Локк А.С. Управление снарядами (1957) (1242424), страница 47
Текст из файла (страница 47)
141 устойчивость систем с ОБРАтнОЙ сВязью 23! и действует теорема 10. Случай б соответствует усилению, достаточному, чтобы вызвать неустойчивость; годограф проходит через точку — ! + !' ° О, что иллюстрирует теорему 11. Если усиление становится еще больше, чему соответствует кривая в, годограф охватывает точку — ! +!' ° О, и действует теорема 12.
Отсюда мы видим, что применение критерия Найквиста к одноконтурным системам с р = — 1 очень просто. Если рассматривается многоконтурная система, критерий Найквиста может быть обобщен при помощи принципа аргумента Коши. В этом случае задача осложняется, потому что вамкнутая система может остаться устойчивой, даже когда функция КО(в) имеет полюсы и в правой части плоскости комплексного переменного. Первый шаг по-прежнему состоит в том, что строят годограф Кб(в) при в= гш. В случае многоконтурной системы КО(в) будет иметь зид КО(в) = К!О,(в) ° Кгбг(в)... (6.
110) Затем нужно представить себе радиус-вектор годографа, проведенный из точки — 1+!' ° О. Заставим конец радиуса-вектора скользить по годографу и определим изменение его фазы, 2п!ч', когда ш изменяется от — оо до + со. Число оборотов радиуса-вектора, совершенное против часовой стрелки вокруг точки — 1 + !' О, определяется числом М.
Пусть Р будет число полюсов функции КО(в) в правой части плоскости. Тогда имеет место Те о р ем а !3 '). Система устойчива в том и только в том случае, когда число оборотов М против стрелки часов радиуса- вектора функции КО (в), проведенного из точки — 1+ !' ° О, равно числу полюсов Р функции КО(в) в правой полунлоскости.
В случае Р=О из теоремы 13 вытекают теоремы !О, !1 и !2, являющиеся, таким образом, ее следствиями. Все три годографа, приведенные на рис. 6.8, замкнуты, так как полный годограф КО(в) при — оо~(ш (+со образует замкнутую кривую, как показано на одном из них. Для следящих систем это в общем случае не так, потому что полюсы могут быть и в начале координат. Тогда годограф уходит в бесконечность при ш = О.
Важно знать, как замкнуть такой годограф, потому что замыкание и определит устойчивость системы. Пример незамкнутого годографа приведен на рис. 6.9. Здесь КО-+оо при ш-+О, и вопрос состоит в том, как замкнуть годограф при переходе от ш=Π— к а=О+. Чтобы обойти полюс ш = О, поступим, как показано на рис. 6.! О. Начнем обход с в= — !ш и будем двигаться вдоль отрицательной части мнимой г) Хорошее изложение этой теоремм см.
в книге: С Ьезгп я ! Н. апа мауег с. %'., 3егчошесьзпмшз апл йеяя!а!!пя 3ув!еш Вез!Яп, додп М!еу й 8опз, !пс., !и. У., 1951. Ро!. 1, рр. !38 — !46. [гл. 6 млтвмлтнчвский лпплглт оси до тех пор, пока ю не станет очень малым. Затем обойдем начало координат по полуокружности очень малого радиуса, расположенной в правой полуплоскости; после встречи с положительной частью мнимой оси будем двигаться вдоль нее до и = + усе. АдЖеаьтае пдйеепеп ауаГаа Рнс.
6.9. Пример незамкну- Рис. 6.10. Обход полюса в начале коортого годографа. двнат. Обычный способ, применяемый в теории функций, состоит в том, что уравнение малой полуокружности, обходянгей полюс в начале координат, задают в виде в=реут, (6. 111) где Ь-ьО и — — ( ~у( —. Если уравнение годографа, показан- 2 2' ного на рис. 6.9, например, таково: К0(в)= < +„) . (6. 112) то при г-+О, пользуясь (6.111), получим: К6 -+ —.. (6. 113) в~~о~Ь При В-+О модуль КО стремится к бесконечности, причем когда е изменяется от — — до + —, фазовый угол годографа 2 2 ' тстойчивость систем с овглтной связью 233 6.14) изменяется от + — до — — . Это означает, что точки вг = Π— и 2 2' м = О+ замыкаются при помощи полуокружности бесконечно большого радиуса, как показано на рис.
6.10. Подобным же образом может быть показано, что если КО(а) содержит в знаменателе ав, то годограф описывает по часовой стрелке и полуокружностей бесконечно большого радиуса, когда а проходит через нуль. уЛсннснгь снсгн уса Рнс. 6.11. Неустойчивая следящая система с позиционным управлением и передаточной функцией разомкнутого контура К в(в+ вв)(в+ аг) ' Применение. Чтобы пояснить применение критерия устойчивости Найквиста и, в частности, теоремы 13, рассмотрим два примера. В качестве примеров возьмем передаточные функции из числа часто встречающихся на практике. Пример 1.
Первый основной тип следящей системы (с позиционным управлением) КО(в) = (6. 1! 4) Устойчивость системы, для которой передаточная функция разомкнутого контура задана формулой (6.114), зависит от величины 234 млтемлтическнй лпплвлт (гл. 6 физенппнгп пнппнппп по!лупя I l Рис. б.!2. Устойчивая следящая система с позиционным управлением н передаточной функцией разомкнутого контура К(8+ а) 8(8+ "о)(8+Ч) ' П р им е р 2. Второй основной тип следящей системы (с управлением по проиаводной) КО (8) К (8 + оо) "=па(8+а,)(8+ о) (6.116) Эта передаточная функция характеризует систему, которая не имеет ошибки, если вход изменяется с постоянной скоростью. Рис. 6.13 соответствует такому выбору параметров, при котором. система неустойчива.
В этом случае полюсов в правой части усиления К и чисел во и и,. Рис. 6.1! соответствует такому выбору этих параметров, при котором система неустойчива. Она может быть сделана устойчивой или путем уменьшения усиления, или путем введения подходящей коррекции. В последнем случае вместо (6.114) рассмотрим передаточную функцию в виде КО(8)= К(8+ ') (6.116) 8(8+не) (8+а ) ' Ее годограф показан на рис.
6.12. Заметим, что годографы на рис. 6.11 и 6.12 вычерчены не в масштабе и показывают лишь качественную сторону дела. 6. 14) УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТВМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 236 плоскости не существует, т. е. Р = О, в то время как радиус- вектор годографа, проведенный из точки — 1+/ ° О, описывает два полных оборота в направлении часовой стрелки, когда в изменяется от — со до + со, т.
е. М = О. Поскольку И + Р, система неустойчива. Уменьшив усиление, систему можно сделать устойчивой; годограф устойчивой системы показан на рис. 6.!4. Здесь Гу' = О; поскольку М = Р, то система устойчива. Фаа Пир Рнс. 6,13. Неустойчивая следящая система с управлением по производной и передаточной функцией Кд (з) К1 (з + ~~0) лв(з+ "'1)(з+ "з) ' С т е п е н ь у с т о й ч и в о с т и. Пользуясь критерием Найквиста, мы до сих пор только констатировали наличие устойчивости или неустойчивости. Однако годограф функции КО(з) дает возможность также судить о степени устойчивости и о величине запаса устойчивости, иначе говоря, о том, насколько усиление близко к критическому ').
Рассмотрим произвольный годограф, например изображенный на рис. 6.16. Нетрудно заметить, что отрезок а и угол у самым тесным образом связаны с устойчивостью. Система, к которой относится рис. 6.16, устойчива. Увеличивая усиление, пока не станет а < О, мы сделаем систему неустойчивой; при этом уменьшается, 1) Годограф функции К0 (з) дает возможность определить также н переходный процесс системы, но мы на зюм останавливаться не будем. 236 (гл. 6 млтвмьтичвский Апплвлт становится равным нулю, а затем отрицательным также и угол у. Угол Т носит название запаса устойчивости по фазе; он связан с фазовым углом годографа ~у соотношением т =180'+ р, причем знаки углов соответствуют направлениям, показанным на рис.
6.15. Фазовый угол годографа положителен, если он отсчитывается против часовой стрелки от 0'! запас устойчивости по Рис. 6.!4. Устойчивая следящая система с управлением по производной н передаточной функцией разомкнутого контура Ка(е+ ч) ег (е+ вн)(5+ вв) фазе положителен, если он отсчитывается против часовой стрелки от 180'.
Отрезок а называется запасом устойчивости по модулю и считается положительным, если годограф пересекает действительную ось между точкой — ! +у ° 0 и началом координат. Теперь мы можем сформулировать критерий Найквнста следующим образом: Те о р е м а 14. Система устойчива е том и только е том случае, когда запасы устойчивости по модулю и фазе оба 'поло- жительны. 6. 141 ястойчивость систем с овгатной связью 237 Далее, очевидно, что степень устойчивости зависит от величины запасов устойчивости по модулю и фазе. Вопрос об установлении безопасных запасов устойчивости будет рассмотрен в главе 7.
Логарифмические частотные характеристики. Передаточную функцию КО (г) разомкнутого контура можно изображать графически различными способами. Один из таких способов приводит к построению логарифмических частотных характеристик. В этом случае строят модуль ~ КО (з)~ по частоте и фазу ф или запас устойчивости 7 по частоте, причем модуль и частота Рис. 6.15. Запасы устойчивости по модулю и фазе. откладываются на логарифмической шкале. При таком способе линия 0 дб соответствует кругу с радиусом, равным единице на рис. 6.15; частота, на которой график )КО(г)! пересекает эту линию, называется часлтолтол среза.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
