Локк А.С. Управление снарядами (1957) (1242424), страница 50
Текст из файла (страница 50)
136) (6, 136) »» ! 6. 16) квлткив свидания из твоеии ввгоятиоствй 261 262 МАТВМАТИЧВСКИй АППАРАТ [гл. 6 Если ввести в эти выражения вероятности, то получим: х= ~~~ ~р;хс, ! ! (6. 131) ве = ~~~~ р! (х; — х)г. (6. 138) Функция Р(х) называется функцией распределения вероятности. Вероятность того, что случайная величина 5 удовлетворяет неравенствам а($ (Ь, есть Р(Ь) — Р(а). Если через у(х) обозна- !) Подробнее об Этом определении смс 1) Боев Г.
П., Теория вероятностей, Гостехнадат, 1950, стр. 62; 2) Арлей Н. и Бух К. Р., Введение в теорию вероятностей н математическую статистику, ИЛ, М., 1951, стр. 15. (Прим. перев.) Здесь нам необходимо ввести понятие случайного переменного. Во многих областях науки и техники единственным методом получения сведений о некотором явлении является повторение эксперимента. Предположим, что выполнен ряд таких экспериментов и что результаты каждого из них изменяются совершенно нерегулярным образом, так что невозможно точно предсказать результат отдельного эксперимента. Можно сказать, что явление представляется з виде последовательности случайных результатов. Однако, несмотря на то, что каждый отдельный эксперимент дает результат, непредсказуемый точно, ряд таких результатов подчиняется некоторой статистической закономерности, которая и является основой математической статистики и теории вероятностей.
Эмпирическая вероятность или частость результата определяется следующим образом. Пусть случайный результат получен много раз; обозначим число результатов через п, и пусть результат А получен точно т раз. Тогда число — называется частостью события А. Если это отношение вычислить многократно при растущем и, то окажется, что оно имеет тенденцию приближаться к постоянному значению. Поэтому вероятностью события А называют число Р = — , и ' когда и беспредельно возрастает. Это определение не противоречит введенному, ранее для вероятности а рйог!'). Пусть мы имеем случайные результаты, которые можем по(!учать много раз; пусть каждый результат представляется п числами Цг, Цю ..., $„. Тогда и-мерный вектор 5 называется и-мерным случайным переменным или и-мерной случайной величиной.
Случайные величины, рассматриваемые в этом параграфе, все будут одномернымн, т. е. п=1. Случайная величина 5 имеет единственное распределение вероятности, определяемое равенством !' (х) = Р(5 (х). (6. 139) 6.16) ИРАткив сВедения из твоРЯВ ввгоятиоствй 263 чить производную р(х) по х, то у(х) называется плотностью ве- роятности случайной величины 1. Таким образом, г (х) йх = Р (х < 3 < х + йх). (6.140) +»о я (1)= ~ а(х)у(х) ах, (6. 141) где ((х) есть плотность вероятности величины 1. Приводим без доказательств следующие важные теоремы о среднем значении. Т е о р е м а 18.
Среднее значение суммы случайных величин равно сумме их средних значений. Теорема !9. Среднее значение произведения случайных величин равно произведению их средних значений. Дисперсия случайной величины 1 есть +»о оь / (х — т)' 1(х) йх, (6. 142) где т есть среднее значение величины $. Некоторые функции распределения вероятностей. Одна из наиболее важных функций распределения есть так называемая нормальная функция распределения х (х-о»Р р(х)== ~ е "* йх, а )»2х (6,143) где т означает среднее значение, а а в среднее квадратичное отклоиеиие. Нормальная плотность вероятности, соответствующая (6.143), есть (х — »о)» у (х) е а»' (6.
144) х — т Часто применяют переменное 1=; замена переменного дает: а г» р (х) = = ~ е ' йг, Рс2»» с у(») = —. е е '~' 2х (6. 145) (6. 146) Функции от случайных переменных, например д($), сами являются случайными переменными, распределение вероятности которых определеио распределением величины 1. Среднее зиачеиие случайного переменного д(1) есть матвматнчвскнй апплгат (гл. 6 264 На рис. 6.20 и 6.21 показаны графики соответственно Р (х) и 7(1). Нормальное распределение часто называют распределением Гаусса, а график функции (6.144) — гауссовой кривой ошибок.
й~х! Рис. 6.Ю. Нормальная функция распределения. Большое число задач, связанных с управлением снарядами, требует исследования случайных ошибок, которые подчиняются распределению Гаусса. Для удобства пользования составлены подробные й Рис. 6.21. Нормальная плотность вероятности. таблицы функций (6.146) и (6.146). Точно так же табулирован и интеграл вероятностей ') ег1 (г) = — 1 е-в' йу = 2Р (г 'к' 2) — 1.
В' я в (6. 147) г) См., например, янке Е. и Эм де Ф., Таблицы функций, Гостехиздат, 1948. (Прилг. перев.) 6. 161 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТВй 255 Плотность нормального распределения (6.144) имеет максимум при х = т, равный 7(и) = 1 Изменение значения и вызывает просто смещение кривой вдоль оси х. Но изменение о существенно влияет на форму кривой. Увеличение а уменьшает максимальное значение и делает кривую более лдю Рис. 6.22. Нормальная плотность вероятности при т= о и а = 0,5; 1,0; 3,0. широкой.
На рис. 6.22 показаны графики функции 7(х) для я =О и различных значений а. Площадь всех этих кривых равна единице. Кривые имеют точки перегиба при х = Вг — а и при х = т+ з. При помощи нормальной плотности можно вычислить вероятность того, что результат эксперимента, подчиняющегося этому закону распределения, лежит в известных пределах, Например, вероятность того, что ч лежит в интервале (а, Ь), есть Р(а < ч < Ь)= ~ 7(х)Их. ч (6. 148) Иэ (6.148) можно получить, что '50% результатов будут наблюдаться в интервале е + 0,6745а, 68% †т -+ а, 95% — в и + 2з и 99,97% — в т Зз.
256 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ (гл. 6 Понятие нормальной плотности вероятности может быть распространено и на случай двух переменных. Ее определение есть 1 г(х, у)= 2ва .а„р 1 .1 Х ехр 2 Π— р') где (х — т .) (у — тя) Р= (6. 150) а а — так называемый коэффициент корреляции. Он является мерой связи или корреляции между х и у; если при нормальном распределении р = О, это означает, что х и у не коррелированы между собой. Рис. 6.23. Плотность вероятности в распределении палея при т = 0,25; 0,50; 1,00. 1(ругое важное распределение называется распределением Рэлея; для него плотность вероятности есть х 1(х)= — е "'.
(6. 151) т Она определяется только для х)~0. Распределение Рэлея широко применяется в исследованиях, связанных с радиолокацией, поскольку шумы цели и шумы приемника, после их сглаживания по способу наименьших квадратов, отлично подчиняются этому распределению. На рис.
6.23 показан график плотности распределения Рэлея для различных значений т. Среднее значение равно х — ) хе тФх=т, о (6. 152) 257 6. 61! келткии свидвния из теотим вввоятностий а дисперсия 1 Г вв = — ~ (..с — гл)г е ~н,!х — лгв лг .~ в (6. 153) т) Сга гиег Наго!д, Ма!иегва!!са! Ме!поев о! 6!анв!!св, Рг!псе!ои Уи!тег. впу Ргевв, 1946. [Есть русский перевод: К р а м е р Г., Математические методы статистики, М„1946.
(Прим. иерее.) 17 зак. 2232. А. с. лои~ Таким образом, распределение Рзлея характеризуется всего одним параметром т, который определяет как среднее значение, так и дисперсию. Блестящее изложение теории различных распределений можно найти у Крамера г). ГЛАВА 7 ТЕОРИЯ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ ОБОЗНАЧЕНИЯ аы па†постоянная затухания Ад, Аа †моду отношения напряжений Ьд, да†фазовая постоянная В„Вд — фаза отношения напряжений С вЂ емкос (фарады) дб †дециб Е=0,+Рйо — сигнал ошибки Ео — выходное напряжение Е,— входное напряжение е = 0; — Оо — ошибка, рассогласование У вЂ” частота (герцы) Е = — — безразмерная ча"о стота О(а) — функция комплексной частоты г Н вЂ” высота цели (футы) +со †обозначен суммн+т рования сигналов на схеме +ф — то же для вычита- ния (прибор, измеряющий ошибку) К в параметр, козффициеит усиления (для систем первого основного типа раодо д вен — ~ одд) 2 в преобразование Лапласа 2 †обратн преобразование Лапласа М вЂ” числовой коэффимо циент,— нд М вЂ” передаточная функции корректирующей цепи дс — сопротивление (омы) Й вЂ” расетояние до цели, дальность (ярды) дть †горизонтальн дальность цели дто — наклонная дальность цели на траверзе Йол — гоРизонтальная дальность цели на траверзе Я в отклик, в процентах от входа Й = — — скорость иаменения И лг дальности ( †) гярдд (,сея) ОБОЗНАЧЕНИЯ 259 ! й „( — абсолютная вели- чина максимальной скорости изменения дальности Й,„( — то же для Я Я,„~ — то же для Я Я~ — вторая производная дальности, рассма- триваемой в каче- стве входа Я; — третья производная дальности, рассма- триваемой в каче- стве входа з = а + йо — комплексная часто- та -+ — воздействие, направленное по стрелке 'г' — горизонтальная ско- рость цели (узлы) л — импедаиц генера- тора или источника Л, — импеданц нагрузки Е, — импеданц последовательного плеча че- тырехполюсника са — иыпеданц шунтирующего плеча че- тырехполюсника †входн нмпеданц холостого хода г,з †выходн импеданц холостого хода ао а †кор квадратного уравнения с обратным знаком р — передаточная функ* ция обратной связи ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
