системы. Если заданы начальные условия, то уравнение (6.1) вполне определяет работу цепи. Однако решение таких интегро-дифференциальных уравнений часто бывает утомительным и их применение в проектной работе себя не оправдывает. Существует другой метод описания работы цепи, основанный на отклике (или реакции) цепи на некоторое воздействие специального вида '). Чтобы изложить этот метод, нам необходимо сначала ввести некоторые опредеФрвсиия йгй) реса В,,Т) лй) Единичной функцией или единичным скачком назовем такую функцию времени, которая рнс.
6.1. Общий случай четы Рошло (1 ( О) тождественно люсннка Р " Равна пУлю, а в настоЯщем н бУ- душем (1)-0) равна единице. Единичной импульсивной функцией или единичным импульсом назовем такую функцию времени, которая тождественно равна нулю всюду, кроме точки с=0, где она бесконечно велика, и интеграл которой в пределах от 1= — со до 1==+со равен единичной функции.
Отклик й(1) линейной цепи на возмущение в виде единичной импульсивной функции назовем функцией веса цепи. Функция веса есть функция времени; она полностью описывает поведение линейной цепи. Существуют еще две функции, связанные с функцией веса й(1), обычно применяемые для математического описания цепей. Они определяются следующим образом. 1. Передаточная функция цепи есть изображение функции веса в смысле Лапласа.
Она может быть определена так же, как отношение двух изображений в смысле Лапласа: выхода цепи и ее входа, при нулевых начальных условиях. 2. с(истошная или амплитудно-фазовая характеристика цепи есть изображение функции веса в смысле Фурье. Она может быть определена так же, как отношение двух изображений в смысле Фурье: выхода цепи и ее входа. Преобразование Лапласа рассматривается в й 6.2, а преобразование Фурье — в Э 6.8. г ) Здесь автор допускает неточность н входит з противоречие даже с самим собой (см. начало 6 6.2).
На самом деле последующее изложение кзк раз н дает удобный (но, возможно, не самый лучший — см. М як у с инский Ян, Операторное исчисление, ИЛ, М., 1956) способ решения уравнения (6.1) н з особенности определения его частного решения, не зависящего от начальных условий. Таким образом, исходным пунктом для дальнейшего анализа остается уравнение (6.1), нлн, точнее, некоторая система линейных уравнений, нз которых (6.11 может быть получено исключением переменных, (йрим.
перев.) 203 6.2] пгеовглзовлниз лапласа Если начальные условия в нулевые, то как передаточная функция, так и частотная характеристика содержат в себе полное математическое описание поведения цепи. Мы будем применять выражение «передаточная характеристика», понимая под этим как передаточную функцию, так и частотную характеристику. При этом, разумеется, начальные условия в нулевые. Если среди начальных условий есть отличные от нуля, то решение значительно проще получить при помощи передаточной функции, чем при помощи частотной характеристики.
Более подробно соотношения между этими двумя функциями приведены в 5 6.11. 6.2. Преобразование Лапласа Существует много методов решения линейных интегро-дифференциальных уравнений. Наиболее удобными являются методы, использующие операторное исчисление. Наиболее мощным из них является метод преобразования Лапласа' ). Вместе с тем, преобразование Лапласа дает простейший метод учета ненулевых начальных условий. Этот прием сводит решение сложного дифференциального уравнения в форме (6.1) к более простой задаче — решению алгебраического уравнения. Прямое преобразование Лапласа определяется равенством в« Е ]у (Г)] = ~ у Я е вг сИ = Р (з), о (6.2) Е ]Р (з)] = у" (г) (г )~ 0).
(6.3) с) Это утверждение по меньшей мере спорно — см. указанную выше работу Микусивского, стр. 316. (Примо перев.) где з есть комплексное переменное, обычно записываемое в виде з = о+/ю. Разъяснение смысла этого преобразования и составляет задачу настоящей главы; пока достаточно сказать, что оно преобразует функцию действительного переменного — в частности, времени— в функцию комплексного переменного — комплексной частоты з, и это обстоятельство мы используем для упрощения математического аппарата решения линейных интегро-дифференциальных уравнений. Изображение в смысле Лапласа с'(з), соответствующее оригиналу— функции времени Я), — можно получить непосредственным вычислением определенного интеграла (6.2).
На практике часто необходимо решать обратную задачу — найти оригинал (функцию времени у(г)) по заданному изображению Р'(з). Это делается при помощи обратного преобразования Лапласа, определяемого следующим образом: [гл. 6 МАТВМАТИЧВСКИй АППАРАТ 204 Явное выражение г'(!) через )О(з) требует более обширных знаний из теории функций комплексного переменного, чем необходимо для чтения этой главы; поэтому желающим рекомендуется обратиться к более подробным руководствам '). 6.8. Соответствие между оригиналами и изображениями При решении задач методом преобразования Лапласа приходится пользоваться парами соответствующих друг другу функций у(!) и гО(г).
Чтобы сберечь время, составлены таблицы таких пар, наиболее часто встречающихся в приложениях. В таблице 6.1 приведены некоторые наиболее обычные пары а). Чтобы пояснить метод, при помощи которого составляются такие таблицы, рассмотрим некоторые наиболее простые функции. Единичная функция и(1) (единичный скачок). Пусть оригинал у(!) есть единичная функция и(!), т.
е. 0 при !(О, и(!) = 1 при 1)~ О, (6.4) (6.5) Единичная линейная функция. Пусть у(!) есть линейная функция, начинающаяся при 1=0, ( 0 при !(О, при 1)~ О. (6.6) Тогда по (6,2) имеем: Такой тип входа соответствует единичному скачку производной Экспоненциальная функция. Это — пример трансцен лентного оригинала: Г(!) = ечы при г)~ О, (6. 8 г) с !г н гсы! ! Вне! тГО мобегп Орегзпона! ма!зешайсз !и Впя!Пеег!пд, МсОгзчг-Нй)ВССК СоО !944.
[См. также )(нтк и н В. А. н Кузнецов П. И., Справочник по операционному исчислению, Госгехиздаг, !951. (Призе. перев.)) з) Подробнее см. )(игк ин В. А. н Ку з не поз П. ИО Справочник по операционному исчислению, Гостехизлат, 195!. (Прим. нерее.) Согласно (6.2) имеем: <О 1 ГО 1 о [и (!)] — 1 . е-ег сг! — е-ег Ф о о СО ГО ге-~' 1Г 8 У(!)) = ~!е ' г!1= — — + — ( — !1= о о о 1 — 1 (" 1 зз =О+ — — е- ! (6.7) ) Таблица 61 Изображения в смысле Лапласа и ик оригиналы улей~ Изображения Р(з) ~ Оригинал у(Г) 1 илн единичный скачок и (Г) прн != О й единичная линейная функция ! в+а е -г в!п еоз сов мог ! единичный импульс при г'=О ! 1 1 l — (ео+йз)з з!п(й(+ф) (ф=агс!й — ) о — (1 — сов рг) 1 огв з (за+ [!в) — е в1п й! — «г 1 — Нее — а)в+йв]в е '!в!п(йт+ф) (ф = агс!й — ) 10 (з + а)в+ [!в е "' сов йт (з [ а)в [ вв — + — е в!п 9« — ф) 1 1 -«г го вго 12 зН +а)'+Я ] ф = згс!й( — ~ ), ф~о = ~~+ й~~ 1 — о+ — Ншо — а)в + [!в] з е г в!и (з! + ф) йо [фо з+ мо з Нз + а)'+ йв] ф = агсгй — — агс!й ( — — ), я = ав+ й~~ [= мо а а) о— — гп ге "г (и — 1)! 1 (в + )" 14 6.3] соотввтствив мвждт опигиналами и изовважвииями 205 206 млтиматнчвскнй Апплглт !гл.
6 где а †действительн число. Имеем: Ву(Г))= ~ е- —. ж=- ~ — <+1г,71= о о е+о Это — хороший пример того, как преобразование Лапласа упрощает функции. Трансцендентная функция преобразовывается в сравнительно простую алгебраическую. Приведем еще один подобный пример. С и ну со и дальная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
