Локк А.С. Управление снарядами (1957) (1242424), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Эти требования в некоторых случаях могут оказаться очень жесткими, потому что спектр входного шума должен быть шире эффективной полосы испытываемой системы. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СЗЯЗЬЮ 226 6. 141 говорят, что Г(у) имеет нули и полюсы первого порядка или простые. Если же можно написать: Р (У) = (У вЂ” Яг)ь Д (з) (6.91) где Ь вЂ” положительное целое число, то Ь'(у) имеет в точке я, нуль порядка Ь.
Далее, если можно написать: Р (У) =- (6. 92) (У Р)Ь то Р(з) имеет в точке р, полюс порядка Ь. Например, в Э 6.7 было найдено изображение выхода простого )тС-интегратора, если на его вход подана единичная линейная функция: 1 о(з)=аз(Т,+1) . Здесь Ое(з) не имеет нулей, но при У=О у нее полюс второго 1 порядка и простой полюс в точке г=- — —. Т Функция Р(У) называется аналитической в точке л„если она имеет в этой точке единственную производную.
Необходимые условия того, чтобы функция имела единственную производную, т. е. чтобы эта производная не зависела от пути, по которому мы приближаемся к рассматриваемой точке, называются условиями Коши— Римана, Эти условия таковы: (6. 94) (6.93) где и и о определяются следующим образом: Р (г) = и (е, ы) + /и (с, в), и = Ке (Р(г)), О=)ш [Г(г)! (6.95) 6.14. Устойчивость систем с обратной связью Выяснение устойчивости систем с обратной связью имеет особое значение при проектировании следящих систем.
В любой системе регулирования чрезвычайно существенно, чтобы переходный процесс системы, вызванный внешними возмущениями, быстро затухал 16 з , мвя. л. с, л (напомним, что а=а+/е). Если эти частные производные существуют и непрерывны в не которой области, содержащей точку У„то условия Коши — Римана не только необходимы, но и достаточны для того, чтобы тч(з) была аналитической. Из этого определения, в частности, видно, что само г является аналитической функцией на всей плоскости. Функция называется аналитической в некоторой области 1т комплексной плоскости, если она аналитическая в каждой точке этой области. [гл.
6 226 млтимлтичвский лпплглт и чтобы ни в коем случае не появлялись возрастающие или самоподдерживающиеся колебания. Система называется устойчивой, если малое возмущение на входе вызывает отклик системы, который с течением времени замирает. Система называется неустойчивой, если такое возмущение вызывает отклик в виде самоподдерживающихся колебаний или отклик беспредельно возрастающий, поскольку он не будет ограничен нелинейностью системы '). Существует много методов, позволяющих выяснить, устойчива система или нет.
Сначала мы изложим методы, основанные на рассмотрении дифференциальных уравнений, характеризующих систему; эти методы определяют только сам факт наличия устойчивости или неустойчивости, но с их помощью нельзя получить никаких указаний о том, насколько система устойчива; иначе, они не дают никакого численного выражения для запаса устойчивости. Поэтому такие методы не играют столь большой роли, как излагаемый ниже прием, называемый критерием Найквиста, дающий возможность исследовать сразу всю проблему устойчивости '). Метод характеристического уравнения. Пусть задано интегро-дифференциальное уравнение системы а +а, „„", +...
+а„,— +а„б (г)+ пиво(г) и -гво (г) иве (г) Гш раз +а„~~ ~ бо(Е)йу+... +а„ь ~ ~ бо(!)йЕю= бг(Е) (6 96) Тогда характеристическое уравнение будет: аоеи~ю+а,еи~'"-'+... +а„,ею+'+иле~+... + а„, = О. (6.97) Чтобы получить характеристическое уравнение, нужно сначала положить управляющую функцию равной нулю, т. е. заменить заданное уравнение однородным, операторы — и ~ аг заменить через е иг ! и — соответственно, затем привести выражение к общему знаменателю. Нетрудно видеть, что характеристическое уравнение может быть просто получено иа передаточной функции.
В самом деле, рассмотрим показанную на рис. 6.7 простейшую одноконтурную систему г) Эти определения существенно отличаются от принятых в нашей литеРатуре. Кроме того, они не строги. См., например, М а л к ни И. Г., Теория устойчивости движения, Гостехиздат, 1952; Айве р ман М. А., Теория автоматического регулирования двигателей, Гостехиздат, 1952. (Прим. иерее ) я) Однако з следующей главе рекомендуется использовать'именно критерий Рауса — Гурзнца, а не Найквнста. (Прим.
перев.) 6.141 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 227 с обратной связью. Ее передаточную функцию находим следующим образом: (чз+;бо) Р = "о 6,(1 — РЗ) = ~ЛО откуда зо Зз 1 РН В обозначениях, показанных на рис. 6.7, получим: ао ( ) КЗОТ(з) 1 — КзКзОТ (.) Оз (з) (6.98) (6.99) В соответствии с определением характеристическое уравнение этой системы будет: 1 — К,КзО, (з) Оз (з) = О, (6. 100) где Кз и К,— постоянные, не аависящие от з. Теорема 8. Чтобы система была устойчивой, есе нули ха рактеристическога аолинома (или зсе корни характеристического уравнения) должны лежать з левой полуплоскости '). Рнс. 6.7.
Олноконтурнзя система со звеном в обратной связи. з) В нашей литературе такая устойчивость называется асимптотической. (Прим. перев.) 15о Это означает, что действительная часть всех нулей должна быть отрицательной. Но тогда из показательной формы решения линейных дифференциальных уравнений сразу видно, что переходный про цесс затухает тем быстрее, чем больше абсолютная величина дей ствительной части.
Это обстоятельство дает некоторую численную характеристику степени устойчивости системы. Изложенный здесь способ определения устойчивости системы может потребовать очень большой работы для вычисления корней, если уравнение имеет порядок выше четвертого. Ниже мы излагаем метод, при помощи которого можно избежать этих вычислений. 228 [гл. 6 МАТВМАТНЧВСКий АППАРАТ Критерий Рву са. Чтобы избавиться от необходимости вычислять нули характеристического полинома, можно пользоваться критерием Рауса, который показывает, существуют ли нули в правой полуплоскости. Рассмотрим систему, имеющую следующее характеристическое уравнение: аоз" + а18" '+...
+ а„,з+ а„= О, (6.101) в котором все коэффициенты отличны от нуля. Если хотя бы один из коэффициентов равен нулю 1), то система неустойчива. Составляется следующая треугольная таблица: по па по ао аз и, а, аь О„ Ьь Ьь пв (6. 102) с, сь сь б1 "З е, причем вычисления ведутся по формулам с = — — ~ Ь1 (Ь С1 ~С1 (6. 103) (6. 104) (6.105) (6. 106) (6. 10?) (6. 108) и т.
д. Этот процесс продолжается до тех пор, пока в каждой строчке не начнут появляться нули. Затем нужно изучить таблицу (6.102). Теорема 9. Система, описываемая уравнением (6.101), устойчива в том и только в том случае, если все числа в первом слева столбце таблицы (6.102) имеют один и тот же знак. Таким образом, если все числа в первом столбце этой таблицы имеют одинаковый знак, то характеристический полином не имеет нулей в правой полуплоскости. Если же существует перемена знаков, система неустойчива, а число перемен знака равно числу нулей с положительной вещественной частью.
') илн не все коэффициенты имеют одинаковый знак. (прим. перев.) ая ао аь аь ао а„ ао Ьо аь Ь, Ьа сз 1 — (а,а, — аоа,), 1 — (аьаь — аоаь), а1 1 — (а,ао — аоа„), 1 — (Ь,а, — аьдь), 1 — (Ь1Ь вЂ” а1Ь ), 1 1 — (с1Ь1 — Ььсо) 1 С1 6.
14) УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТВМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ Пример 1. гз+ ЗУБ+ бах+ г'+ 2гз+ бг+ 1 = О. Таблица Рауса: 1 6 2 1 3 ! 6 0 1 75 1 — 2 1 1889 350 Нв этой таблицы видно, что система неустойчива, а так как имеется две перемены знака, то существуют два нуля характеристического полинома с положительной вещественной частью. Критерий устойчивости Найквиста. Теорема 8 высказана в связи с нулями характеристического полинома системы, заданного формулой (6.100). Однако исследование характеристического полинома иа практике оказывается довольно трудоемким, особенно если уравнение имеет пятую степень или выше. Значительно более удобен критерий, предложенный Найквистом ') и известный как критерий Найквиста.
Поскольку этот критерий в главе 7 использован не будет, мы коротко изложим его здесь лишь по следующим причииам: а) метод логарифмических частотных характеристик, использованный в главе 7, осиоваи на критерии Найквиста; б) метод Найквиста широко используется специалистами в области следящих систем; в) интересно иметь возможность сравнить оба метода. Критерий Найквиста основывается на переходных характеристиках замкнутого контура, из которых вытекают характеристические уравнении типа (6.100). Для одпоконтурной системы с р = — 1 характеристическое уравнение можно написать в виде 1+ КО(г) = О.
Критерий Найквиста пользуется годографом функции КО(/ш) на комплексной плоскости; заметим, что КО(уе) есть частотная характеристика разомкнутого контура рассматриваемой системы х). Первый шаг в применении критерия Найквиста состоит в построении годографа функции 'КО(уш) или диаграммы Найквиста. Поскольку в исследовании устойчивости при помощи положения х) М у Ч и1з! Н., йедепегацоп Тяеогу, Ве!! ТеП. Вуз1еш Тесзп. РВЬ., МО- поягарв 8842, 1932.
я) В нашей литературе для годографа функции КО()ч) часто применяется термин азмплитулио-фазоззя характеристикам (Приле перев.) !гл, 6 МАТВМЛТИЧЕСКий АППАРАТ 230 Рис. 6.8. Пример устойчивого и неустойчивого годографов. зти колебания будут нарастать до тех пор, пока их не ограничит нелинейность системы или иона система не выйдет из строя.
Эти три случая иллюстрированы на рис. 6.8 для следующей частотной характеристики разомкнутого контура: К0 (./м)— ()в + чь) ( /ю + чн) (/ч + ег) (6. 109) Заметим, что на рис. 6.8 годограф показан на комплексной плоскости в декартовых координатах, где действительная ось горизонтальна, а мнимая вертикальна; на практике для удобства предпочитают строить годограф в полярных координатах. Малому усилению соответствует годограф а; он не охватывает точку — ! +у' ° О, нулей мнимая ось плоскости комплексного переменного з есть граница между областями устойчивости и неустойчивости, поведение годографа в окрестности точки †! +у 0 и определяет устойчивость системы. Приводим следующие теоремы без доказательства.
Те о рема 10. Система устойчива, если годограф функции Кб(рь) не проходит через точку — 1+у ° 0 и не охватывает ее. Теорема 11. Система будет совершать незатухающие колебания, если годограф функции КО(/ы) проходит через точку — 1+у О. Теорема 12. Система будет совершать нарастпюгцие колебания, если годограф функции КО (ув) охватывает точку — 1+ )иц 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
