Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 11
Текст из файла (страница 11)
По порядку величины й, 1/Ьа, поэтому поток энергии, уносимый плазменной волной, приближенно равен паз./4п=(1/4п) (Н„(0) з(п 6) 'ырЕ. Подставив в это соотношение значение магнитного поля в точке резонанса из (1.56), получим окончательное выражение для потока энергии в плазменной волне; окЕ',/4иг п(Нз/4и) (Фз(т) /2л) . Если ввести коэффициент трансформации электромагнитной волны в плазменную волну, равный отношению потоков энергии в плазменной и падающей электромагнитной волнах, то нетрудно видеть, что при углах 6з (ьхЕ/с)-ыз он оказывается порядка единицы.
Более точное рассмотрение, основанное на решении уравнения Эйри для продольного поля, показывает, что этот коэффициент в точности совпадает с коэффициентом поглощения электромагнитной волны в результате соударений 1см. формулу (1.59)1. Иначе говоря, в обоих случаях должна теряться одна и та же доля падающего на плазму потока электромагнитной энергии. й 1.8. Излучение плазмы (1.64) В правой части неравенства (1.64) стоит величина, характеризующая степень неидеальности плазмы как газа, т.
е, обычно чрезвычайно малая. Выражение, стоящее в левой части, удобно предСтавить как отношение (/а/Т,)пз, где /а=е4т,/$' с точностью до численного коэффициента порядка единицы совпадает с боровской энергией электрона в атоме водорода.
Для условий обычного га- 43 В плазме без магнитного поля электромагнитное излучение обычно возникает в результате элементарных процессов неупругого взаимодействия частиц. Одним из таких процессов является не- упругое рассеяние электронов в электрическом поле иона с потерей энергии, которая превращается в электромагнитное излучение. Это так называемое тормозное излучение электрон о в — главный источник излучения плазмы при очень высокой электронной температуре. Оно имеет сплошной спектр: энергия фотонов йв, излучаемых в элементарном акте, лежит в пределах от Й ыр (что соответствует нижней возможной частоте электромагнитных волн в плазме) до в„где в,— кинетическая энергия электрона до столкновения. Как правило, основная доля излучаемой энергии приходится на частоты в»ы„.
Действительно, это условие для квантов с энергией порядка средней тепловой энергии электронов Яа- Т,можно преобразовать к виду е'(т,) /й (Г,) ~ >) 1/пг'р. зового разряда эта величина порядка единицы. Она становится меньше единицы для высокотемпературных плазм, но обычно это с лихвой компенсируется еще более значительным уменьшением правой части неравенства (1.64).
Частотный спектр излучения для элементарных актов торможения нерелятивистских электронов с заданной энергией ш, приближенно можно получить, по существу, в рамках классической электродинамики. Воспользуемся известной формулой для интенсивности классического дипольного излучения заряда, движущегося с ускорением; с/ЯГ/ой=(2/3) еодо/сз (1.65) Полную энергию, излучаемую электроном при пролете около рассеивающего центра (иона), можно представить и как интеграл по всем возможным частотам: ОР оо (2/3) (е'/с') ~исМ=(2/3) (е*/с) 4я ) ! о„<оойо, (!.66) — ~о о где с =(1/2в) ~п(Г) ехр( — !м/) Ж вЂ” разложение ускорения в инте- грал Фурье. Рассмотрим тормозное излучение прн столкновениях с большими прицельными расстояниями, т.
е. с малыми углами рассеяния (О«1). В этом случае ускорение, испытываемое электроном, почти перпендикулярно к его первоначальной скорости и приблизительно равно = (Ке'! и,) '1Ь/(Ь'+ с'/') ~ 1. (1.67) Напомним, что в $1.4 упругие столкновения были рассмотрены в этом же приближении. Теперь вычислим компоненту Фурье от величины ускорения, определяемой формулой (1.67): о =(1/2я) ) 6 (т) ехр( — !м/)М= = (1/2в) (2се'Ь/и„) ~ соз о/ '!1/(Ь'+ о'/о)"' ) а1г.
о Возникший здесь интеграл можно выразить через некоторую бесселеву функцию от мнимого аругумента. Чтобы не вдаваться в детали теории специальных функций, ограничимся простой интерполяцией интеграла А = ~ г/! соз оя/(Ь'+и'/') ', о основанной на следующих рассуждениях. При достаточно малых частотах а«п/Ь в существенной области интегрирования 1~Ь/п 44 (т.
е. при таких г, когда знаменатель подынтегрального выраже- ния еше не успевает слишком сильно вырасти) можно положить совах.' =1. Тогда интеграл берется и равен А (а((п! Ь) =1/Ь'о. В противоположном предельном случае больших частот аЛьс/Ь в той же существенной области интегрирования 8~ Ь/о множитель сова! успевает совершить большое число осцилляций, в результате чего подынтегральное выражение оказывается знако- переменным и интеграл становится очень малым (экспоненциаль- но, как следует из теории бесселевых функций). В этом можно было бы убедиться и с помощью прямых вычислений, например по методу перевала. В итоге для приближенной оценки интенсивности тормозного излучения напрашивается простая интерполяционная формула, объединяющая оба предельных случая: 1/Ьхо при а(о Ь, О при в>п~Ь.
Соответственно энергию, излученную при столкновении с прицель- ным параметром Ь в интервале частот от а до а+х1а, приближен- но можно представить в виде К(а) па=(8 !3) (аеас!пЬзп') гало где го=е'/гпсз — классический радиус электрона. Безразмерная величина й7(а)йо/й а определяет вероятность излучения кванта с частотой в интервале от а до а+Ив. Теперь нетрудно получить эффективное сечение излучения такого кванта, если проинтегри- ровать по всем возможным прицельным расстояниям: ьаах На(а)= ~ (Ф'(а),вайа)г1а2тйг(Ь- ьаы = (16,'3) (~е'с'(йсо') «', (па!а) 1п(Ь ...'Ьа ).
В этом выражении в отличие от формулы кулоиовского логарифма Ьа„„вообще говоря, уже не имеет смысла дебаевского радиуса гв. Действительно, поскольку 5'(а) равно нулю при а>п/Ь, то всегда Ьахх во всяком случае меньше и !а. Таким образом, при о/а(гп следует обрезать логарифм при Ьа„=о/а. Именно так обстоит дело во всех практически интересных случаях а))ыр.
Если в этом, по существу чисто классическом, выводе учесть возможные квантовые эффекты хотя бы самым примитивным образом, положив Ьра„равным длине волны де-Бройля электрона Ьаьх=й/то, то окончательное выражение для сечения тормозного излучения сйх (а) = х( (1613) (2'е'1 ей) (с'(вх) (гх,!а) 1и (гп,п'/ай) (1.68) 45 оказывается почти совпадающим с результатом квантовомеханических вычислений в борновском приближении. Если же интересоваться более тонкими деталями, то следовало бы обратиться к довольно громоздкому выражению, полученному в свое время Зоммерфельдом путем строгих вычислений.
Во всяком случае формула (1.68) правильно описывает зависимости от Л, е' и скорости электронов. Из нее следует, что электрон при движении в веществе за 1 с теряет на излучение энергию я =е еч2 е г(а,~пг= ') йп,пг)ч (м) = Вп;Х' (и,)'~, (1,69) о где численный множитель В, получающийся с учетом теории Зоммерфельда, равен 1,5 10-", если кинетическую энергию электрона п~, выражать в электронвольтах.
Интенсивность тормозного излучения плазмы находят, интегрируя выражение (1.69) по энергетическому распределению электронов. При максвелловском законе распределения полная энергия, которую излучает 1 смз плазмы в 1 с, должна составлять †! 6 ° !0-"п и Яз(Т' ) ьв (1.70) В плазме, содержащей ионы нескольких веществ, дх,в будет представляться суммой выражений вида (1.70) со значениями и; и Я, соответствующими разным компонентам. Из формулы (1.70) следует, в частности, что присутствие даже очень незначительной примеси тяжелых ионов в плазме, которая в основном содержит ионы легкого вещества, должно приводить к резкому возрастанию интенсивности тормозного излучения. Выражение (1.70) для интенсивности тормозного излучения справедливо с достаточной точностью при не слишком высоких значениях Т„ когда электроны можно считать нерелятивистскими.
Однако оно нуждается в корректировке при переходе к релятивистским электронным температурам (т. е. для значений Т';-10з и выше). В этой области температур интенсивность излучения, обусловленного взаимодействием электронов с кулоновским полем ядер, растет с Т, быстрее, чем это следует из формулы (1.70). Кроме того, при релятивистских скоростях столкновения электронов с электронами также приводят к увеличению тормозного излучения. Выше такие столкновения не учитывались при вычислении тормозного излучения из-за тождественного обрашения в нуль второй производной по времени от дипольного момента системы, состояшей из электронов. Излучение с непрерывным спектром возникает в плазме также в результате процессов рекомбинации электронов с ионами.
В элементарном акте рекомбинации свободный электрон в результате взаимодействия 'с электрическим полем иона захватывается на 46 один из дискретных энергетических уровней. При этом излучается фотон с энергией, равной ш,+и„ где и, — энергия связи электрона на занятом им квантовом уровне. Заряд иона в акте рекомбинации уменьшается на единицу (в частности, рекомбинация однозарядного нона приводит к образованию нейтрального атома).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
