Локк А.С. Управление снарядами (1957) (1242424), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Пусть будет: 7(Г)=з1по<ф при Г)~0, где ого — действительное положительное число. Получим: 2 ! Я)! = ~ е-'г зт гооГ агГ = —. ~ е-'г (ее" г — е — Гмг ) г(г = р о 2У ~е Уао е+/оо l ее+ '"оа Вычисления подобного рода и приводят к таблице 6.1. (6.10) 6,4. Основные предложения.из теории преобразования Лапласа Преобразование Лапласа применяется не только для упрощения функций действительного переменного; оно еще более полезно для упрощения некоторых операций. Излагаемые в этом параграфе теоремы позволяют вычислить изображения следующих операций: у'(г) =-" — '„'," (6.12) г1 Сгг.
С и и г с Ы 11, рр. 157 †1, цит. иа стр. 204. гт-г>(Г)=~У(Г) 71=~7(Г)И-+-У<-1(0+), о где 71 0(0+) означает величину неопределенного интеграла от Дг) при приближении г к нулю с положительной стороны. Простейшая теорема операторного исчисления утверждает линей- ность прямого и обратного преобразования Лапласа.
Теорема 1. Линейность: 2!аХ (1) г-Ь7аЯ1 =аГг(е) ' ЬГа(е), 2 '!аГ,(л) -ЬГ,(е)!=а~,(1) -ЬУ,(Г) (Г)~0). Эта теорема вытекает непосредственно из определения прямого н обратного преобразования Лапласа '). 6.4] основныв пгвдложвния из твогии пгвовглзовлния лапласа 207 Теорема 2. Дифференцирование по времени Если 7(1) и ее первая производная преобразуемы по Лапласу и если ь'[7(1)]=Е(з), то (6. 13) и [7' (г)] = зР (з) — 7 (О +). Теорема 3.
Интегрирование по времени. Если 7(Г) преобразуема по Лапласу и если 2[Я)] = Р(з), то 2 [71-1(1)] = —,1 ]р(з)+ 7- >(о+)]. Эти две очень важные теоремы доказываются сравнительно просто, применяя в (6.2) интегрирование по частям. Подробное доказательство см. у Гарднера и Вэрнса'). Теорема 4. Те о рема за п авды в а ни я.
Если функция 7(1) преобразуема по Лапласу и если ЕЯГ)]= Р(з), то 2 [7 (С Ь)] — е — ььр (з) (6. 15) где 7(1 — Ь) = 0 при 0 <1( Ь, причем Ь есть положительное действительное число. Те о рема 5. Те о рема смещения. Если функция 7(1) преобразуема по Лапласу и 2[7'(С)]= Р(з), то о [е- ьгУ (1)] Е (з [ Ь) (6.16) где Ь вЂ” комплексное число с неотрицательной действительной частью. Даем еще две предельные теоремы, которые иногда применяются в теории следящих систем. Т е о р е м а 6. Т е о р е м а о п р е д е л ь н о и з н а ч е н и и. Если 7(1) и ее первая производная преобразуемы по Лапласу и если 2[)'(1)]= Е(з), то 1пп зр (з) = !1гп 7"(1), в-»ь с-» (6.
17) г) О агй и ег Меггау Р. апй В агп еэ эойп Б., Тгапэ!ел!э !и Б!пеаг Буэ!етэ, то!. 1, рр. 126 — 130, лойп йг1!еу в! Яопэ, 1пс., 1чечг уогк, 1947. [есть русский перевал: Гарднер М. Ф. н Бэрнс Дж. Л., Переходные процессы в линейных системах с сосредоточенными постоянными, иэд. 2-е, Гостехиэдат, 1951. (Прим. перев.)] причем предполагается, что зР(з) есть аналитичесьая на мнимой оси и в правой полуплоскости. Высказанное здесь предложение означает, что знаменатель выражения зР(з) не может содержать множителей вида з — зе, где действительная часть зе положительна. Это будет очень подробно пояснено в 9 6.13. 208 [гл. 6 МАТВМАТИЧВСКИй АППАРАТ Теорема 7. Теорема о начальном и ее первая производная преобразуемы 2 [Д(1) [ = Р (в), то йа вР(в) = йт 7(г), Е.+ са 1 .+ О з н а ч е н и и.
Если 1 Я по Лапласу и если (6.! 8) при условии, что Игл ар(в) существует. з.+ е Таблица 62 Основные теоремы операторного исчисления )й Оригинал У(О (Г) 0) Изображение Р(в) аЛ (Г) +- бУз (Е) а Рг (з) +. брз (в) у'(е) =— ау (е) дв вР (в) — у (О + ) — [Р(з) — ус 0(0+)[ ' (е) = / Пс) г у(е — б), где У(г — б) =0 прн 0(Ф(б, а б — действительное положительное число е-ьз Р(з) Ут(г — т) Уз(с) дс о Р (з) Рз(в) еиР(в) — в" ~ у(0+)— зи-зУс(0 ..) ... Уи-з(О[-) Теорема о предельном значении !ип вР(в) = 1пп У(Г), з с предполагая, что в Р(з) — аналитическая на мнимой оси и в правой полуплоскости Теорема о начальном значении йт вР(з) = йт у(т) 8.Ьсс г-эо Предел 7(б) при 1 -+ 0 берется при условии, что стремление к нулю происходит со стороны положительных значений Е Под- 6.5[ гашении пгоствйшвго интвгго-диеевнзнцилльного тглвнвния 209 робное доказательство этих двух теорем можно найти у Гарднера и Вэрнса').
В таблице 6.2 мы приводим для справок формулы, относящиеся к теоремам 1 — У и некоторым другим. В качестве примера использования преобразования Лапласа для решения линейных интегро-дифференциальных уравнений рассмотрим очень простой тсС-контур (рис. 6.2). Здесь Е есть постоянное напряжение, )т и С вЂ так постоянны. Требуется найти ток 1(1) после замыкания контура, если предположить, что при разомкнутом контуре конденсатор не заряжен.
Мы предполагаем, что читатель достаточно знаком с при- ) менением закона Кирхгсфа, согласно которому имеем уравнение тг т(Г)+ — [ 1(1)с!1=Е. (6.19) Рис: 62. Простейший кС-контур, Г С.[ Применим преобразование Лапласа к обеим частям этого уравнения Ея '(г)[+Вас! Уг(г) 3=2[е[ Отсюда, используя таблицы 6.1 и 6.2, получим: Я~(.)++[~(.)+б- (0+)[ = Е, где Е [1(1)[ = 1(г). (6. 20) Начальное условие, состоящее в том, что заряд конденсатора равен нулю, дает й-т1(0+)= О. Поэтому, разрешая (6.20) относительно 1(г), получим: 1(е) = ( +еС) (6.21) 1 а+в 1тС Если ввести обозначение )тС = Т, то вместо (6.21) можно написать: 1(е) = — ° Е тс (6.22) т) Еос.
сн, рр. 265 — 269. [Или стр. 304 — 309 русского перевода. (Прим. иерее.)[ !л заш 2232. А. с. лакк 6.6. Решение простейшего интегро-дифференциального уравнения 210 млтвмлтичвский лпплглт Для выполнения обратного преобразования Лапласа воспользуемся формулой )16 3 из таблицы 6.1; мы получим; 2 [/(з)) = 1' (г) = — 6 ~'+ 1 т1 (6. 23) 1 т 1(1) =. — е й что и решает поставленную задачу. Такова стандартная процедура решения дифференциальных уравнений при помощи преобразования Лапласа. Однако часто результат получается не так просто, и нам необходимо рассмотреть применение разложения на простейшие дроби, прежде чем перейти к более сложным примерам.
1 6.6. Обратное преобразование Лапласа для дробно-рациональной функции 4 Метод решения дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа в общем случае таков, как будет показано в примере 1 этого параграфа. Обычно функция переменного з, из которой путем обратного преобразования Лапласа мы получаем решение задачи, оказывается значительно более сложной, чем (6.22).
Вообще она получается в виде дробно-рациональной функции В (а) А (2) а„,а~а 12 1-1+ ... + л12+ лв (6 24) В (Я) зч+ зв — 121+ + 615+ ~2 где все а и Ь вЂ действительн постоянные, а л2 и п — целые положительные числа. Оригинал для изображения типа (6.24) только в редких случаях может быть найден в таблицах. Вообще же при п>~ л2 нужно разложить В(г) на множители и затем представить Р(з) в виде суммы простейших дробей. Здесь могут встретиться два важных случая: 1) корни многочлена В(з) все действительны и различны (нулевой корень не исключается); 2) имеются кратные корни. Случай 1: различные корни.
Пусть и корней многочлена В(з) будут з,, 22, ..., з„, причем один из них может быть нулем, но никакие два из них не равны друг другу. Тогда можно написать: В (2)— А (2) (2 21) (2 22) '' (2 аа) (6. 25) или в виде разложения на простейшие В (з) = ' + ' + + 21 2 22 2 ай Найдем не определенные пока коэффициенты этого выражения.
Чтобы найти, например, К„умножим обе части (6.26) на з — г, и 6.61 2! 1 ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА (6.27) где все а — действительные различные положительные постоянные. Согласно (6.26) это может быть переписано так: В() Ко+ Ко + Ко 8 8+вО 8+вя где выражения для неопределенных коэффициентов по (6.27) таковы: К(8+ во) К'= ( +,И +~)1.=. К,=~ К"о вошо ' К( — во+ во) (6. 29) — во ( — во + ао) К( — "о+ во) — во ( — шо + шо) Поскольку все К постоянны, оригинал В(8) по (6.28) будет; 6 -о К(8+ шо) 1 Кшо К(шо — шо) о К(во — шд е- е "1.
8 (5+ вг) (8+ вя) 1 шошя шО (вя — шО) вз (вΠ— вя) (6.30) С л у ч а й 2: по крайней мере один кратный корень. Обозначим л коРней В(8) чеРез 5,, 8,..., 8„, пРичем коРень 85 имеет кратность д. Теперь можно написать: А (8) ( — 8)'(5 — о)".( — 8 ) Разложение на простейшие дроби будет следующим: В()= " + " + + " + (8 — до ( — 5)о ' (8 — ) Коэффициенты К„Ко,..., К„могут быть вычислены совершенно так же, как в случае 1. Но для вычисления первых д коэффициентов Коы Кою „, К,о требуется другой метод.
Чтобы найти Кы, 14о затем положим 5 — 8, = О. Яля любого коэффициента Кр это дает: Когда все К определены, уже нетрудно найти оригинал для каждой из простейших дробей; напРимеР, Я '~ — ~-~=Кре ". (6. 28) П р и м е р 1. Найти оригинал по изображению К(8+ шо) ""= 8(8+,)(8+') (гл. 6 продифференци- получится выра- (6.33) млтвмлтичвский лпплялт 212 умножим обе части равенства (6.32) на (г — г,)з и руем ! — 1 раз. Если теперь положить г = г„ то жение для Кьп Таким образом, 1 Гл ! (г — г!)я А (г) 1 (! — 1)! (о!г~ ! В (г) Ло о, 1 Г И вЂ” К(о+2ео) 1 К(Зоо — о>!) При вычислении К,з использован результат, полученный !ранее при вычислении К . Воспользовавшись теперь таблицей 6.1, мы получим следующее выражение для оригинала при !)~0! Е [ ( + ~ =Код!+Коз+ ( — Кзз! +Коз!+Коз~ г А (6.34) 6.7.
Решение некоторых важных интегро-дифференциальных уравнений Изложенная в предыдущем параграфе теория позволяет решить некоторые из наиболее важных интегро-диффереициальных уравнений, встречающихся в теории следящих систем. Например, часто Этот метод вычисления может оказаться очень утомительным, если !7 велико. Если у В(г) имеются еще и другие кратные корни, нужно повторить описанные действия для каждого из них. Следующий пример может помочь разобраться в последовательности вычислений.
П р н м е р 1. Найти оригинал, если изображение имеет вид о ( ) К(о+о'о) гз(г 1 Д)о . Согласно (6.32) мы можем написать: р Кн Кгз ! Дм ! Км, Кзо ~ (г) гз + г ! (г ) )о + (г ( )з + (г ( ) ° Вычисляем коэффициенты по (6.33): Г К(г+ о) 1 Кмо " (г+ о'!) !в=о К(о+ о!о) 1 Г К(г+ о>!) — ЗК(г+ чо) 1 К(е! — Зюз) л (+,) 1,, ( (+ )' К =~— Г К(г+ чо) 1 К("о — ™!) г "в=-, е! К(о+ ее)1 à — К(г+2о>о)1 К(2оо — е!) —,=Г нг гз о= ю, о!! требуется изучить поведение контура, изображенного на рис. 6.3, если вход задан в виде единичного скачка или единичной линейной функции. Интегро-дифференциальные уравнения для входа и выхода этой цепи будут: (6. 35) где Ог1 и Ое(Г) — входное и выходное напряжения. Если в начальный момент конденсатор не был заряжен, то б-п(0+) = 0; тогда преобразование Лапласа дает: Ог(з) =)~7(')+ С 7(') Ое(8) = ~ У(8), 1 (6.36) где Здесь мы ввели новое обозначение для изображения; чтобы из- бежать недоразумений, остановимся на этом несколько подробнее.
Как видно из й 6.2, изображение есть функция, существенно Я отличающаяся от оригинала и определенная в другой области. Поэтому мы, строго говоря, должны р, были бы написать Е (0,(1)) = 8(г), л т. е. использовать для обозначения изображения новую букву. Обычно малые буквы обозначают оригиналы (т. е. функции Рис. О.З. Простейший фильтр нижних действительного переменного— времени), а соответствующие им большие буквы — изображения (т. е. функции комплексного перемен- ного л). Однако в инженерной практике большей частью принято использовать одну и ту же букву для обозначения и оригинала и изображения, например 9 (О;(Г)) = 0~(г). Но нужно помнить, что изображение Ов(г) не получается из Оэ(Г) простой заменой 1 на г в алгебраическом смысле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
