Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Это связано с тем, что фазовая ско- /?с»?к=с рость волн е//г=с/(1 — каор/оР)ия превышает скорость света в вакууме и, следовательно, кср нет частиц, которые могли бы находиться в резонансе с такими волнами. Поэтому единст- / пенный очевидный механизм затухания электромагнитных волн в такой плазме — это торможение электронов, вызванное столкновения- 0 ми. В формуле для диэлектрической проницаемости учет этого эффекта дает мнимую рее ьв Ляспорсиончасть.
Действительно, если в уравнении движения для электронов в поле волны учесть силу трения электронов и ионов т,х= — еЕо ехр ( — ио/) — т,х /к,ь то для смещения х получаем х= (с/ще0) (ко+ 1угя) ) Ео ехр ( — 1о)/) . Используя (1.33) и (1.34), находим с=1 — (оер/о) (ко+1ргя) . (1.36) Для электромагнитных волн в плазме, как правило, выполняется неравенство оЛ»о«Действительно, для нижней границы частот 3 — ?4 33 в = в оно эквивалентно условию врт„))1 (условию идеальности плазмы агап))1, см 3 1.3). По этой причине формулу (1.36) с достаточной степенью точности можно представить двумя первыми члена~ми разложения в ряд по величине тм/в: е=1 — вз /вз+!вз р '(вз (1.36а) До сих пор мы рассматривали движение электронов в электрическом поле волны в линейном по амплитуде приближении.
В этом приближении электроны совершают быстрые колебания в направлении электрического поля со скоростью и, определяемой соотношением (1.27). В следующем порядке по амплитуде усредненный эффект квадрата быстрых осцилляций приводит для электромагнитной волны с пространственно неоднородной амплитудой к вытеснению электронов плазмы из областей, заснятых электромагнитным полем, Физику такого вытеснения ~можно объяснить следующим образом. Электромагнитное поле, вызывая высокочастотные колебания элекгронов со скоростью и(/), создает как бы дополнительное высокочастотное давление р,л пт,иг, в результате чего электроны плазмы стремятся перемещаться к минимуму поля.
Рассмотрим для определенности стоячую электромагнитную волну. В такой волне электрическое и магнитное поля лежат в плоскости, перпендикулярной к направлению неоднородности (ось г): Е,= (1/2)Е,(г) ехр( — 1ая)+к. с. Н„= (1/2) Н„(г) ехр ( — 1в/) +.к. с. Здесь к.
с. означает слагаемое, комплексно сопряженное первому. Амплитуды полей связаны соотношением с/Е,/с/г=1 (в/с) Н„, вытекающим из уравнения Максвелла: го!Е= — (1(с) дН/д/. В соответствии со сделанными выше замечаниями электроны плазмы в волне конечной амплитуды участвуют в двух движе- ниях — быстрых колебаниях в направлении электрического поля и медленном смещении вдоль неоднородности: г=(1/2)х ехр( — 1в/) +г(/) +к. с.
Уравнение движения электронов вдоль оси г имеет вид т,г'= — (е(с)иН„=(1/4) (е/с) (иехр( — 1в/)+к. с.) Х Х(Н,ехр( — 1в/)+к. с.). (1.37) В последней формуле мы учли, что скорость электронов — вещест- венная величина, и представили ее в виде и=(1/2) и(г) ехр( — 1в/) +,к. с., где величина и(г) определяется формулой (1.27). Проведя в пра- вой части (1.37) усреднение по быстрым колебаниям, получим сле- 34 дующее уравнение для медленного движения электронов по осн г: т,г'= — (е'!4т,аз) (ЕдЕ"!дг+к. с.)= = — (еч) 4 т»гоч) д ) Е ) з/ дг. (1.38) Это уравнение означает, что в поле электромагнитной вол~вы с пространственно неоднородной амплитудой на электроны плазмы действует сила высокочастотного давления, направленная против градиента электрического поля: (! .39) 1'»= — дрв.ч/дг.
Высокочастотное давление, создаваемое электромагнитной волной, равно р, ч — (е'и!4т,ы') Е'(г). (1.40) Эта формула получена для стоячей мономроматической электромагнитной волны, однако в действительности она имеет достаточно универсальный характер. В частности, такая же формула для высокочастотного давления получается при рассмотрении движения электронов в неоднородном продольном электрическом поле конечной амплитуды: Е,=(1/2)Е,(г)ехр( — !»о1)+к. с. Пусть частицы колеблются около точки г, в поле с амплитудой, возрастающей в сторону увеличения г. При колебательном движении сила направлена против смещения.
Поэтому когда электрон смещается направо, на него действует возвращающая сила большей величины, чем при смещении налево. В итоге возникает результирующая сила, действующая в сторону уменьшения г, т. е. в направлении, обратном градиенту электрического поля. Ограничиваясь членами, квадратичными по амплитуде поля, действующую на электроны силу можно представить в виде Р= — (е/2)'!Е ехр ( — !оо!) + + бг (дЕ /дг) ехр ( — но!) ] + к. с. Соответственно этому движение электронов по г представляется в виде суммы быстрых колебаний бг= — (еЕ)2т»ыз)ехр( — !»о!)+к. с.
(1.41) и медленного смещения под действием силы, усредненной по быстрым осцилляциям: (Р») '= — (е/2) (бг1(дЕ, !дг)ехр ( — !ы!) +к. с.] ). Подставляя в правую часть этого соотношения'бг и проводя усреднение по быстрым колебаниям, вновь придем к формуле (1.40) для силы высокочастотного давления. Эта сила обращается в нуль для бегущей плоской волны, во всех других случаях она отлична от нуля и приводит к вытеснению плазмы из областей, занятых высокочастотным полем. По этой причине для удержания плотной Зч 35 плазмы могут быть использованы мощные пучки электромагнитных волн, получаемые в современной когерентной д- электродинамике.
Механизм удержания разьлггго ясняется следующим образом. В достаточно плотную плазму электромагнитная волна не о проникает, и вблизи границы плазмы возникает градиент Рнс. 1.б, Действие давления электромагнитной волны на плазму электрического поля. Тогда под действием силы высокочастотного давления профиль плотности плазмы искажается— электроны гплазмы смешаются в область, свободную от электромагнитного поля (рис. 1.б). При этом возникает поляризационное электрическое поле, в результате чего ионы смещаются вслед за электронами. Уравнения, описывающие равновесие плазмы с электромагнитным полем, можно записать в виде — еЕо — (ео/4пг,гло)дЕз(де — (1(п)дпТ„где=О; ',1.42) еЕо — (1 ) и) дпТг) де=О.
(1.43) (Здесь мы пользовались условием квазинейтральности п,=п,.) Из этих уравнений имеем гг=по ехр( — ео) Цо(4т,гоо(Т,+ Тг)). еЕо= — еа)Е)аТг)4т,гоо(Т,+ То), где по — невозмущенная плотность при Š— г-О. Таким образом, достаточно мощную электромагнитную волну ез ) Е ) а ! теогз )) Те+ Тг действительно можно использовать для удержания плазмы, й 1.7. Проникновение электромагнитной волны в плазму.
Трансформация в плазменные колебания Поскольку при аз<гор диэлектрическая проницаемость плазмы отрицательна, электромагнитные волны в такую плазму не могут проникать больше, чем на глубину скин-слоя. Оказывается. в некоторых случаях внутри этого тонкого слоя толщиной порядка с/гор с электромагнитной волной могут происходить поистине драматические события. Их проще всего понять, если рассматривать распространение электромагнитной волны в неоднородной плазме, плотность и диэлектрическая проницаемость которой зависят от пространственной координаты, Будем считать, что плотность монотонно нарастает в глубь плазмы (вдоль з). Пусть в такой плазме под углом к оси е распространяется электромагнитная волна.
36 Если плотность плазмы меняется достаточно медленно в масштабах длины волны, т. е. выполнено условие гочс»1, где Ь вЂ” характерный пространственный масштаб изменения плотности, то задачу о распространении электромагнит- ной волны всюду, за исключением особых точек, можно ре Рис..!.7. Пространственное распределешать в приближении гео1яетрн ние электРического поля элсигроиагннтной волны в неоднородной плааие вблической оптики. В этом приблиаи «топни огра.кения» женин волновое поле, как и в однородной среде, можно искать в виде плоской волны, учитывая, однако, что з-составляющая волнового вектора и амплитуда волны медленно меняются с расстоянием: Е, И=(сопзМ')ехр ~1 )'(а,да+ )лпр — 1»ог).
(1А4) Для простоты предположим, что волновой вектор лежит в плоскости уз (плоскость падения). Дисперсионное уравнение этой волны имеет такой же вид, как и в однородном случае: Иа»+(аа, =(го'(ся) е. (1.45) Слева от области, занятой плазмой, т. е, в вакууме, это уравнение, очевидно, переходит в следующее: ла=оа(са. Поскольку (сап= =(таз)пэО, то дисперснонное уравнение в общем случае моакно записать так; (аа,= (оээ(са) (е — з)паО) . Точка е=з1п'О называется точкой поворота волны. Структура поля вблизи точки поворота показана на рис.
1.7. Слева от точки поворота осцилляторная структура стоячей электромагнитной волны— результат наложения падающей и отраженной электромагнитных волн. Справа от точки отражения поле экспоненциально затухает в глубь плазмы. Более детально структуру поля можно найти, решив уравнения Максвелла: го1 Е=)(м(с) Н; ГО1 Н =' — 1а (а»(С) Е. (1А6) Здесь е — функция координат. Подставляя Н из первого уравнения во второе, получаем следующее уравнение для Е: ЛЕ+е(оаа(са) Š— игад б(т Е=О. (1,47) Лналогичным образом исключая Е, находим уравнение для Н: ЛН+в(гоа(с ) Н+(1(в) 11(е, го1 Н1=0. (1.48) 37 При исследовании структуры поля будем различать два независимых случая поляризации волн: Я-поляризацию, когда электрический вектор перпендикулярен к плоскости падения, т.
е. в рассматриваемом случае направлен вдоль оси х, н Р-поляризацию, когда электрический вектор лежит в плоскости падения уг, а по оси х направлено магнитное поле волны. Наиболее просто рассматривается случай Е-поляризации, когда уравнение (1.47) для электрического поля можно представить в виде д'Е/дг'+ (и'/се) (е — 3!п»0) Е=О. (1.49) Достаточно далеко от точки поворота е=-з)п'0 решение этого уравнения можно получить в приближении геометрической оптики; оио совпадает с формулой (1.44), структура поля в этом случае соответствует структуре, изображенной на рис. 1.7. Для того чтобы получить решение вблизи точки поворота, надо ~адаться конкретной зависимостью е от координаты.
Будем очи~ать, что в этой области плотность плазмы меняется по линейному ~акону п=п«(1+г/Е) (здесь пр — плотность электронов в точке, де плазменная частота совпадает с частотой волны). В этом случае уравнение (!.49) приводится к знаменитому уравнению Эйри: д'Е/дг" — (ые/се) (г'//.) Е=О, (1.50) где г'=г — Ьз!п«0. Решение этого уравнения, не имеющее особенности в точке г'=О, выражается через хорошо известную функцию Эйри.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
