Локк А.С. Управление снарядами (1957) (1242424), страница 48
Текст из файла (страница 48)
В этом случае критерий Найквиста,сводится к тому, что в случае устойчивости запас по фазе на частоте среза должен быть положительным. На графике )КО(з)~ запас устойчивости по модулю есть число децибел, на которое нужно поднять график, чтобы на частоте среза было ф = — 180' или 7 = О. Этот метод будет развит в главе 7. Здесь же мы только показываем, каким образом он связан с критерием Найквиста. 238 [гл. 6 МАТВМАТНЧВСКИй АППАРАТ 6.16. Два метода интерполирования Существует большое количество задач, в которых результаты наблюдений используются в необработанной форме. Однако во многих случаях удобно, а часто и необходимо представить эти результаты в аналитической форме. Например, данные испытания управляемого снаряда могут быть представлены в виде группы отдельных точек, изображающих координаты снаряда в некоторые моменты времени.
Но было бы весьма полезно найти аналитическое выражение для траектории снаряда, так как подобное выражение можно использовать при исследовании кривизны траектории, динамических характеристик, действия органов управления и т. п. Ниже мы изложим два наиболее сильных метода интерполирования. Первый из них есть способ наименьших квадратов, второй в способ конечных рааностей. Способ наименьших квадратов.
Точка зрения, приводящая к способу наименьших квадратов, состоит в следующем. Пусть имеется значительное количество экспериментальных точек, причем ни одна из них не может быть предпочтена другой; иначе говоря, каждое из наблюдений имеет одну и ту же вероятную ошибку. Требуется провести через эти точки какую-нибудь из простых кривых, например прямую или параболу. Но ддя того, чтобы провести, например, прямую, нужно только две точки, а чтобы параболу †т точки; однако у нас нет никакого основания выбрать из всех имеющихся только две или три точки, и поэтому желательно, чтобы при проведении кривой были испольаованы все точки.
Для этого и применяется способ наименьших квадратов, который использует зсе пригодные точки, причем вовсе не обязательно, чтобы кривая проходила через какую-нибудь из экспериментальных точек. Кривая проводится так, чтобы обеспечить наилучшее приближение, т. е. чтобы она проходила на самом блиаком из возможных расстояний от каждой экспериментальной точки. Для оценки этой близости используется принцип наименьших квадратов, широко применяемый во многих областях науки и техники.
Он состоит в требовании, чтобы сумма квадратов отклонений кривой наилучшего приближения от экспериментальных точек имела минимальное значение. В методе наименьших квадратов вообще может быть применен любой тип интерполирующей кривой; однако обычно пользуются кривыми, уравнения которых имеют вид равенства нулю некоторых полиномов, так как это проще всего.
Чтобы пояснить метод, до 1устим, что требуется проинтерполировать ряд наблюдений, состоящий из точек (хд, у,), (хю уа), ..., (х„у„), при помощи прямой линии (6.118) у=ах+6. 239 6. 151 двл мвтодл интвгполиговлния Координаты х», у< из нашего ряда наблюдений вообше не удовлетворяют уравнению (6.118). Если обозначим отклонение экспериментальных точек от прямой через 6», как показано на рис.
6.16, то 3< = у» — (ах<+ Ь). Необходимо отметить, что при таком выборе меры отклонения мы предполагаем существование большего рассеянии по координате у, чем по х; в противном случае отклонение нужно было бы измерять параллельно оси х. Принцип наименьших квадратов требует, чтобы величина вв = ~ 6; = л „(у< — (ах<+ Ь)(в (6.120) »-» <=< имела минимум. Это в проблема определения минимума функции от двух переменных а и Ь, что приводит нас к системе двух уравнений: Ь вЂ” — О, ЬЬ вЂ” — О.
(6.12!) Из (6.120) получаем эту оистему в явном виде в Ф в а ~ хв+Ь ~ х< — — ~~Р~х<уо < 1 <=1 »=1 (6. 122) а ~~ х<+ Ьп = ~ч~ у». < < 1 (6.123) Мы пришли к системе линейных уравнений атно- рнс. 6.16. Отклонения отдельных иаблюлесительно а и Ь, которую ний в способе навменьших квадратов. нетрудно решить. П р и м е р 1. Проинтерполировать следуюшие экспериментальные данные при помощи прямой линии: Для прямой линии Я) = а<+Ь нз (6.122) получаем: <в ю ю а,",~~ Г»+ Ь ~~~ << = ~~~ <<Щ), « » <» 6 1 240 МАТВМАТИЧВСКИй АППАРАТ где !О 10 1О ~~'„ 1; = 47,65, .Е 11 = 19,35, ..,'~ ьу1Я = 137,02. 1=1 1=1 1-1 Поэтому из (6.122) получаем: 47,65а+ 19,35Ь = 137,02. Таким же образом из (6.123) получаем: ю ш а .'У, '11+ Ьн = ~~~ 7(11), ш где,,"~~ Я1) = 61,4.
Поэтому (6.123) примет вид 1=1 19,35а+ 10Ь = 61,40. Таким образом, необходимо решить следующую систему уравнений 47,65а+ 19,35Ь = 137,02, 19,35а+10Ь = 61,40. Решение этой системы есть а = 1,78, Ь = 2,69, и поэтому прямая наилучшего приближения (в смысле принципа наименьших квадратов) будет: Я) = 1,781+ 2,69.
На рис. 6.17 показаны несглаженные результаты наблюдений и прямая наилучшего приближения. Интерполирование или сглаживание экспериментальных данных при помощи простой прямой линии основывается на следующих предположениях: 1) экспериментальные точки отклоняются от прямой только благодаря случайным ошибкам наблюдения; 2) прямая линия желательна по каким-нибудь специальным соображениям. Если известно или можно предположить, что отклонения от прямой линии не случайны, то нужно использовать полипом более высокого порядка или, в частном случае, на уже полученную интерполяционную прямую наложить синусоидальное добавление.
Чтобы обобщить способ наименьших квадратов на случай любого полинома, потребуем, чтобы «1 экспериментальных точек (х„у,), (х,, у,), ..., (х, у ) были сглажены при помощи полинома н-й степени: У=П„ХО+а„,Х"-'+ ... +а1Х+ае, (6.124) причем вг ) а. Рассуждения, подобные тем, которыми мы пользовались в случае прямой линии, сводят задачу к разысканию минн- мума выражения Оа= ~~'„3~=- ~ (а Х"+а Х".-1+ ... +а Х +а — У,.)О. (6.125) 1-1 6.
16] ДВА МЕТОДА ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ 241 условиями минимума аа являются следующие уравнения: д (ка) д (ка) д (ка) д (ка) оа„да„1 ' ' ' да1 даа Отсюда получаем систему п линейных уравнений: а„~~~~ х'" +а„, ~~ х,'."-'+... +а ,"~~ х" = ~~~ ~х"уа, "$1 1 1=1 1-1 1я кк кз кк о„~ ха"-'+ а„, ч~~ ~ха"-'+... + а ~~~~ х".-' = ч~», х",-'у к=! 1=1 '1=1 к (6. 126) (6.
127) а„~ х," + а„, ч~~~ х",.-' +- ...+а яь "1=1 1=1 Эта система навывается нормальной. слительиой работы становится тем больше Из 6.127 видно, что вычичем выше степень полинома. У71/ /к Рис. 6.17. Данные наблюдений н прямая наилучшего приближения. 3,0 2,0 8,6 9,3 4,0 7,9 5,0 6,0 7,0 5,5 7,3 8,8 9,4 8,5 3,0 7,0 5,0 9,5 16 Зкк. аааа. А. С. Лккк Пример 2. Провести параболу черен следующие точки, полученные иа наблюдения полета снаряда (рис. 6.18). [гл. 6 млтамлтнчвскнй Апплвлт 242 Пусть уравнение параболы будет: 7(с) = ага+ ьс+с. Тогда зз= ~~~ ~3;= ~~~~~ (аг;+Ьгг+с — 7(гг)) .
с=! с=! Нормальная система будет: а ~~'„Сс+ Ь.)~~ г; + с ~ г; = ~ С; 7(С!), а,5, г,+Ь..,'~~~ г;+с ~~'„Х! = ,'~~Я(г,), а ~~~ ~!, + Ь ~~~~ с!+- с ~~'., 1 = ~ У(1г), Ф!)'(С!) = 2287,04; ~~' С;~(МД = 357,70; ~~~~~ ЯД = 64; ,Я~ 1 = 9. Поэтому окончательно нормальная система будет: 21 520,61а+ 2716,45Ь+ 361,86с = 2287,04, 2716,45а + 361,86Ь+ 52,80с = 357,70, 361,86а+ 52,80Ь+ 9с = 64. Решение этой системы есть а = — 0,40, Ь = 4,21, с = — 1,53.
Парабола наилучшего приближения есть )'(!) = — 0,40гз+ 4,21С вЂ” 1,53. Из рис. 6.18 мы видим, что приближение действительно отличное. Чтобы для интерполяции воспользоваться кривыми, уравнения которых ие выражаются при помощи полиномов, лучше всего польаоваться следующим порядком действий: 1) найти отклонение для 1-й точки; 2) возвысить это отклонение в квадрат; 3) найти сумму этих квадратов для всех точек; 4) найти частные производные от этой суммы по неизвестным параметрам; 5) приравнять все эти частные производные нулю; 6) попытаться решить полученную таким образом систему уравнений.
Если полученная система не решается прямо, часто можно применить какой-нибудь искусственный прием. Например, чтобы воспользоваться кривой у= ае'*, где ч~~= ~ во всех случаях. ! ! Х Ся = 21 520,61; .Я С! = 2716,45; ,~ с! = 361,86; 52,80; Производя вычисления, получаем: 6. 151 двл мвтодл интввполивовлния следует прологарифмировать обе части; тогда будет: 1п у = 1и Й + ах.
Если записать это в форме У=К+ах, решение легко доводится до конца. Подобный же прием можно применять к кривым с уравнением у = ах". а а 3 г л Ф га1 Рнс. 6.18. Исходные данные н парабола наилучшего при- ближения по способу наименьших квадратов.- Интерполирование при помощи метода конечных р а з н о с т е й. Метод конечных разностей исходит из совершенно другой точки зрения, чем метод наименьших квадратов. Во-первых, метод конечных разностей можно применять только для интерполирования с помощью кривых, уравнения которых выражаются в виде полиномов. Во-вторых, интерполирующая кривая обязательно проходит через каждую выбранную точку.
Это значит, что должен существовать какой-то способ выбрать наиболее существенные точки. Наконец, не требуется обязательно назначать заранее степень интерполирующего полинома, исходя только из достаточности числа имеющихся точек. Поэтому, с одной стороны, метод конечных разностей является более общим, а с другой †бол ограниченным, чем метод наименьших квадратов.
Для возможности применения метода обыкновенных конечных разностей необходимо, чтобы подлежащие интерполированию точки были заданы через одинаковые интервалы независимого переменного. Результаты наблюдений чаще всего удовлетворяют этому требованию. 1бь 244 млтзмлтичяский лппаглт [гл. 6 Но в случае необходимости можно применять метод разделенных рааностей, рассмотренный в конце настоящего параграфа, позволяющий отказаться от этого требования. Точки, выбранные из числа заданных, используются для того, чтобы построить следующую таблицу: у ! Д «о Уо Дуо Деу Уг ДУ1 Д'Уо Дау доу Дуе ДВУ Д Уо Уо Дуз причем 7[хо) уо= —,7о и т.
д. При составлении втой таблицы нужно обратить внимание на то, чтобы высшие разности были действительно разностями, а не просто следствием неточности исходных данных. Например, пусть ДД = 0,06, ДЛ=0,07 и, кроме того, известно, что вероятная ошибка измерений величины 7 составляет - 0,02; тогда значения разностей, меньшие, чем Ду'= -0,04 и Дя)'=-+-0,08, уже можно не учитывать. Пример 1. Построить таблицу разностей для У =Зх' — 2х+1 при А= 02, хо= О. 0 1 0,2 0,74 0,4 0,68 0,6 0,88 0,8 1,32 — 0,28 — 0,04 0,24 0,24 0,20 0,24 0,44 Здесь хг — хо = хо — х1 = х, — ха = хо — ха — — Ь вЂ” постоянная ко- нечная разность, а у = 7(х).
Элементы этой таблицы вычисляются следующим образом: Д.уо = Л вЂ” Ли ДЛ=Л вЂ” Л и т. д., д'уо = дЛ вЂ” дУо деЛ = Ь|а — дЛ и т. д., 245 6.15) два мвтодь интэгполиговлния Этот пример показывает, что и-е равности полинома а-й степени постоянны, а разности более высоких порядков исчезают. Если на практике оказывается, что т-е разности постоянны с точностью до ошибки экспериментальных данных, умнов(енных на 2 , то таблица должна быть закончена на т-х разностях. В теории конечных разностей существует много интерполяционных формул; одной из наиболее важных является, по-видимому, формула Грегори — Ньютона У(хь+ггь) =Уо+гауь+ 21 д Уо+ 31 д Уо+ ° ° ° г(г — 1) э г(г — 1)(г — 2) (6. 128) Чтобы применить формулу (6.128) для построения интерполяцион- ного полинома, нужно положить: )о 0,8 1,0 0,4 0,6 0,2 0,69 0,38 1,30 2,01 0,70 дэу(г) дьу(г) ду(г) — 0,30 0,29 0,2 0,70 — 0,09 — 0,01 0,20 0,69 0,4 0,19 0,03 0,23 0,83 0,6 0,42 0,06 0,29 1,30 0,8 0,71 2,01 1,0 Поскольку точность 7(1) есть -+-0,02, вторые разности еще не постоянны с точностью 2'(-+-0,02) = ь-0,08, но третьи разности уже постоянны с точностью 2'( -0,02)=-+-0,16, и поэтому таблицу нужно на этом окончить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
