Локк А.С. Управление снарядами (1957) (1242424), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(6.58) о !) СвизрЬе1! Сеогяе А. вид гол!ег йопа!б М., Гоиг!ег !пгеягв!в !ог Ргвснса! Аррйсвпоп, Вен Ге!. яув!еиз Тесп. РиЬ., Мопоягврн В584. [См. также С недда и И., Преобразования фурье, ИЛ, М., 1955. (Прим. перев.)) 6.9) 2!9 ЧАСТОТНАЯ ХАРЛКТВРИСТИКЛ Поскольку й(т)=О при т ~ О, можно написать: (6. 59) Из равенства (6.59) видно, почему отклик системы иа единичный импульс называют ее функцией веса: вход участвует в образовании отклика в момент 1 с весом йЩ в соответствии со своим «возрастом» т. Если мы теперь рассмотрим синусоидальный вход, который запишем в комплексной форме Оч(1)=Аеу ', то по (6.59) выход будет: Ов(1)= А ) е' П Ой(т)й«=АеЕ"~ ~ е — У"'й(О)йс.
(6.6О) .Введем в этом выражении для интеграла обозначение 0 (Ув) = ~ й (тс) е-Е с йт. Тогда из равенства Оо=Аед ~0(!в) (6.61) (6.62) Оч(с) = — ~ О;()ш) еу"е йв. (6.63) Используя (6.6!) и (6.63), представим (6.59) в виде +со +СО ОО(С) = ~ .2- й« ~ 0~(/В) Е-ТОМ-с>й(Ч)йв = -СО СО »со СО 1 = — ~ 0; (/в) ее"' йв ~ й (т) е-~™ йт = +со — О; ((ш) 0 Цш) ег"' йш. 1 Г (6.
64) мы видим, что при синусоидальном входе отклик тоже имеет вид гармонического колебания, но благодаря наличию множителя 0(1ш) с измененными по сравнению со входом амплитудой и фазой. Функция 0(1в) называется частотной характеристикой. Из (6.61) видно, что частотная характеристика есть изображение в смысле Фурье отклика системы на единичный импульс. Вход 0;(1) связан со своим изображением в смысле Фурье при помощи соотношения 220 млтнмлтичвский лпплелт [гл.
6 Но согласно определению (6.64) есть не что иное, как обратное соотношение преобразование Фурье (6.55); поэтому в выражении (6.64) под интегралом должно содержаться изображение функции 0е(») в смысле Фурье; следовательно, Овады)=0»(,[ы)О(7 ). (6. 65) Эта формула дает возможность вычислять частотную характеристику как отношение изображений входа и выхода. 6.10. Упрощение путем замены — на »и И й» для установившихся состояний Если нужно рассмотреть установившееся состояние при синусоидальном входе, то всегда можно пользоваться преобразованием Фурье для решения дифференциальных уравнений, описывающих систему.
Чтобы получить изображение в смысле Фурье для обеих частей уравнения, нужно всюду заменить оператор — наре и оператор [ »»» 1 и» на —.. Это нетрудно видеть, если написать синусоидальный вход /и в показательной форме. Например, пусть вход будет: 0, (») = А соя»е», (6.66) что равно действительной части Ае""'. Поэтому мы можем положить: О,(») = Ае»'"», (6.67) помня, что в результате следует взять только действительную часть.
Тогда из (6.66) »»О» (»)»» соз Оз» й» = '4,»» = — А»е з1п ш», (6.68) а из (6.67) (6.69) — =А[ые»». еа»»»1 й» Найдем действительную часть (6.69): [се [А/»ее»"»[ = Ке [А/»е (соз»е»+/ сйп»е»)[ = = Ке [ — А»е з1п»е»+ Ау»о соя»е»[ = — Ав а[и»е», (6.70) т. е. мы получйли тот же самый результат, что и в (6.68). Отсюда ,~в» (») ' — =ре»1» (») = Ауые»"». л» (6.71) Подобным же образом можно показать, что ~0»()»= ~ »0»(0=,' 0»(»). (6.72) Проверку предоставляем читателю. 6. 10) УПРОЩЕНИЯ ДЛЯ УСТАНОВИВШИХСЯ СОСТОЯНИЙ 221 Для исследования установившегося состояния цепи нет нужды обязательно выписывать сами дифференциальные, уравнения; проще применить метод импеданцев.
Импеданц чистой иидуктивности Ь 1 есть простоуюЛ,В чистой емкости —.. Поэтому для элементарного 7 с' Рнс. 6.6. йЕС вЂ” четырехполюсннк с синусоидальным входом. четырехполюсника (рис. 6.6) исследование можно провести, применяя комплексные токи и напряжения. Имеем: (й+/~Е+ —.С)1= Еед"', —.С 1= 60(1). 1 7 С 0 (6.73) Следовательно, 0() = (1 „07.С)+7„об (6.74) причем из этого выражения должна быть использована лишь действительная часть. Отсюда мы видим, что выход будет иметь ту же частоту, что и вход, но измененные амплитуду и фазу.
Из формул (6.73) и (6.74), где Е,(г) = ЯВУ-0, (6.76) получаем частотную характеристику 1О( =ООЩ)= Ф0(Т) 1 З0(Г) И вЂ” 00|б)+7 ДС (6.76) Итак, в этом специальном случае синусоидального входа отношения комплексных функций 60Щ и 60(М) дают сразу частотную характеристику.
Полученная таким путем частотная характеристика дает отношение изображений выхода к изображению любого входа (в смысле фурье), а не только синусоидального (если только такое ииображение существует). 1гл. 6 222 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 6.!1. Переходные характеристики системы 6.12. Корреляционная функция Существуют две функции, роль которых в теории информации и теории связи непрерывно возрастает.
Первая из них †автокорреляционная функция ры (т), определяемая равенством +У сры (т) = 1нп — ~ Т (1) Х(г — .) йг. 1 (6.77) т„.„, 2Т вЂ” т' Вторая — взаимнокорреляционная функция 21г(т), определяемая равенством ~Р12 (Т) 11ш 27' ~ Л (И) Уг (И Т) ~~1 1 т -'"; (6.78) В зтих формулах т — так называемый интервал сдвига.
Функции 7(г), входящие в эти определения,— непрерывные и притом такие, что .-г йш — " (я))ЕЖ (со. (6. 79) Из самих опРеделений сРазУ видно, что ~РМ(т) есть четнаЯ фУнкциа: ты ( ) = ты ( ) (6.80) в то время как взаимно корреляционная функция обладает свойством 'Ргя(т) = 9гг( т) (6,81) Переходные характеристики системы †э функции, связывающие между собой изображения входа и выхода.
Если применяется метод преобразования Лапласа, все начальные условия должны быть нулевыми; тогда передаточная функция имеет аргументом комплексное переменное в. Если теперь заменить в на /ш, получится частотная характеристика, при помощи которой можно найти амплитуду и фазу отклика системы на синусоидальный вход. Если частотная характеристика задана, то передаточная функция получается из нее заменой 7в на в.
Полученная таким образом передаточная функция может быть применена к построению переходного процесса для любого входа, если только начальные условия — нулевые. Если же в действительности начальные условия не нулевые, то переходный процесс может быть получен при помощи частотной характеристики следуюшим образом: заменить ув пав иг и решить полученное дифференциальное уравнение, применив преобразование Лапласа и использовав необходимые начальные условия. 6. 12[ 223 »котвкляционнья отнкция (6.82) (6. 84) В автокорреляционную функцию не входит фаза функции 7(С); напротив, во взаимно корреляционную функцию фаза входит, если, по крайней мере, одна из функций ~,(!) или уе(Е) — периодическая.
Между автокорреляциониой функцией и спектральной плотно- стью функции Д1), которую мы обозначим через Фы (а), существует важное соотношение. Именно автокорреляционная функция и спек- тральная плотность являются изображениями друг друга в смысле Фурье: .»о» 'уы (т) = — [ Ф,1(а) е'" с!а. Ф„(а)= ~ с»ы(т)е т 'гг». Поскольку у4,(с) и Фы(ш) — четные функции, эти соотношения могут быть представлены в виде ! [* сом(т)= — [ Фы(ш)совая»2а, л,[ о Ф„(ш) = 2 ~ ум(т)сова!»2т. (6.
85) о Автокорреляционная функция определена равенством (6.77) в об- ласти действительного переменного — времени и вычисляется следую- щим образом: 1) заданная функция задерживается или сдвигается на интервал сдвига с; 2) заданная и задержанная функции пере- множаются; 3) вычисляется среднее за период, который затем устрем- ляют к бесконечности. Приводим пример, относящийся к пеииоди- ческой функции. Пример 1. Найти ~8ы(с) для У(!)=Аз!п(ао1+[»).
Из формул (6.77) и (6.80) имеем: 4„(с)= !нп [ Ая!п(шо!+ф) Ая1п[ао(1 — т)+[»[Ж. (6.86) Тригонометрические преобразования дают: от АЯ ! ~ры(т) = !нп — ~ [сов аот — соз(2аот — аот+ 2[»)[ Ж = 4Т -т АЯ соя а»»с . Ао и-т ' — !нп — [я!п (2а 4' — аот+ 2[»)! ~ 2 т 8шоТ о -т АЯ соя шоТ . АЯ вЂ” !нп — [я!п(2шоТ вЂ” аот+ 2ф) + 2 т- 8шоТ + я!п (2аоT+ аот — 2[»)[ = — 0. 2 224 [гл. 6 млтзмлтичвский ьпплвьт Поэтому 1 <ры (г) = — А соз гьат. 2 (6. 87) 6.13. Полюсы, нули н аналитические функции В 9 6.6 было указано, что конечный результат преобразования Лапласа при решении дифференциальных уравнений есть Р(г) =— А (л) В(л)' где А(л) и В(л) — полиномы от л с действительными коэффициентами. Найдя корни уравнений А(л)=0 и В(з)=0, мы можем и числитель и знаменатель этой дроби разложить на множители; тогда (6.89) примет внд Р (з)— (л — л!) (5 — 2а)...
($ — лба) (л — Р!) (г — Ра) ° (л — Рв) Числа я„лю ..., в„, называются нулями функции Р'(г), а числа Ры Рю . ° ., Є— ее полюсами. Если все л и все Р Различны, то (6.90) г) г! о ! и агап 8гап!ог<$, !п!огшагюп тлеогу, Ргеппсе-и!и, !пс., ь!ечг аког)г, 1958 рр 278 — 279. (Есть русский перевод: Гольдман Станфорл, Теория информации, ИЛ, 1957. (Прим, перев)) Отсюда видно, что фаза ф выпадает и что азтокорреляционная функция есть четная.
Взаимно корреляционная функция имеет интересное приложение в теории цепей. Можно показать при помощи свертки '), что функция веса некоторой цепи или системы, т. е. ее отклик на единичный импульс на входе, выражается в виде взаимно корреляционной функции между выходом и входом, если вход и выход представляют собой широкополосный случайный шум. Пусть входной шум будет пч(!), а выходной — пв(!); тогда -~- т ргв(т) = Вш — ~ .ио(1) пг(! — т) гут= й(г). (6.88) 1 2т -т Отсюда, конечно, можно найти переходные характеристики системы. Этот метод определения переходных характеристик хорош тем, что результат мало зависит от внешних шумов; однако при этом требуется: 1) широкополосный входной шум, 2) усилительные схемы, способные пропускать широкополосный шум, 3) достаточно большой промежуток интегрирования, чтобы получить хорошее сглаживанпе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
